数学规划建模

数数 学学 建建 模模华中农业大学数学建模基地系列课件华中农业大学数学建模基地系列课件最优化问题的最优化问题的数学模型的一般形式数学模型的一般形式为：为：（1）（2）三个要素：决策变量三个要素：决策变量decision bariable，目标函数，目标函数objective function，约束条件，约束条件constraints。（2）所确定的）所确定的x的范围称为的范围称为可行域可行域feasibleregion，满足（，满足（2）的解）的解x称为称为可行解可行解feasiblesolution，同时满足（，同时满足（1）（）（2）的解）的解x称为称为最优解最优解Optimalsolution，整个可行域上的最优解称为，整个可行域上的最优解称为全局最优解全局最优解globaloptimalsolution，可行域中某个领域上的最，可行域中某个领域上的最优解称为优解称为局部最优解局部最优解localoptimalsolution。最优解。最优解所对应的目标函数值称为所对应的目标函数值称为最优值最优值optimum。优化模型的分类优化模型的分类（一）按有无约束条件（一）按有无约束条件（2）可分为：）可分为：1.无约束优化无约束优化unconstrained optimization。2.约束优化约束优化constrained optimization。大部分实际问题都是约束优化问题。大部分实际问题都是约束优化问题。（二）（二）按决策变量取值是否连续按决策变量取值是否连续可分为：可分为：1.数学规划或连续优化数学规划或连续优化。可继续划分为可继续划分为线性规划线性规划(LP)Linear programming和和非线性规划非线性规划(NLP)Nonlinear programming。在。在非线性规划中有一种规划叫做非线性规划中有一种规划叫做二次规划二次规划(QP)Quadratic programming，目标为二次函数，目标为二次函数，约束为线性函数。约束为线性函数。2.离散优化或组合优化离散优化或组合优化。包含：包含：整数规划整数规划(IP)Integer programming，整数，整数规划中又包含很重要的一类规划：规划中又包含很重要的一类规划：0-1（整数）规划（整数）规划Zero-one programming，这类规划问题的决策变，这类规划问题的决策变量只取量只取0或者或者1。（三）（三）按目标的多少按目标的多少可分为：可分为：1.单目标规划。单目标规划。2.多目标规划。多目标规划。（四）（四）按模型中参数和变量是否具有不确定性按模型中参数和变量是否具有不确定性可分为：可分为：1.确定性规划。确定性规划。2.不确定性规划。不确定性规划。（五）（五）按问题求解的特性按问题求解的特性可分为：可分为：1.目标规划。目标规划。2.动态规划。动态规划。3.多层规划。多层规划。4.网络优化。网络优化。5.等等。等等。优化问题求解常用的软件优化问题求解常用的软件LINGO软件和软件和MATLAB软件。软件。对于对于LINGO软件，线性优化求解程序通常使用软件，线性优化求解程序通常使用单单纯形法纯形法simplexmethod，单纯形法虽然在实际应用中是，单纯形法虽然在实际应用中是最好最有效的方法，但对某些问题具有指数阶的复杂性，最好最有效的方法，但对某些问题具有指数阶的复杂性，为了能解大规模问题，也提供了为了能解大规模问题，也提供了内点算法内点算法interiorpointmethod备选（备选（LINGO中一般称为障碍法，即中一般称为障碍法，即barrier），），非线性优化求解程序采用的是非线性优化求解程序采用的是顺序线性规划法顺序线性规划法，也可用，也可用顺序二次规划法顺序二次规划法，广义既约梯度法，另外可以使用多初，广义既约梯度法，另外可以使用多初始点（始点（LINGO中称中称multistart）找多个局部最优解增加）找多个局部最优解增加找全局最优解的可能，还具有全局求解程序找全局最优解的可能，还具有全局求解程序分解原问分解原问题成一系列的题成一系列的凸规划凸规划。软件介绍软件介绍例例1帆船生产计划帆船生产计划SAILCO公司需要决定下四个季度的帆船生公司需要决定下四个季度的帆船生产量。下四个季度的帆船需求量分别是产量。下四个季度的帆船需求量分别是40条，条，60条，条，75条，条，25条，条，这些需求必须按时满足。每个季度正常的生产能力是这些需求必须按时满足。每个季度正常的生产能力是40条帆船，条帆船，每条船的生产费用为每条船的生产费用为400美元。如果加班生产，每条船的生产费美元。如果加班生产，每条船的生产费用为用为450美元。每个季度末，每条船的库存费用为美元。