椭圆的定义与标准方程

椭椭 圆圆及其及其标准方程标准方程长沙县实验中学高二数学备课组长沙县实验中学高二数学备课组长沙县实验中学高二数学备课组长沙县实验中学高二数学备课组观察下列图片观察下列图片观察下列图片观察下列图片地球地球地球地球太阳太阳太阳太阳地球围绕太阳的公转轨道地球围绕太阳的公转轨道地球围绕太阳的公转轨道地球围绕太阳的公转轨道油罐的横截面轮廓线油罐的横截面轮廓线油罐的横截面轮廓线油罐的横截面轮廓线橄榄球的轮廓线橄榄球的轮廓线橄榄球的轮廓线橄榄球的轮廓线学校体育馆四角学校体育馆四角学校体育馆四角学校体育馆四角“圆柱圆柱圆柱圆柱”造型上底面轮廓造型上底面轮廓造型上底面轮廓造型上底面轮廓线线线线探究活动探究活动1 1、取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一、取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一、取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一、取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？点）画出的轨迹是一个什么图形？点）画出的轨迹是一个什么图形？点）画出的轨迹是一个什么图形？2 2、如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板、如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板、如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板、如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何条件？条件？条件？条件？圆的定义：平面内圆的定义：平面内圆的定义：平面内圆的定义：平面内到一个定点的距离等于常数到一个定点的距离等于常数到一个定点的距离等于常数到一个定点的距离等于常数的点的轨的点的轨的点的轨的点的轨迹叫做圆迹叫做圆迹叫做圆迹叫做圆的点的轨迹叫做椭圆。的点的轨迹叫做椭圆。的点的轨迹叫做椭圆。的点的轨迹叫做椭圆。我们把平面内与两个定点我们把平面内与两个定点我们把平面内与两个定点我们把平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距离之和等于的距离之和等于的距离之和等于的距离之和等于常数常数常数常数这两个定点这两个定点这两个定点这两个定点F F1 1,F,F2 2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F|F1 1F F2 2|叫做焦距。叫做焦距。叫做焦距。叫做焦距。椭圆的定义椭圆的定义（大于（大于（大于（大于|F F1 1F F2 2|）即即即即|MFMF1 1|+|+|MFMF2 2|=|=常数常数常数常数练习：设定点练习：设定点练习：设定点练习：设定点F F1 1，F F2 2满足满足满足满足|F F1 1F F2 2|=6|=6，根据下列条件，判断，根据下列条件，判断，根据下列条件，判断，根据下列条件，判断点点点点MM的轨迹分别是什么图形？的轨迹分别是什么图形？的轨迹分别是什么图形？的轨迹分别是什么图形？|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=|=1010；|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=|=6 6；|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=|=4 4；若常数若常数若常数若常数大于大于大于大于|F|F1 1F F2 2|,|,则点则点则点则点MM的轨迹是的轨迹是的轨迹是的轨迹是椭圆椭圆椭圆椭圆；若常数；若常数；若常数；若常数等于等于等于等于|F F1 1F F2 2|，则点，则点，则点，则点MM的轨迹是的轨迹是的轨迹是的轨迹是线段线段线段线段F F1 1F F2 2；若常数；若常数；若常数；若常数小于小于小于小于|F F1 1F F2 2|，则点，则点，则点，则点MM的轨迹的轨迹的轨迹的轨迹不存在不存在不存在不存在。注意！（|F F1 1F F2 2|）故椭圆的两焦点坐标分别为故椭圆的两焦点坐标分别为故椭圆的两焦点坐标分别为故椭圆的两焦点坐标分别为F F1 1(-c,0)(-c,0)和和和和F F2 2(c,0)(c,0)化简，得化简，得化简，得化简，得以经过椭圆焦点以经过椭圆焦点以经过椭圆焦点以经过椭圆焦点F F1 1，F F2 2的直线为的直线为的直线为的直线为x x轴，线段轴，线段轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的中垂线为的中垂线为的中垂线为的中垂线为y y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系xoyxoy。设设设设MM（x x，y y）是椭圆上的任一点，是椭圆上的任一点，是椭圆上的任一点，是椭圆上的任一点，设椭圆的焦距为设椭圆的焦距为设椭圆的焦距为设椭圆的焦距为2c2c，点，点，点，点MM与两焦与两焦与两焦与两焦点的距离之和为常数点的距离之和为常数点的距离之和为常数点的距离之和为常数2a2a。椭圆的方程椭圆的方程移项，得移项，得移项，得移项，得故由椭圆的定义得故由椭圆的定义得故由椭圆的定义得故由椭圆的定义得则方程可化为则方程可化为则方程可化为则方程可化为观察：图中，观察：图中，观察：图中，观察：图中，c c和和和和a a分别是哪条线段？分别是哪条线段？分别是哪条线段？分别是哪条线段？即即即即a a2 2-c-c2 2有什么几何意义？有什么几何意义？有什么几何意义？有什么几何意义？