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第三讲不等式、线性规划【知知识回回顾】1.1.几个不等式几个不等式(1)a(1)a2 2+b+b2 22ab(2ab(取等号的条件是当且取等号的条件是当且仅当当a=b).a=b).(2)ab(2)ab (a,bR).(a,bR).(3)(3)(a0,b0).(a0,b0).(4)2(a(4)2(a2 2+b+b2 2)(a+b)(a+b)2 2(a,bR,(a,bR,当当a=ba=b时等号成立等号成立).).2.2.重要性重要性质及及结论(1)ax(1)ax2 2+bx+c0(a0)+bx+c0(a0)恒成立的条件是恒成立的条件是 (2)ax(2)ax2 2+bx+c0(a0)+bx+c0(a0)恒成立的条件是恒成立的条件是 【易易错提醒提醒】1.1.忽略条件致忽略条件致误:应用基本不等式求最用基本不等式求最值时,要注意要注意“一一正、二定、三相等正、二定、三相等”,三个条件缺一不可三个条件缺一不可,否否则会会导致致结论错误.2.2.忽忽视分母不等于零而致分母不等于零而致误:求解分式不等式求解分式不等式时应注意注意正确正确进行同解行同解变形形,不能把不能把 0 0直接直接转化化为f(x)f(x)g(x)0,g(x)0,而忽略而忽略g(x)0.g(x)0.3.3.忽略等号成立的条件致忽略等号成立的条件致误:在在连续使用基本不等式求使用基本不等式求最最值时,应特特别注意注意检查等号是否同等号是否同时成立成立.【考考题回回访】1.(20161.(2016全国卷全国卷)若若x,yx,y满足足约束条件束条件 则z=x-2yz=x-2y的最小的最小值为_._.【解题指南解题指南】画出约束条件表示的平面区域画出约束条件表示的平面区域,利用图利用图解法求解解法求解.【解析解析】约束条件表示的平面区域约束条件表示的平面区域如图所示如图所示,由由 则则A(1,2).A(1,2).同理可求同理可求B(3,4),C(3,0).B(3,4),C(3,0).平移目标函数平移目标函数y=,y=,当目当目标函数经过点标函数经过点B(3,4)B(3,4)时时,z,z取得最小值取得最小值,最小值为最小值为z zminmin=3-23-24=-5.4=-5.答案答案:-5-52.(20162.(2016全国卷全国卷)设x,yx,y满足足约束条件束条件 则z=2x+3y-5z=2x+3y-5的最小的最小值为_._.【解析解析】不等式组所表示的可行域如图阴影部分不等式组所表示的可行域如图阴影部分,平移平移直线直线l0 0:2x+3y=0,:2x+3y=0,当直线过直线当直线过直线2x-y+1=02x-y+1=0和直线和直线x-2y-1x-2y-1=0=0的交点时取到最小值的交点时取到最小值,联立联立 可得交点坐可得交点坐标为标为(-1,-1),(-1,-1),所以所以z z的最小值为的最小值为z=2z=2(1 1)+3)+3(1 1)-5=-10.)-5=-10.答案答案:-10-10热点考向一点考向一不等式的性不等式的性质及解法及解法命命题解解读:主要考主要考查利用不等式的性利用不等式的性质判断命判断命题的真假的真假以及一元二次不等式的求解以及一元二次不等式的求解,有有时会考会考查含参数不等式含参数不等式恒成立的求参数恒成立的求参数值(或范或范围),),以以选择题、填空、填空题为主主.【典例典例1 1】(1)(1)已知已知实数数x,yx,y满足足a ax xaay y(0a1),(0aln(y+1)ln(y2 2+1)+1)C.sinxsinyC.sinxsinyD.xD.x3 3yy3 3(2)(2)已知函数已知函数f(xf(x)=(x-2)(ax+b)=(x-2)(ax+b)为偶函数偶函数,且在且在(0,+)(0,+)单调递增增,则f(2-x)0f(2-x)0的解集的解集为()A.x|xA.x|x22或或x-2x-2B.x|-2x2B.x|-2x2C.x|xC.x|x04x4D.x|0 x4D.x|0 x4【解题导引解题导引】(1)(1)由条件由条件a ax xaay y(0a1)(0ay,xy,此时此时x x2 2,y,y2 2的大小不确定的大小不确定,故选项故选项A,BA,B中的不等式不恒成立中的不等式不恒成立;根根据三角函数的性质据三角函数的性质,选项选项C C中的不等式也不恒成立中的不等式也不恒成立;根据根据不等式的性质知选项不等式的性质知选项D D中的不等式恒成立中的不等式恒成立.