每个季度末，每条船的库存费用为20美元。假定美元。假定生产提前期为生产提前期为0，初始库存为，初始库存为10条船。如何安排生产可使总费用条船。如何安排生产可使总费用最小？最小？分析分析:DEM需求量，需求量，RP正常生产的产量，正常生产的产量，OP加班生产的产量，加班生产的产量，INV库存量，库存量，则则DEM,RP,OP,INV对每个季度都应该有一个对应的值，也对每个季度都应该有一个对应的值，也就说他们都应该是一个由就说他们都应该是一个由4个元素组成的个元素组成的数组数组，其中，其中DEM是已是已知的，而知的，而RP,OP,INV是未知数。是未知数。目标函数：正常生产费加班生产费储存费目标函数：正常生产费加班生产费储存费最小最小约束条件：约束条件：1）能力限制：）能力限制：2）产品数量的平衡方程：）产品数量的平衡方程：4）变量非负）变量非负3）初始库存：）初始库存：引例 模型建立 记四个季度组成的集合QUARTERS=1，2，3，4，它们就是上面数组的下标集合，而数组DEM,RP,OP,INV对集合QUARTERS中的每个元素1，2，3，4分别对应于一个值。LINGO正是充分利用了这种数组及其下标的关系，引入了“集合”及其“属性”的概念，把QUARTERS=1，2，3，4称为集合，把DEM,RP,OP,INV称为该集合的属性(即定义在该集合上的属性)。集合与属性QUARTERS集合的属性DEM RPOP INVQUARTERS集合2341 集合与属性集合元素及集合的属性确定的所有集合元素及集合的属性确定的所有变量变量集合QUARTERS的元素1234定义在集合QUARTERS上的属性DEMDEM(1)DEM(2)DEM(3)DEM(4)RPRP(1)RP(2)RP(3)RP(4)OPOP(1)OP(2)OP(3)OP(4)INVINV(1)INV(2)INV(3)INV(4)集合与属性 程序编写MODEL:!集合段：定义集合集合段：定义集合SET，元素，元素member及其属性及其属性attribute；SETS:QUARTERS/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV;ENDSETS!目标与约束段：没有开始和结束标记，顺序无关；目标与约束段：没有开始和结束标记，顺序无关；MIN=SUM(QUARTERS(I):400*RP(I)+450*OP(I)+20*INV(I);FOR(QUARTERS(I):RP(I)1（greaterthan）展开式LINGOGenerateDisplyModel(Ctrl+G)MIN=SUM(QUARTERS(I):400*RP(I)+450*OP(I)+20*INV(I);FOR(QUARTERS(I):RP(I)40);FOR(QUARTERS(I)|I#GT#1:INV(I)=INV(I-1)+RP(I)+OP(I)-DEM(I););INV(1)=10+RP(1)+OP(1)-DEM(1);全局最优解全局最优解RP=(40,40,40,25)OP=(0,10,35,0)最小成本最小成本=78450自动生成行号自动生成行号 结果报告例例2 2 运输问题运输问题解：设解：设A1,A2调运到三个粮站的大米分别为调运到三个粮站的大米分别为x11，x12，x13，x21，x22，x23吨。吨。题设量可总到下表：题设量可总到下表：84库库存存量量x23x22x21A2542需要量需要量x13x12x11A1B3B2B1粮库粮库粮站粮站距离及运量距离及运量12122430824结合存量限制和需量限制得数学模型结合存量限制和需量限制得数学模型：程序编写程序编写推荐推荐MODEL:TITLE 调运大米的运输问题程序调运大米的运输问题程序;!定义集合段定义集合段;SETS:LIANGKU/1.2/:A;!定义粮库的集合定义粮库的集合;LIANGZHAN/1.3/:B;!定义粮站的集合定义粮站的集合;YULIANG(LIANGKU,LIANGZHAN):X,C;!定义运量和距离定义运量和距离;ENDSETSDATA:!粮库到粮站的距离粮库到粮站的距离;C=12 24 8 30 12 24;!粮库的限量粮库的限量;A=4 8;!粮站的限量粮站的限量;B=2 4 5;ENDDATAOBJMIN=SUM(YULIANG:C*X);!粮库上限的约束粮库上限的约束;FOR(LIANGKU(I):LK SUM(LIANGZHAN(J):X(I,J)B(J);END 程序的调试程序的调试1.直接点击运行，如果出错会弹出错误提示，根直接点击运行，如果出错会弹出错误提示，根据提示做相应的修改；据提示做相应的修改；2.