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第五讲导数的综合应用 热点考向一点考向一利用利用导数研究数研究较复复杂函数的零点或方程函数的零点或方程的根的根命命题解解读:主要考主要考查利用利用导数来判断函数的零点或方程数来判断函数的零点或方程根的个数根的个数,或者依据函数的零点、方程的根存在的情况或者依据函数的零点、方程的根存在的情况求参数的求参数的值(或取或取值范范围),),三种三种题型都有可能出型都有可能出现.【典例典例1 1】(2016(2016开封一模开封一模)已知函数已知函数f(xf(x)=)=ax+lnxax+lnx,其其中中a a为常数常数.(1)(1)当当a=-1a=-1时,求求f(xf(x)的的单调增区增区间.(2)(2)当当0-e0-0,0,再再代入求导代入求导f(xf(x)=,)=,从而确定函数的单调区间从而确定函数的单调区间.(2)(2)令令f(xf(x)=a+=0,)=a+=0,解得解得x=-;x=-;从而确定单调性及最从而确定单调性及最值值,进而求出进而求出a a值值.(3)(3)由由(1)(1)知当知当a=-1a=-1时时,f(x)f(x)maxmax=f(1)=-1,=f(1)=-1,从而得从而得|f(x)|1;|f(x)|1;再令再令g(xg(x)=)=则则g(xg(x)=;)=;从而求最值即可从而求最值即可.【规范解答规范解答】(1)(1)由已知知函数由已知知函数f(xf(x)的定义域为的定义域为 x|xx|x0,0,当当a=-1a=-1时时,f(xf(x)=-)=-x+lnx,f(xx+lnx,f(x)=;)=;当当0 x10 x0;)0;当当x1x1时时,f(xf(x)0;)0)0解得解得0 x-,0 x-,由由f(xf(x)0,)0,解得解得-xe.-xe.从从而而f(xf(x)的单调增区间为的单调增区间为 ,减区间为减区间为 ,所以所以,f(x)f(x)maxmax=f =-1+ln =-3.=f =-1+ln =-3.解得解得a=-ea=-e2 2.(3)(3)由由(1)(1)知当知当a=-1a=-1时时,f(x)f(x)maxmax=f(1)=-1,=f(1)=-1,所以所以|f(x)|1.|f(x)|1.令令g(xg(x)=,)=,则则g(xg(x)=.)=.当当0 xe0 x0;)0;当当xexe时时,g(xg(x)0,)0,从而从而g(xg(x)在在(0,e)(0,e)上单调递增上单调递增,在在(e,+)(e,+)上单调递减上单调递减.所以所以g(x)g(x)maxmax=g(eg(e)=1,)=)|g(xg(x),),即即|f(xf(x)|,)|,所以所以,方程方程|f(xf(x)|=)|=没有实数根没有实数根.【母母题变式式】1.1.若本例中函数在若本例中函数在(0,+)(0,+)上有两个零点上有两个零点,求求实数数a a的取的取值范范围.【解析解析】因为因为f f(x(x)=a+,)=a+,当当a=0a=0时时,f(xf(x)=)=lnxlnx有一个零点有一个零点,不符合要求不符合要求.当当a0a0时时,f(xf(x)0,)0,函数函数f(xf(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增,x0 x0时时,f(xf(x)-,)-,又又f(1)=a0,f(1)=a0,故故f(xf(x)在在(0,+)(0,+)上有且只有一个零点上有且只有一个零点,不符合要求不符合要求.当当a0a0时时,当当0 x-0 x0,f(x)0,f(x)在在 上单调上单调递增递增,当当x-x-时时f(xf(x)0,f(x)0,0,即即-1+ln 0,-1+ln 0,解得解得 a0,a0,综上可知综上可知a a的取值范围为的取值范围为 .2.2.在在(3)(3)的条件下的条件下,判断曲判断曲线f(xf(x)与曲与曲线(x(x)=x)=x2 2-2x+m-2x+m公共点的个数公共点的个数.