(2)(2)选选C.C.由题意可知由题意可知f(-xf(-x)=)=f(xf(x).).即即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b),(2a-b)x=0(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b),(2a-b)x=0恒成立恒成立,故故2a-b=0,2a-b=0,即即b=2a,b=2a,则则f(xf(x)=a(x-2)(x+2).)=a(x-2)(x+2).又函数在又函数在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增,所以所以a0.a0.f(2-x)0f(2-x)0即即ax(x-4)0,ax(x-4)0,解得解得x0 x4.x4.【规律方法律方法】解不等式的策略解不等式的策略(1)(1)一元二次不等式一元二次不等式:先化先化为一般形式一般形式axax2 2+bx+c0(a0),+bx+c0(a0),再再结合相合相应二次方程的根及二次函数二次方程的根及二次函数图象确定一元二象确定一元二次不等式的解集次不等式的解集.(2)(2)含指数、含指数、对数的不等式数的不等式:利用指数、利用指数、对数函数的数函数的单调性将其性将其转化化为整式不等式求解整式不等式求解.【题组过关关】1.(20161.(2016蚌埠一模蚌埠一模)若若a=ln2a=ln2，b=b=，c=c=xdxxdx，则a a，b b，c c的大小关系的大小关系为()A.aA.abcbc B.bB.bacacC.bC.bcaca D.cD.cbaba【解析解析】选选C.C.因为因为lnln a=ln2 a=ln2lnelne，所以所以a a，b b，c c的大小关系为的大小关系为bca.bc1x1时时,f(xf(x)=-log)=-log3 3x0,x0,则函数则函数f(x)f(x)maxmax=,=,g(xg(x)=|x-k|+|x-1|k-x+x-1|=|k-1|,)=|x-k|+|x-1|k-x+x-1|=|k-1|,若对任意的若对任意的x x1 1,x,x2 2R,R,都有都有f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2)成立成立,【加固加固训练】1.(20161.(2016广州二模广州二模)不等式不等式组 的解集的解集记为D,D,若若(a,b)Da,b)D,则z=2a-3bz=2a-3b的最大的最大值是是()A.1A.1B.4B.4C.-1C.-1D.-4D.-4【解析解析】选选A.A.不等式组表示的平面区域的交点坐标分不等式组表示的平面区域的交点坐标分别为别为A(-1,-1),B(-2,0),C(2,2),zA(-1,-1),B(-2,0),C(2,2),zA A=1,z=1,zB B=-4,z=-4,zC C=-2.=-2.2.(20162.(2016惠州二模惠州二模)已知集合已知集合A=A=x|yx|y=,B=x|x=,B=x|x2 2-2x0,-2x0,则AB=AB=()A.(0,2A.(0,2B.(0,2)B.(0,2)C.(-,2C.(-,2D.(2,+)D.(2,+)【解析解析】选选B.B.因为因为A=A=x|yx|y=x|x=x|x2,B=x|x2,B=x|x2 2-2x0=x|0 x2,2x0=x|0 x0,b0,a+b=a0,b0,a+b=的最小的最小值为()A.4A.4B.2 B.2 C.8C.8D.16D.16(2)(2016(2)(2016开封一模开封一模)设ab0,ab0,当当a a2 2+取得最小取得最小值时,函数函数f(xf(x)=+bsin)=+bsin2 2x x的最小的最小值为()A.3A.3B.2 B.2 C.5C.5D.4D.4 【解题导引解题导引】(1)(1)先求出先求出abab的值的值,从而求出从而求出 的最小的最小值即可值即可.