可以用可以用“！”把约束变成说明语句，而把这条把约束变成说明语句，而把这条语句屏蔽掉，缩小寻找出错的范围；语句屏蔽掉，缩小寻找出错的范围；3.可以边写程序边运行，保证每行书写都是正确可以边写程序边运行，保证每行书写都是正确的程序；的程序；料场的建立与运输料场的建立与运输建筑工地的位置建筑工地的位置(用平面坐标用平面坐标a,b表示，距表示，距离单位：公里离单位：公里)及水泥日用量及水泥日用量d(吨吨)下表给出。有两个临时料场位下表给出。有两个临时料场位于于P(5,1),Q(2,7),日储量各有日储量各有20吨。吨。(1)从从A,B两料场分别向各两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。(2)两个新的料场两个新的料场应建在何处，节省的吨公里数有多大？应建在何处，节省的吨公里数有多大？a1.258.750.55.7537.25b1.250.754.7556.57.75d3547611 非线性规划引例非线性规划引例已知为LP模型，未知为NLP模型 引例 模型建立料场向工地的运送量为：料场向工地的运送量为：工地：位置工地：位置水泥日用量：水泥日用量：料场：位置料场：位置日储量：日储量：利用集合的概念，可以定义需求点利用集合的概念，可以定义需求点DEMAND和供应点和供应点SUPPLY两个集合，分别有两个集合，分别有6个和个和2个元素个元素(下标下标)。但决策变量。但决策变量(运送量运送量)cij与集合与集合DEMAND和集合和集合SUPPLY都有关系的。该如都有关系的。该如何定义这样的属性？何定义这样的属性？集合的属性相当于以集合的元素为下标的数组。这里的集合的属性相当于以集合的元素为下标的数组。这里的cij相当于二维数组。它的两个下标分别来自集合相当于二维数组。它的两个下标分别来自集合DEMAND和和SUPPLY，因此可以定义一个由二元对组成的新的集合，然后，因此可以定义一个由二元对组成的新的集合，然后将将cij定义成这个新集合的属性，这个集合称为定义成这个新集合的属性，这个集合称为派生集合派生集合。派生集合 程序编写MODEL:TitleLocationProblem;sets:demand/1.6/:a,b,d;supply/1.2/:x,y,e;link(demand,supply):c;endsetsdata:!locationsforthedemand(需求点的位置需求点的位置);a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;!quantitiesofthedemandandsupply（供需量）（供需量）;d=3,5,4,7,6,11;e=20,20;enddata基本集合基本集合primaryset与与派生集合派生集合derivedset（定义多维数组）（定义多维数组）程序编写!初始段：对集合属性定义初值（迭代算法的迭代初值）初始段：对集合属性定义初值（迭代算法的迭代初值）;init:!initiallocationsforthesupply（初始点）（初始点）;x,y=5,1,2,7;endinit!Objectivefunction（目标）（目标）;OBJmin=sum(link(i,j):c(i,j)*(x(j)-a(i)2+(y(j)-b(i)2)(1/2);!demandconstraints（需求约束）（需求约束）;for(demand(i):DEMAND_CONsum(supply(j):c(i,j)=d(i););!supplyconstraints（供应约束）（供应约束）;for(supply(i):SUPPLY_CONsum(demand(j):c(j,i)sum(yuefen(i)|i#le#j:d);sum(yuefen:x)=sum(yuefen:d);for(yuefen:xa);end Model:Title 生产计划程序生产计划程序2;Sets:yuefen/1.4/:c,x,e,d,s;endsetsdata:c=70 71 80 76;d=6000 7000 12000 6000;e=2 2 2 2;a=10000;enddatamin=sum(yuefen:c*x+e*s);for(yuefen(i)|i#lt#4:s(i+1)=s(i)+x(i)-d(i);s(4)+x(4)-d(4)=0;s(1)=0;for(yuefen:xa);End月月份份单位成本单位成本(元元)销售量销售量1234 70 6000 72 7000 80 12000 76 600076827676-80-7472-747270生产月10000100001000010000产量600041200070006000销量4321321需求月费用cijmodel:title 生产计划程序3;sets:yuefen/1.4/:a,d,xx;!