【解析解析】由由(3)(3)知当知当a=-1a=-1时时,f(x)f(x)maxmax=-1,=-1,其图象如图其图象如图所示所示.而而y=y=(x(x)=x)=x2 2-2x+m=(x-1)-2x+m=(x-1)2 2+m-1,+m-1,其图象是以其图象是以x=1x=1为对称为对称轴开口向上的抛物线轴开口向上的抛物线,数形结合得数形结合得当当m-1-1,m-1-1,即即m0m-1,m-1-1,即即m0m0时时,无公共点无公共点.【规律方法律方法】1.1.利用利用导数研究高次式、分式、指数式、数研究高次式、分式、指数式、对数式、三数式、三角式及角式及绝对值式式结构函数零点的一般思路构函数零点的一般思路(1)(1)转化化为可用可用导数研究其函数的数研究其函数的图象与象与x x轴(或直或直线y=k)y=k)在在该区区间上的交点上的交点问题.(2)(2)利用利用导数研究数研究该函数在函数在该区区间上的上的单调性、极性、极值(最最值)、端点、端点值等性等性质,进而画出其而画出其图象象.(3)(3)结合合图象求解象求解.2.2.利用利用导数研究高次式、分式、指数式、数研究高次式、分式、指数式、对数式、三数式、三角式及角式及绝对值结构方程根的个数构方程根的个数问题的一般方法的一般方法将将问题转化化为可用可用导数研究的某函数的零点数研究的某函数的零点问题或用或用导数能研究其数能研究其图象的两个函数的交点个数象的两个函数的交点个数问题求解求解.3.3.证明复明复杂方程在某区方程在某区间上有且上有且仅有一解的步有一解的步骤第一步第一步:利用利用导数数证明明该函数在函数在该区区间上上单调.第二步第二步:证明端点明端点值异号异号.【题组过关关】1.(20161.(2016邯邯郸一模一模)已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+c+bx+c有两个有两个极极值点点x x1 1,x,x2 2,若若f(xf(x1 1)=x)=x1 1x0.-12b0.而方程而方程3(f(x)3(f(x)2 2+2af(x)+b=0+2af(x)+b=0的的1 1=0,=0,可知此方程有两解且可知此方程有两解且f(xf(x)=x)=x1 1或或x x2 2.再分别讨再分别讨论利用平移变换即可解出方程论利用平移变换即可解出方程f(xf(x)=x)=x1 1或或f(xf(x)=x)=x2 2解的个解的个数数.【解析解析】选选A.A.因为函数因为函数f(xf(x)=x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+c+bx+c有两个极值有两个极值点点x x1 1,x,x2 2,所以所以f(xf(x)=3x)=3x2 2+2ax+b=0+2ax+b=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根,所以所以=4a=4a2 2-12b0.-12b0.解得解得因为因为x x1 1x0,=0,所以此方程有两解且所以此方程有两解且f(xf(x)=x)=x1 1或或x x2 2.不妨取不妨取0 x0 x1 1x0.)0.把把y=y=f(xf(x)向下平移向下平移x x1 1个单位即可得到个单位即可得到y=f(x)-xy=f(x)-x1 1的图的图象象,因为因为f(xf(x1 1)=x)=x1 1,可知方程可知方程f(xf(x)=x)=x1 1有两解有两解.把把y=y=f(xf(x)向下平移向下平移x x2 2个单位即可得到个单位即可得到y=f(x)-xy=f(x)-x2 2的图的图象象,因为因为f(xf(x1 1)=x)=x1 1,所以所以f(xf(x1 1)-x)-x2 20,0)0)，讨论h(xh(x)零点的个数零点的个数.【解析解析】(1)(1)设曲线设曲线y=y=f(xf(x)与与x x轴相切于点轴相切于点(x(x0 0，0)0)，则则f(xf(x0 0)=0)=0，f f(x(x0 0)=0)=0，即，即 解得解得x x0 0=，a=-.a=-.因此，当因此，当a=-a=-时，时，x x轴为曲线轴为曲线y=y=f(xf(x)的切线的切线.