(2)(2)根据基本不等式求出根据基本不等式求出a,ba,b的值的值,再利用换元法再利用换元法,求出求出f(xf(x)的最小值即可的最小值即可.【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.由由a+ba+b=,=,有有abab=1,=1,则则 (2)(2)选选A.aA.a2 2+=a+=a2 2+b+b2 2-ab+b(a-b)+-ab+b(a-b)+因为因为b(a-bb(a-b),),当且仅当当且仅当a=2ba=2b时取等号时取等号,所以所以 当且仅当当且仅当a a2 2=4=4时时,即即a=2a=2时取等号时取等号,此时此时b=1,b=1,所以所以f(xf(x)=)=设设sinsin2 2x=t,x=t,则则t(0,1,t(0,1,所以所以y=+t,y=+t,因为因为y=+ty=+t在在(0,1(0,1上单调递减上单调递减,所以所以y yminmin=+1=3.=+1=3.【规律方法律方法】利用不等式求最利用不等式求最值的解的解题技巧技巧(1)(1)凑凑项:通通过调整整项的符号的符号,配凑配凑项的系数的系数,使其使其积或和或和为定定值.(2)(2)凑系数凑系数:若无法直接运用基本不等式求解若无法直接运用基本不等式求解,可以通可以通过凑系数后得到和或凑系数后得到和或积为定定值,从而可利用基本不等式求从而可利用基本不等式求最最值.(3)(3)换元元:分式函数求最分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最元后将式子分开再利用不等式求最值.即化即化为y=m+y=m+Bg(x)(ABg(x)(A0,B0),g(x)0,B0),g(x)恒正或恒恒正或恒负的形式的形式,然后运用基本不等式来求最然后运用基本不等式来求最值.(4)(4)单调性性:应用基本不等式求最用基本不等式求最值时,若遇等号取不到若遇等号取不到的情况的情况,则应结合函数的合函数的单调性求解性求解.【题组过关关】1.(20161.(2016桂林二模桂林二模)已知已知m,nm,n为正正实数数,向量向量a=(m,1),=(m,1),b=(1,n-1),=(1,n-1),若若ab,则 的最小的最小值为_._.【解析解析】由由ab,得得m+nm+n=1,=1,(当且仅当当且仅当 时取等号时取等号),),即即 的最小值为的最小值为3+2 .3+2 .答案答案:3+23+2 2.2.定定义运算运算“”:x x y y=(x,yR,xy0),=(x,yR,xy0),当当x0,x0,y0y0时,x,x y+(2y)y+(2y)x x的最小的最小值为_._.【解析解析】当当x0,y0 x0,y0时时,x,xy+(2y)y+(2y)x=x=所以所求的最小值为所以所求的最小值为 .答案答案:3.(20163.(2016黄黄冈一模一模)已知函数已知函数f(xf(x)=)=ln(xln(x+),+),若若正正实数数a,ba,b满足足f(2a)+f(b-1)=0,f(2a)+f(b-1)=0,则 的最小的最小值是是_._.【解析解析】因为因为f(xf(x)=)=ln(xln(x+),+),f(-xf(-x)=)=ln(-xln(-x+),),所以所以f(x)+f(-xf(x)+f(-x)=)=ln(xln(x+)(-x+)(-x+)=ln1=0,)=ln1=0,所以函数所以函数f(xf(x)=)=ln(xln(x+)+)为为R R上的奇函数上的奇函数,又又y=x+y=x+在其定义域上是增函数在其定义域上是增函数,故故f(xf(x)=)=ln(xln(x+)+)在其定义域上是增函数在其定义域上是增函数,因为因为f(2a)+f(b-1)=0,f(2a)+f(b-1)=0,所以所以2a+b-1=0,2a+b-1=0,故故2a+b=1.2a+b=1.故故 (当且仅当当且仅当 时时,等等号成立号成立).).答案答案:2 +32 +3【加固加固训练】1.(20161.(2016莆田一模莆田一模)已知函数已知函数f(xf(x)=)=若不若不等式等式f(x)+10f(x)+10在在xRxR上恒成立上恒成立,则实数数a a的取的取值范范围为()A.