定义上三角矩阵;link(yuefen,yuefen)|&2#ge#&1:c,x;endsetsdata:c=70 72 74 76 71 73 75 80 82 76;d=6000 7000 12000 6000;a=10000 10000 10000 10000;enddatamin=sum(link:c*x);for(yuefen(i):sum(yuefen(j)|j#ge#i:x(i,j)d(j););!得到每个月的生产量;for(yuefen(i):xx=sum(yuefen(j):x(i,j);EndModel Title:生产计划程序生产计划程序1 Variable Value Reduced Cost A 10000.00 0.000000 C(1)70.00000 0.000000 C(2)71.00000 0.000000 C(3)80.00000 0.000000 C(4)76.00000 0.000000 X(1)10000.00 0.000000 X(2)10000.00 0.000000 X(3)5000.000 0.000000 X(4)6000.000 0.000000 E(1)2.000000 0.000000 E(2)2.000000 0.000000 E(3)2.000000 0.000000 E(4)2.000000 0.000000 D(1)6000.000 0.000000 D(2)7000.000 0.000000 D(3)12000.00 0.000000 D(4)6000.000 0.000000 课堂练习课堂练习1:1:转运问题转运问题设有两个工厂设有两个工厂A、B，产量都是，产量都是10万个，工厂有三万个，工厂有三个仓库个仓库x，y，z，产品都先送到仓库。现有四个顾客分，产品都先送到仓库。现有四个顾客分别为甲，乙，丙，丁，需求量分别为别为甲，乙，丙，丁，需求量分别为3，5，4，5万个。万个。工厂到仓库、仓库到顾客的运费单价（元工厂到仓库、仓库到顾客的运费单价（元/个）见下表个）见下表所示。试求总运费最少的运输方案以及总运费。所示。试求总运费最少的运输方案以及总运费。AB甲甲乙乙丙丙丁丁x43571020y2196715z5220674连续投资连续投资10万元万元A：从第从第1年年到第到第4年每年初要投资，次年末回收年每年初要投资，次年末回收本利本利1.15B：第第3年初投资，到第年初投资，到第5年末回收年末回收1.25，最大投资，最大投资4万元万元C：第第2年初投资，到第年初投资，到第5年末回收年末回收1.40，最大投资，最大投资3万元万元D：每年初投资，每年末回收每年初投资，每年末回收1.11。求：求：5年末总资本最大。年末总资本最大。课堂练习课堂练习2:2:连续投资连续投资灵敏度分析与影子价格灵敏度分析与影子价格 例例4 生产计划问题生产计划问题某工厂计划安排生产某工厂计划安排生产，两种产品，已知每种两种产品，已知每种单位产品的利润，生产单位产品所需设备台时及单位产品的利润，生产单位产品所需设备台时及A,B两种原材料的消两种原材料的消耗，现有原材料和设备台时的定额如表所示，问：耗，现有原材料和设备台时的定额如表所示，问：）怎么安排生产使得工厂获利最大？）怎么安排生产使得工厂获利最大？）产品）产品的单位利润降低到的单位利润降低到1.8万元，要不要改变生产计划，如果降万元，要不要改变生产计划，如果降低到低到1万元呢？万元呢？）产品）产品的单位利润增大到的单位利润增大到5万元，要不要改变生产计划？万元，要不要改变生产计划？）如果产品）如果产品，的单位利润同时降低了的单位利润同时降低了1万元，要不要改变生产万元，要不要改变生产计划？计划？产品产品最大资源量设备128台时原材料A4016kg原材料B0412kg单位产品利润23程序编写程序编写model:title 生产计划问题;maxfmax=2*x1+3*x2;Ax1+2*x28;B4*x116;TIME4*x212;END运行结果运行结果 Model Title:生产计划问题 Variable Value Reduced Cost X1 4.000000 0.000000 X2 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price MAXF 14.00000 1.000000 A 0.000000 1.500000 B 0.000000 0.1250000 TIME 4.000000 0.000000 对问题1，安排是生产产品4单位，产品2单位，最大盈利为14万元。