(2)(2)当当x(1x(1，+)+)时，时，g(xg(x)=-)=-lnxlnx00，从而从而h(xh(x)=min )=min g(xg(x)0)0，故故h(xh(x)在在(1(1，+)+)无零点无零点.当当x=1x=1时，若时，若a-a-，则，则f(1)=a+0f(1)=a+0，h(1)=min =g(1)=0h(1)=min =g(1)=0，故，故x=1x=1是是h(xh(x)的零点；的零点；若若a-a-，则，则f(1)0f(1)0，h(1)=min =f(1)0h(1)=min =f(1)0.0.所以只需考虑所以只需考虑f(xf(x)在在(0(0，1)1)的零点个数的零点个数.(i)(i)若若a-3a-3或或a0a0，则，则f(xf(x)=3x)=3x2 2+a+a在在(0(0，1)1)上无零上无零点，故点，故f(xf(x)在在(0(0，1)1)单调单调.而而f(0)=f(0)=，f(1)=a+f(1)=a+，所以当所以当a-3a-3时，时，f(xf(x)在在(0(0，1)1)有一个零点；有一个零点；当当a0a0时，时，f(xf(x)在在(0(0，1)1)没有零点没有零点.综上，当综上，当a-a-或或a-a-时，时，h(xh(x)有一个零点；有一个零点；当当a=-a=-或或a=-a=-时，时，h(xh(x)有两个零点；有两个零点；当当-a-a0,)0,则函数函数g(xg(x)=xf(x)+1(x0)=xf(x)+1(x0)的零点的零点个数个数为()A.0A.0B.1B.1C.0C.0或或1 1D.D.无数个无数个【解析解析】选选A.A.由由g(xg(x)=xf(x)+1=0)=xf(x)+1=0得得,xf(xxf(x)=-1,(x0),)=-1,(x0),设设h(xh(x)=)=xf(xxf(x),),则则h(xh(x)=)=f(x)+xf(xf(x)+xf(x),),因为因为xf(x)+f(xxf(x)+f(x)0,)0,所以所以h(xh(x)0,)0,即函数在即函数在x0 x0时为增函数时为增函数,因为因为h(0)=0h(0)=0f(0)=0,f(0)=0,所以当所以当x0 x0时时,h(xh(x)h(0)=0,)h(0)=0,故故h(xh(x)=-1)=-1无解无解,故函数故函数g(xg(x)=xf(x)+1(x0)=xf(x)+1(x0)的零点个数为的零点个数为0 0个个.2.(20162.(2016新新乡三模三模)已知函数已知函数f(xf(x)=,)=,关于关于x x的不的不等式等式f f2 2(x)+af(x)0(x)+af(x)0只有两个整数解只有两个整数解,则实数数a a的取的取值范范围是是()【解析解析】选选C.f(xC.f(x)=)=所以所以f(xf(x)在在 上单调递增上单调递增,上单调递减上单调递减,所以所以f(x)f(x)maxmax=又因为又因为f =0,1 2,f =0,1 0(x)+af(x)0只有两个整数解只有两个整数解,所以所以 -ln2a-ln6,-ln20).+2(e+1)x-2elnx-2(x0).(2)f(x)=-x(2)f(x)=-x2 2+2(e+1)x-2elnx-2+2(e+1)x-2elnx-2的定义域为的定义域为1,2e,1,2e,且且f(xf(x)=-2x+2(e+1)(1x2e).)=-2x+2(e+1)(1x2e).列表如下列表如下:x x(1,e)(1,e)e e(e,2e(e,2ef(xf(x)+0 0-f(xf(x)增增极大值极大值f(ef(e)减减由上表得由上表得:f(xf(x)=-x)=-x2 2+2(e+1)x-2elnx-2+2(e+1)x-2elnx-2在定义域在定义域1,2e1,2e上的最大值为上的最大值为f(ef(e),),且且f(ef(e)=e)=e2 2-2.-2.即即:月生产量在月生产量在1,2e1,2e万件时万件时,该公司在生产这种小型该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为产品中所获得的月利润最大值为f(ef(e)=e)=e2 2-2,-2,此时的月此时的月生产量值为生产量值为e(e(万件万件).).