只需将只需将只需将只需将 x x，y y交换位置即得椭圆的标准方程为交换位置即得椭圆的标准方程为交换位置即得椭圆的标准方程为交换位置即得椭圆的标准方程为 焦点在焦点在焦点在焦点在x x轴上，坐标为轴上，坐标为轴上，坐标为轴上，坐标为 F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c,0)其中其中其中其中c c2 2=a a2 2-b-b2 2如果以椭圆的焦点所在直线为如果以椭圆的焦点所在直线为如果以椭圆的焦点所在直线为如果以椭圆的焦点所在直线为y y轴，轴，轴，轴，2a,2c2a,2c的含的含的含的含义都不变，那么椭圆又有怎样的标准方程呢？义都不变，那么椭圆又有怎样的标准方程呢？义都不变，那么椭圆又有怎样的标准方程呢？义都不变，那么椭圆又有怎样的标准方程呢？此时，焦点在此时，焦点在此时，焦点在此时，焦点在y y轴上，坐标为轴上，坐标为轴上，坐标为轴上，坐标为 F F1 1(0,-c),F(0,-c),F2 2(0,c)(0,c)其中其中其中其中c c2 2=a a2 2-b-b2 2叫做椭圆的标准方程叫做椭圆的标准方程叫做椭圆的标准方程叫做椭圆的标准方程因此，由于因此，由于因此，由于因此，由于焦点所在轴的不同焦点所在轴的不同焦点所在轴的不同焦点所在轴的不同，椭圆的，椭圆的，椭圆的，椭圆的标准方程有标准方程有标准方程有标准方程有两种两种两种两种。跟踪巩固跟踪巩固2 2、求下列椭圆的焦点坐标：、求下列椭圆的焦点坐标：、求下列椭圆的焦点坐标：、求下列椭圆的焦点坐标：3 3、a=a=5 5，c=c=3 3的椭圆标准方程是的椭圆标准方程是的椭圆标准方程是的椭圆标准方程是 。或或或或标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上,较较较较大的分母就是大的分母就是大的分母就是大的分母就是a a2 2，较小的分母就是，较小的分母就是，较小的分母就是，较小的分母就是b b2 2.1 1、椭圆、椭圆、椭圆、椭圆 上一点上一点上一点上一点P P到焦点到焦点到焦点到焦点F F1 1的距离等于的距离等于的距离等于的距离等于6 6，则点则点则点则点P P到另一个焦点到另一个焦点到另一个焦点到另一个焦点F F2 2的距离是的距离是的距离是的距离是_14巩固训练巩固训练例例例例1 1 椭圆过点椭圆过点椭圆过点椭圆过点 ，两焦点为，两焦点为，两焦点为，两焦点为 ，求它的方程。，求它的方程。，求它的方程。，求它的方程。答案：答案：答案：答案：本课小结本课小结1 1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 的距的距的距的距离之和等于离之和等于离之和等于离之和等于常数常数常数常数 的点的轨迹叫做椭圆。的点的轨迹叫做椭圆。的点的轨迹叫做椭圆。的点的轨迹叫做椭圆。（大于（大于（大于（大于 ）（大于（大于（大于（大于 ）即即即即 2 2a a2 2、椭圆的图形与标准方程、椭圆的图形与标准方程、椭圆的图形与标准方程、椭圆的图形与标准方程标准方程中，分母哪个大，焦点就标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上在哪个轴上标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的焦点位置的判断判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标a、b、c 的关系的关系xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上作业布置作业布置P P.42.42练习练习练习练习1 1，2 2，P P.49.49习题习题习题习题A A1 1 椭椭 圆圆及其及其标准方程标准方程第二课时第二课时课前热身课前热身练习练习练习练习2 2：写出下列椭圆焦点的坐标：写出下列椭圆焦点的坐标：写出下列椭圆焦点的坐标：写出下列椭圆焦点的坐标：；练习练习练习练习1:1:椭圆椭圆椭圆椭圆 上的点上的点上的点上的点P P到一个焦点到一个焦点到一个焦点到一个焦点F F1 1的距离为的距离为的距离为的距离为1 1，则点则点则点则点P P到另一个焦点到另一个焦点到另一个焦点到另一个焦点F F的距离为的距离为的距离为的距离为 。7 7F F1 1（0 0，-2-2）和）和）和）和F F2 2（0 0，2 2）F F1 1（，0 0）和）和）和）和F F2 2（，0 0）知识回顾知识回顾1 1、椭圆的定义：、椭圆的定义：、椭圆的定义：、椭圆的定义：2 2a a（大于（大于（大于（大于|F F1 1F F2 2|）2 2、椭圆的标准方程：、椭圆的标准方程：、椭圆的标准方程：、椭圆的标准方程：焦点在焦点在焦点在焦点在x x轴上时：轴上时：轴上时：轴上时：焦点在焦点在焦点在焦点在y y轴上时：轴上时：轴上时：轴上时：其中其中其中其中其中其中其中其中例例例例2 2、已知点、已知点、已知点、已知点 ，直线，直线，直线，直线 相交于相交于相交于相交于点点点点 ，且它们的斜率之积为，且它们的斜率之积为，且它们的斜率之积为，且它们的斜率之积为 ，求点，求点，求点，求点 的轨迹方程。的轨迹方程。的轨迹方程。的轨迹方程。巩固训练巩固训练例例例例3 3 若一动圆经过点若一动圆经过点若一动圆经过点若一动圆经过点 ，且与圆，且与圆，且与圆，且与圆相内切，求这个动圆圆心的轨迹方程。（链接几何画板）相内切，求这个动圆圆心的轨迹方程。（链接几何画板）相内切，求这个动圆圆心的轨迹方程。（链接几何画板）相内切，求这个动圆圆心的轨迹方程。（链接几何画板）例例例例4 4、在圆、在圆、在圆、在圆 上任取一点上任取一点上任取一点上任取一点 ，过点，过点，过点，过点 做做做做 轴轴轴轴的垂线段的垂线段的垂线段的垂线段 ，为垂足，当点为垂足，当点为垂足，当点为垂足，当点 在圆上运动时，线段在圆上运动时，线段在圆上运动时，线段在圆上运动时，线段 的中点的中点的中点的中点 的轨迹是什么？的轨迹是什么？的轨迹是什么？的轨迹是什么？(链接几何画板链接几何画板链接几何画板链接几何画板)，椭圆，椭圆，椭圆，椭圆作业布置作业布置P P.42.42练习练习练习练习3 3，4 4，P P.习题习题习题习题A A2 2