线性模型敏感性理论1目标函数的系数变化的敏感性分析目标函数的系数变化的敏感性分析如果目标函数的系数发生变化，将会影响目标函数 f 斜率的变化，但是只要f 的斜率小于等于-1/2（也就是直线l夹在l1与l2之间时），最优解都在(4,2)上取到，最优解不变，从而生产计划不会变.线性模型敏感性分析1要使用敏感性分析要使用敏感性分析必须要在这里选择必须要在这里选择Prices&Ranges然后然后保存保存退出退出路径：路径：LINGOOptionsGeneralSolver(通用求解程序通用求解程序)选项卡选项卡要调出敏感性分析的结果，要调出敏感性分析的结果，必须必须先求解先求解后再后再在程序窗在程序窗口下口下点击点击LINGORange，Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 2.000000 INFINITY 0.5000000 X2 3.000000 1.000000 3.000000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease A 8.000000 2.000000 4.000000 B 16.00000 16.00000 8.000000 TIME 12.00000 INFINITY 4.000000 当前变量系数允许增加量允许减少量对问题对问题2，产品，产品的单位利润降低到的单位利润降低到1.8万元，在（万元，在（1.5，）之间，所以不改）之间，所以不改变生产计划。如果降低到变生产计划。如果降低到1万元，不在（万元，不在（1.5，）内，要改变生产计划。在程）内，要改变生产计划。在程序中将目标函数的系数序中将目标函数的系数“2”改为改为“1”，可得新的计划为，可得新的计划为安排是生产产品安排是生产产品2单位，产品单位，产品3单位，最大盈利为单位，最大盈利为11万元万元.对问题对问题3，要改变生产计划，更改程序得新计划为生产产品，要改变生产计划，更改程序得新计划为生产产品2单位，产品单位，产品3单位，最大盈利为单位，最大盈利为19万元万元.对问题对问题4，因为两个系数同时改变了，所以只有更改程序的数据，重新运，因为两个系数同时改变了，所以只有更改程序的数据，重新运行得：不改变生产计划，但是最大利润降低到行得：不改变生产计划，但是最大利润降低到8万元万元.把y1,y2,y3作为三种原料的定价，定价的目标是在比生产产品获得更多利润的前提下的最小利润.在最优情况下，在最优情况下，y的值就是资的值就是资源的源的影子价格，影子价格，影子价格有意影子价格有意义是有范围的义是有范围的。影子价格经济含义是：在资源得到最优配影子价格经济含义是：在资源得到最优配置，使总效益最大时，该资源投入量每增置，使总效益最大时，该资源投入量每增加一个单位所带来总收益的增加量加一个单位所带来总收益的增加量 Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 2.000000 INFINITY 0.5000000 X2 3.000000 1.000000 3.000000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease A 8.000000 2.000000 4.000000 B 16.00000 16.00000 8.000000 TIME 12.00000 INFINITY 4.000000 运行结果运行结果 Model Title:生产计划问题 Variable Value Reduced Cost X1 4.000000 0.000000 X2 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price MAXF 14.00000 1.000000 A 0.000000 1.500000 B 0.000000 0.1250000 TIME 4.000000 0.000000 1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?A1的获利增加到的获利增加到30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？