【加固加固训练】1.1.为了响了响应政府推政府推进“菜菜篮子子”工程建工程建设的号召的号召,某某经销商投商投资6060万元建了一个蔬菜生万元建了一个蔬菜生产基地基地.第第一年支出各种一年支出各种费用用8 8万元万元,以后每年支出的以后每年支出的费用比上一用比上一年多年多2 2万元万元.每年每年销售蔬菜的收入售蔬菜的收入为2626万元万元.设f(nf(n)表示表示前前n n年的年的纯利利润(f(nf(n)=)=前前n n年的年的总收入收入-前前n n年的年的总费用支用支出出-投投资额),),则f(nf(n)=_()=_(用用n n表示表示););从第从第_年开始盈利年开始盈利.【解析解析】由题知由题知:f(nf(n)=26n-60=-n)=26n-60=-n2 2+19n-60,+19n-60,令令f(nf(n)0,)0,即即-n-n2 2+19n-600,+19n-600,解得解得:4n15,:4n15,所以从第所以从第5 5年开始盈利年开始盈利.答案答案:-n-n2 2+19n-60+19n-605 52.2.某商某商场销售某种商品的售某种商品的经验表明表明,该商品每日的商品每日的销售售量量y(y(单位位:千克千克)与与销售价格售价格x(x(单位位:元元/千克千克)满足关系足关系式式y=+10(x-6)y=+10(x-6)2 2,其中其中3x6,a3x6,a为常数常数,已知已知销售价售价格格为5 5元元/千克千克时,每日可售出每日可售出该商品商品1111千克千克.(1)(1)求求a a的的值.(2)(2)若若该商品的成本商品的成本为3 3元元/千克千克,试确定确定销售价格售价格x x的的值,使商使商场每日每日销售售该商品所商品所获得的利得的利润最大最大.【解析解析】(1)(1)因为因为x=5x=5时时,y=11,y=11,所以所以 +10=11,+10=11,所以所以a=2.a=2.(2)(2)由由(1)(1)可知可知,该商品每日的销售量该商品每日的销售量y=+10(x-6)y=+10(x-6)2 2,所以商场每日销售该商品所获得的利润所以商场每日销售该商品所获得的利润f(xf(x)=(x-3)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)=2+10(x-3)(x-6)2 2,3x6.,3x-1,f(x)-1,f(x)-1,-1,使得当使得当x(-1,xx(-1,x0 0)时,恒有恒有f(xf(x)g(xg(x)成立成立,试求求k k的取的取值范范围.【题目拆解题目拆解】解答本题第解答本题第(3)(3)问问,可拆解成三个小题可拆解成三个小题:由由(2)(2)可知可知,k=2,k=2时时,结论不成立结论不成立,从而得出从而得出k2;k2;讨论当讨论当k2k2时时,是否有符合题设条件的是否有符合题设条件的k k的取值的取值;讨论当讨论当k2k-2).=(x-2).当当f(xf(x)0)0时时,x,x2 2+3x+10.+3x+10.解得解得-2x .-2x .当当f(xf(x)0).x .所以所以f(xf(x)的单调增区间为的单调增区间为 ,单调减区间为单调减区间为 .(2)(2)设设h(xh(x)=)=f(x)-g(xf(x)-g(x)=2ln(x+2)-(x+1)=2ln(x+2)-(x+1)2 2-k(x+1)(x-1).-k(x+1)(x-1).当当k=2k=2时时,由题意由题意,当当x(-1,+)x(-1,+)时时,h(xh(x)0)-1x-1时时,h(xh(x)0)0恒成立恒成立,h(xh(x)单调递减单调递减.又又h(-1)=0,h(-1)=0,当当x(-1,+)x(-1,+)时时,h(xh(x)h(-1)=0)h(-1)=0恒成立即恒成立即f(x)-g(xf(x)-g(x)0)-1,f(x)-1,f(x)g(xg(x)恒成立恒成立.