(-,0)A.(-,0)B.-2,2B.-2,2C.(-,2C.(-,2D.0,-2D.0,-2【解析解析】选选C.C.由由f(x)f(x)-1-1在在R R上恒成立上恒成立,可得当可得当x x0 0时时,2 2x x-1-1-1,-1,即即2 2x x0 0显然成立显然成立;又又x0 x0时时,x,x2 2-ax-ax-1,-1,即为即为 当且仅当当且仅当x=1x=1时时,取得最小值取得最小值2,2,可得可得a2,a2,综上可得综上可得a2.a2.2.2.设正正实数数x,y,zx,y,z满足足x x2 2-3xy+4y-3xy+4y2 2-z=0,-z=0,则当当 取得最取得最大大值时,的最大的最大值为_._.【解析解析】当且仅当当且仅当 ,即即x=2yx=2y时时“=”成立成立,此时此时z=2yz=2y2 2,故当故当 有最大值有最大值1.1.答案答案:1 1热点考向三点考向三线性性规划划问题 命命题解解读:主要考主要考查线性性约束条件、可行域等概念束条件、可行域等概念,考考查在在约束条件下最束条件下最值的求法的求法,区域面区域面积的求法的求法,以及已知最以及已知最优解或可行域的情况求参数的解或可行域的情况求参数的值或取或取值范范围,一般一般为选择题、填空、填空题.命命题角度一已知角度一已知约束条件束条件,求目求目标函数最函数最值【典例典例3 3】(1)(2015(1)(2015全国卷全国卷)若若x,yx,y满足足约束条件束条件 则z=z=x+yx+y的最大的最大值为_._.(2)(2016(2)(2016全国卷全国卷)某高科技企某高科技企业生生产产品品A A和和产品品B B需要甲、乙两种新型材料需要甲、乙两种新型材料.生生产一件一件产品品A A需要甲材料需要甲材料1.5kg,1.5kg,乙材料乙材料1kg,1kg,用用5 5个工个工时;生生产一件一件产品品B B需要甲材需要甲材料料0.5kg,0.5kg,乙材料乙材料0.3kg,0.3kg,用用3 3个工个工时,生生产一件一件产品品A A的利的利润为21002100元元,生生产一件一件产品品B B的利的利润为900900元元.该企企业现有甲材料有甲材料150kg,150kg,乙材料乙材料90kg,90kg,则在不超在不超过600600个工个工时的的条件下条件下,生生产产品品A A、产品品B B的利的利润之和的最大之和的最大值为_元元.【解题导引解题导引】(1)(1)画出平面区域画出平面区域,平移直线平移直线,求出最值求出最值.(2)(2)可先将应用问题可先将应用问题,转化为线性规划问题转化为线性规划问题,再去求解再去求解.【规范解答规范解答】(1)(1)画出可行域如图所示画出可行域如图所示,目标函数目标函数y=-y=-x+zx+z,当当z z取到最大值时取到最大值时,y=-,y=-x+zx+z的纵截距最的纵截距最大大,故将直线移到点故将直线移到点D D 时时,z zmaxmax=答案答案:(2)(2)设生产设生产A A产品产品x x件件,B,B产品产品y y件件,根据所耗费的材料要求、根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件工时要求等其他限制条件,构造线性规划约束条件为构造线性规划约束条件为目标函数目标函数z=2100 x+900y.z=2100 x+900y.作出可行域为图中的四边形作出可行域为图中的四边形,包括边界包含的整点包括边界包含的整点,顶顶点为点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),可行域为可行域为:z:z在在(60,100)(60,100)处取得最大值处取得最大值,z zmaxmax=2100=210060+90060+900100=216000.100=216000.答案答案:216000216000命命题角度二解决参数角度二解决参数问题【典例典例4 4】(2016(2016太原一模太原一模)已知已知满足足 的的实数数x x、y y所表示的平面区域所表示的平面区域为M,M,若函数若函数y=k(x+1)+1y=k(x+1)+1的的图象象经过区域区域M,M,则实数数k k的取的取值范范围是是()A.3,5A.3,5B.