每天：每天：例例5加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2获利获利243x1获利获利164 x2原料供应原料供应 劳动时间劳动时间 加工能力加工能力 决策变量决策变量 目标函数目标函数 每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 线性线性规划规划模型模型(LP)Max=72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=220桶牛奶生产桶牛奶生产A1,30桶生产桶生产A2，利润利润3360元。元。OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.00000035元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗？桶牛奶，要买吗？3550;x2+2*x4+x5+3*x620;x3+x5+2*x715;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);gin(x7);end程序编写程序编写按模式按模式2切割切割12根根,按模式按模式5切割切割15根，余料根，余料27米米最优解：最优解：x2=12,x5=15,其余为其余为0；最优值：最优值：27最优解：最优解：x2=15,x5=5,x7=5,其余为其余为0；最优值：最优值：25。按模式按模式2切割切割15根，按模式根，按模式5切割切割5根，按模式根，按模式7切割切割5根，共根，共25根，余料根，余料35米米当余料没有用处时，当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标通常以总根数最少为目标 课堂练习课堂练习3某服务部门一周中每天需要不同数某服务部门一周中每天需要不同数目的雇员，周一到周四每天至少需要目的雇员，周一到周四每天至少需要50人，周五至人，周五至少需要少需要80人，周六和周日至少需要人，周六和周日至少需要90人，现规定应人，现规定应聘者需连续工作聘者需连续工作5天，试确定聘用方案。天，试确定聘用方案。0-1规划规划例例7选址问题选址问题 例例8 面试顺序问题面试顺序问题有有4名同学到一家公司参加三个名同学到一家公司参加三个阶段的面试，公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，阶段的面试，公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到主管部门处复试，最后到经理处参加免试，并且不允然后到主管部门处复试，最后到经理处参加免试，并且不允许插队，由于许插队，由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如表所示，这的面试时间也不同，如表所示，这4名同学约定他们全部面试名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司，假定现在时间是早上完以后一起离开公司，假定现在时间是早上8：00，请问他们，请问他们最早何时能离开公司？最早何时能离开公司？秘书初试秘书初试主管复试主管复试经理面试经理面试同学甲同学甲131520同学乙同学乙102018同学丙同学丙201610同学丁同学丁81015优化目标为：约束条件：个人时间先后次序约束：同阶段不同同学时间不相容：（同阶段靠前同学的完成时间小于靠后同学的开始时间）可将目标改为如下线性优化目标：程序编写程序编写 model:title:面试问题;sets:student/1.4/:;office/1.3/:;link1(student,office):x,t;link2(student,student)|&1#lt#&2:y;endsetsdata:t=13 15 20 10 20 18 20 16 10 8 10 15;Enddatamin=time;!time大于每名同学最后面试完毕时间;for(student(i):timex(i,3)+t(i,3););!面试先后次序约束;for(student(i):for(office(j)|j#lt#3:x(i,j)+t(i,j)x(i,j+1););!每个阶段只能面试一个同学,y(i,k)=1表示第k名同学排在第i名同学前面;取M=1000；for(student(i):for(office(j):for(student(k)|k#gt#i:x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)1000*y(i,k);for(student(i):for(office(j):for(student(k)|k#gt#i:x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)NUM(I);!