(3)(3)因为因为h(xh(x)=)=由由(2)(2)知知,当当k=2k=2时时,f(xf(x)-1,x-1,2ln(x+2)-(x+1)2ln(x+2)-(x+1)2 22(x+1),2k2时时,对于对于x-1,x+10,x-1,x+10,此时此时2(x+1)k(x+1).2(x+1)k(x+1).2ln(x+2)-(x+1)2ln(x+2)-(x+1)2 22(x+1)k(x+1),2(x+1)k(x+1),即即f(xf(x)g(xg(x)恒成立恒成立,不存在满足条件的不存在满足条件的x x0 0;当当k2k2时时,令令t(xt(x)=-2x)=-2x2 2-(k+6)x-(2k+2),-(k+6)x-(2k+2),可知可知t(xt(x)与与h(xh(x)符号相同符号相同,当当x(xx(x0 0,+),+)时时,t(xt(x)0,h(x)0,h(x)0,h(x)h(-1)=0,)h(-1)=0,即即f(x)-g(xf(x)-g(x)0)0恒成立恒成立.综上综上,k,k的取值范围为的取值范围为(-,2).(-,2).命命题角度二利用角度二利用导数数证明不等式明不等式问题【典例典例4 4】(2016(2016全国卷全国卷)设函数函数f(xf(x)=acos2x+)=acos2x+(a-1)(cosx+1)(a-1)(cosx+1)，其中，其中a0a0，记|f(xf(x)|)|的最大的最大值为A.A.(1)(1)求求f(xf(x).).(2)(2)求求A.A.(3)(3)证明明|f(x)|2A.|f(x)|2A.【解题导引解题导引】(1)(1)利用求导法则及常见函数的求导公式利用求导法则及常见函数的求导公式直接求解直接求解.(2)(2)可按可按a a的不同取值，分类讨论求解的不同取值，分类讨论求解.(3)(3)利用利用(1)(2)(1)(2)两题，求解即可两题，求解即可.【规范解答规范解答】(1)f(1)f=-2asin2x-(a-1)sinx.=-2asin2x-(a-1)sinx.(2)(2)当当a1a1时，时，|f(xf(x)|=|acos2x+(a-1)(cosx+1)|)|=|acos2x+(a-1)(cosx+1)|a+(a-1)a+(a-1)2=3a-2=f(0)2=3a-2=f(0)，当当0a10a1时，时，f(xf(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1)=acos2x+(a-1)(cosx+1)=2acos=2acos2 2x+x+（a-1a-1）cosx-1cosx-1，令令cosxcosx=t-1,1=t-1,1，则，则f(xf(x)=)=g(tg(t)=2at)=2at2 2+(a-1)t-1+(a-1)t-1，其对称轴为其对称轴为t=t=(3)(3)由由(1)(1)得得 当当0a 0a 时，时，1+a2-4a2(2-3a)=2A1+a2-4a2(2-3a)=2A，当当 a1a)g(x)(f(xg(x)(f(x)0(f(x)-g(x)0(f(x)-g(x)0),进而构造而构造辅助函助函数数h(xh(x)=)=f(x)-g(xf(x)-g(x).).(2)(2)构造构造“形似形似”函数函数:对原不等式同解原不等式同解变形形,如移如移项、通、通分、取分、取对数数;把不等式把不等式转化化为左右两左右两边是相同是相同结构的式构的式子的子的结构构,根据根据“相同相同结构构”构造构造辅助函数助函数.(3)(3)主元法主元法:对于于(或可化或可化为)f(x)f(x1 1,x,x2 2)A)A的不等式的不等式,可可选x x1 1(或或x x2 2)为主元主元,构造函数构造函数f(x,xf(x,x2 2)()(或或f(xf(x1 1,x).,x).(4)(4)放放缩法法:若所构造函数最若所构造函数最值不易求解不易求解,可将所可将所证明不明不等式等式进行放行放缩,再重新构造函数再重新构造函数.【题组过关关】1.(20161.