-1,1B.-1,1C.-1,3C.-1,3D.D.【解题导引解题导引】由题意由题意,作出不等式组对应的可行域作出不等式组对应的可行域,由由于函数于函数y=k(x+1)+1y=k(x+1)+1的图象是过点的图象是过点A(-1,1),A(-1,1),斜率为斜率为k k的直的直线线l,故由图即可得出其范围故由图即可得出其范围.【规范解答规范解答】选选D.D.作出可行域作出可行域,如图如图,因为函数因为函数y=k(x+1)y=k(x+1)+1+1的图象是过点的图象是过点A(-1,1),A(-1,1),且斜率为且斜率为k k的直线的直线l,由图知由图知,当直线当直线l过点过点M(0,2)M(0,2)时时,k,k取最大值取最大值;当直线当直线l过点过点N(1,0)N(1,0)时时,k,k取最小值取最小值-,-,故故k k 【规律方法律方法】1.1.平面区域的确定方法平面区域的确定方法平面区域的确定方法是平面区域的确定方法是“直直线定界、特殊点定域定界、特殊点定域”,二元二元一次不等式一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集的区域的交集.2.2.线性目性目标函数函数z=z=ax+byax+by最最值的确定方法的确定方法(1)(1)将目将目标函数函数z=z=ax+byax+by化成直化成直线的斜截式方程的斜截式方程(z(z看成看成常数常数).).(2)(2)根据根据 的几何意的几何意义,确定确定 的最的最值.(3)(3)得出得出z z的最的最值.【题组过关关】1.(20161.(2016九江一模九江一模)如果如果实数数x,yx,y满足不等式足不等式组 目目标函数函数z=z=kx-ykx-y的最大的最大值为6,6,最小最小值为0,0,则实数数k k的的值为()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选B.B.作出其平面区域如图作出其平面区域如图:A(1,2),B(1,-1),C(3,0),A(1,2),B(1,-1),C(3,0),因为目标函数因为目标函数z=z=kx-ykx-y的最小值为的最小值为0,0,所以目标函数所以目标函数z=z=kx-ykx-y的最小值可能在的最小值可能在A A或或B B时取得时取得,所以所以若在若在A A上取得上取得,则则k-2=0,k-2=0,则则k=2,k=2,此时此时,z=2x-yz=2x-y在在C C点有最大值点有最大值,z=2,z=23-0=6,3-0=6,成立成立;若在若在B B上取得上取得,则则k+1=0,k+1=0,则则k=-1,k=-1,此时此时,z=-,z=-x-yx-y,在在B B点取得的值是最大值点取得的值是最大值,故不成立故不成立.2.(20152.(2015全国卷全国卷)若若x,yx,y满足足约束条件束条件 则z=2x+yz=2x+y的最大的最大值为_._.【解析解析】画出可行域如图所示画出可行域如图所示 目标函数目标函数y=-2x+z,y=-2x+z,当当z z取到最大值时取到最大值时,y=-2x+z,y=-2x+z的纵截距的纵截距最大最大,故将直线移到点故将直线移到点B(3,2)B(3,2)时时,z zmaxmax=2=23+2=8.3+2=8.答案答案:8 83.(20153.(2015全国卷全国卷)若若x,yx,y满足足约束条件束条件 则 的最大的最大值为_._.【解题导引解题导引】由约束条件画出可行域由约束条件画出可行域,根据根据 是可行域是可行域内一点与原点连线的斜率进行求解内一点与原点连线的斜率进行求解.【解析解析】作出可行域如图中阴影部分所示作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知由图可知,点点A(1,3)A(1,3)与原点连线的斜率最大与原点连线的斜率最大,故故 的最的最大值为大值为3.3.答案答案:3 3
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