满足需求满足需求约束约束;FOR(CUTS(J):SUM(NEEDS(I):LENGTH(I)*R(I,J)CAPACITY-MIN(NEEDS(I):LENGTH(I);!合理切割模式约束合理切割模式约束;SUM(CUTS(I):X(I)26;SUM(CUTS(I):X(I)X(I+1);!人为增加约束人为增加约束;FOR(CUTS(J):GIN(X(J);FOR(PATTERNS(I,J):GIN(R(I,J);end结果结果模式模式1：每根原料钢管切割成：每根原料钢管切割成3根根4米和米和1根根6米钢管，米钢管，共共10根；根；模式模式2：每根原料钢管切割成：每根原料钢管切割成2根根4米、米、1根根5米和米和1根根6米钢管，共米钢管，共10根；根；模式模式3：每根原料钢管切割成：每根原料钢管切割成2根根8米钢管，共米钢管，共8根。根。原料钢管总根数为原料钢管总根数为28根。根。用去原料钢管总根数为用去原料钢管总根数为28根。根。课堂练习课堂练习5 下料问题下料问题 （2004全国研究生数学建模竞赛全国研究生数学建模竞赛B题）题）单一原材料的长度为单一原材料的长度为3000mm,需要完成一项有需要完成一项有53种不同种不同长度零件的下料任务长度零件的下料任务.具体数据见表一，在每个切割点处由于具体数据见表一，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为锯缝所产生的损耗为5mm.据估计，该企业每天最大下料能据估计，该企业每天最大下料能力是力是100块块，要求在，要求在4天内完成的零件标号为天内完成的零件标号为:5,7,9,12,15,18,20,25,28,36,48;要求不迟于要求不迟于6天完成的零件标号天完成的零件标号为为:4,11,24,29,32,38,40,46,50.课堂练课堂练习习6料场的建立与运输料场的建立与运输建筑工地的位置建筑工地的位置(用平面坐标用平面坐标a,b表示，距离单位：公里表示，距离单位：公里)及水泥日用量及水泥日用量d(吨吨)下表给出。有两个下表给出。有两个临时料场位于临时料场位于P(5,1),Q(2,7),日储量各有日储量各有20吨。从吨。从A,B两料场分两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。两个新的别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。两个新的料场应建在何处，节省的吨公里数有多大？料场应建在何处，节省的吨公里数有多大？a1.258.750.55.7537.25b1.250.754.7556.57.75d3547611多目标规划多目标规划 线性规划致力于某个目标函数的最优解，这个最线性规划致力于某个目标函数的最优解，这个最优解若是超过了实际的需要，很可能是以过分地消耗优解若是超过了实际的需要，很可能是以过分地消耗了约束条件中的某些资源作为代价。线性规划把各个了约束条件中的某些资源作为代价。线性规划把各个约束条件的重要性都不分主次地等同看待，这也不符约束条件的重要性都不分主次地等同看待，这也不符合实际情况。合实际情况。求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相容，求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相容，如果约束条件中，由于人力，设备等资源条件的限制，如果约束条件中，由于人力，设备等资源条件的限制，使约束条件之间出现了矛盾，就得不到问题的可行解，使约束条件之间出现了矛盾，就得不到问题的可行解，但生产还得继续进行，这将给人们进一步应用线性规但生产还得继续进行，这将给人们进一步应用线性规划方法带来困难。划方法带来困难。例例10 重新考虑例重新考虑例6选址问题。选址问题。多目标决策问题有许多共同的特点，其中最显著多目标决策问题有许多共同的特点，其中最显著的是：目标的的是：目标的不可公度性不可公度性，和目标间的，和目标间的矛盾性矛盾性。因此。因此不能简单的把多个目标归并为单个目标，并使用单目不能简单的把多个目标归并为单个目标，并使用单目标决策问题的方法去求解多目标问题。标决策问题的方法去求解多目标问题。多目标问题的数学模型多目标问题的数学模型 记可行域为记可行域为D.多目标决策的本质问题是多目标决策的本质问题是：如何根据决策者的主观价：如何根据决策者的主观价值判断，对有效解的好坏做出比较？