(2016南昌三模南昌三模)已知已知f(xf(x)=|)=|x xe ex x|,|,又又g(xg(x)=f)=f2 2(x)(x)+tf(x)(tR),+tf(x)(tR),若若满足足g(xg(x)=-1)=-1的的x x有四个有四个,则t t的取的取值范范围为()【解析解析】选选A.f(xA.f(x)=|)=|xexex x|=|=当当x0 x0时时,f(xf(x)=e)=ex x+xe+xex x00恒成立恒成立,所以所以f(xf(x)在在0,+)0,+)上为增函数上为增函数;当当x0 x0,f(x)(x+1)0,f(x)为增函数为增函数,当当x(-1,0)x(-1,0)时时,f(xf(x)=-e)=-ex x(x+1)0,f(x)(x+1)0,(0)=10,则只需则只需 0,0,即即 +t+10,+t+10,解得解得:t ,t ,所以所以,使得函数使得函数f(xf(x)=|)=|x xe ex x|,|,方程方程g(xg(x)=-1)=-1有四个实数有四个实数根的根的t t的取值范围是的取值范围是 .2.(20162.(2016黄黄冈一模一模)已知函数已知函数f(xf(x)=)=lnx-mx+mlnx-mx+m，mRmR.(1)(1)求函数求函数f(xf(x)的的单调区区间.(2)(2)若若f(x)0f(x)0在在x(0 x(0，+)+)上恒成立，求上恒成立，求实数数m m的取的取值范范围.(3)(3)在在(2)(2)的条件下，任意的的条件下，任意的0ab0a0)0恒成立，则函数恒成立，则函数f(xf(x)在在(0(0，+)+)上单调递增；上单调递增；当当m0m0时，由时，由f(xf(x)=)=0 0则则x x ，则，则f(xf(x)在在 上单调递增，上单调递增，在在 上单调递减上单调递减.(2)(2)由由(1)(1)得：当得：当m0m0时显然不成立；时显然不成立；当当m0m0时，时，f(x)f(x)maxmax=只需只需m-lnm-10m-lnm-10，即令，即令g(xg(x)=x-lnx-1)=x-lnx-1，则则g(xg(x)=1-)=1-，函数，函数g(xg(x)在在(0(0，1)1)上单调递减，上单调递减，在在(1(1，+)+)上单调递增上单调递增.所以所以g(x)g(x)minmin=g(1)=0.=g(1)=0.则若则若f(x)0f(x)0在在x(0 x(0，+)+)上恒成立，上恒成立，m=1.m=1.【加固加固训练】已知函数已知函数f(xf(x)=)=lnxlnx-,-,aRaR.(1)(1)若若x=3x=3是函数是函数f(xf(x)的极的极值点点,求曲求曲线y=y=f(xf(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切的切线方程方程.(2)(2)若函数若函数f(xf(x)在在(0,+)(0,+)上上为单调增函数增函数,求求a a的取的取值范范围.(3)(3)设m m，n n为正正实数，且数，且mnmn，求，求证：【解析解析】(1)f(x)(1)f(x)的导函数为的导函数为由题意可得由题意可得f(3)=0,f(3)=0,代入可得代入可得a=,a=,检验成立检验成立.可得切线的斜率为可得切线的斜率为f(1)=-,f(1)=-,切点为切点为(1,0),(1,0),可得切线的方程为可得切线的方程为x+3y-1=0.x+3y-1=0.(2)f(x)=,(2)f(x)=,由函数由函数f(xf(x)在在(0,+)(0,+)上为单调增函数上为单调增函数,可得可得f(x)0f(x)0在在x0 x0恒成立恒成立,即有即有x x2 2+(2-2a)x+10,+(2-2a)x+10,当当x0 x0时时,2a-2x+,2a-2x+,由由x+=2,x+=2,当且仅当当且仅当x=1x=1时时,取得最小值取得最小值2,2,即有即有2a-22,2a-22,可得可得a2,a2,可得可得a a的取值范围是的取值范围是(-,2.(-,2.(3)(3)要证要证 只需证只需证 设设h(xh(x)=)=由由(2)(2)知，知，h(xh(x)在在(1(1，+)+)递增，递增，
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