由于可行域中的值判断，对有效解的好坏做出比较？由于可行域中的一个点，对应目标函数是一个向量，所以问题实际是：一个点，对应目标函数是一个向量，所以问题实际是：如何比较两个向量的大小？如何比较两个向量的大小？多目标规划的常用解法多目标规划的常用解法 思想：转化为单目标问题思想：转化为单目标问题（1）线性加权法：）线性加权法：权数权数评价函数评价函数 单目标单目标:（2）变权加权法：）变权加权法：（3）指数加权法：指数加权法：（4）极小极大（）极小极大（min-max）法）法（5）理想点法理想点法 先求解单目标的最优值确定理想点：先求解单目标的最优值确定理想点：在找距离理想点最近的点作为最优解：在找距离理想点最近的点作为最优解：（6）加权偏差函数法）加权偏差函数法（7）费效比函数：）费效比函数：（8）功效系数函数：）功效系数函数：对不同的性质的目标函数统一量纲，再构造效用函数：对不同的性质的目标函数统一量纲，再构造效用函数：比如构造功效系数函数：比如构造功效系数函数：然后求解规划问题：然后求解规划问题：还可以对功效系数函数进行加权构造效用函数，如还可以对功效系数函数进行加权构造效用函数，如（9）参考目标法）参考目标法 约束法：约束法：在多个目标中选定一个主要目标，而对其在多个目标中选定一个主要目标，而对其他目标设定一个期望值，在要求结果不比期望值坏他目标设定一个期望值，在要求结果不比期望值坏的情况下，求主要目标的最优值。的情况下，求主要目标的最优值。分层序列法：分层序列法：把多个目标按照重要程度进行排序，把多个目标按照重要程度进行排序，先求第一个目标的最有解，在达到此目标的条件下先求第一个目标的最有解，在达到此目标的条件下求第二个目标的最优解，依次类推求第二个目标的最优解，依次类推 宽容分层序列法：宽容分层序列法：给前面的最优值设置一定的宽容给前面的最优值设置一定的宽容值，和最优值相差宽容值之内的都是可以接受的。值，和最优值相差宽容值之内的都是可以接受的。（10）逼近理想解法逼近理想解法正负理想解：正负理想解：计算距离，不妨取为欧式距离：计算距离，不妨取为欧式距离：计算测度：计算测度：求最大测度：求最大测度：例例11 11 投资问题投资问题 某企业拟用某企业拟用1000万元投资于万元投资于A、B两个项目的技两个项目的技术改造术改造.设设、分别表示分配给分别表示分配给A、B项目的投资项目的投资（万元）（万元）.据估计，投资项目据估计，投资项目A、B的年收益分别为的年收益分别为投资的投资的60%和和70%；但投资风险损失，与总投资和；但投资风险损失，与总投资和单项投资均有关系：单项投资均有关系：据市场调查显示，据市场调查显示，A项目的投资前景好于项目的投资前景好于B项项目，因此希望目，因此希望A项目的投资额不小项目的投资额不小B项目项目.试问应该试问应该如何在如何在A、B两个项目之间分配投资，才能既使年利两个项目之间分配投资，才能既使年利润最大，又使风险损失为最小？润最大，又使风险损失为最小？该该问问题题是是一一个个非非线线性性多多目目标标规规划划问问题题，将将它它用用数学语言描述出来，就是：求数学语言描述出来，就是：求 、，使：，使：而且满足：而且满足：对对于于上上述述多多目目标标规规划划问问题题，如如果果决决策策者者提提出出的的期望目标是：期望目标是：（1 1）每一年的总收益不小于）每一年的总收益不小于600600万元；万元；（2 2）希望投资风险损失不超过）希望投资风险损失不超过800800万元；万元；（3 3）两个目标同等重要）两个目标同等重要.可以得到一个非劣解方案为：可以得到一个非劣解方案为：646.3139万元，万元，304.1477万元万元 此方案的投资风险损失为此方案的投资风险损失为 799.3082 799.3082 万元，每一万元，每一年的总收益为年的总收益为600.6918600.6918万元万元.课堂练习课堂练习7 2007全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛 B题题 乘公交，看奥运乘公交，看奥运 第第29届奥运会明年届奥运会明年8月将在北京举行，大部分人将会乘坐公月将在北京举行，大部分人将会乘坐公共交通工具到现场观看奥运比赛，这些年来，城市的公交系统有共交通工具到现场观看奥运比赛，这些年来，城市的公交系统有了很大发展，北京市的公交线路已达了很大发展，北京市的公交线路已达800条以上，使得公众的出行条以上，使得公众的出行更加通畅、便利，但同时也面临多条线路的选择问题。请你们解更加通畅、便利，但同时也面临多条线路的选择问题。请你们解决如下问题：决如下问题：1、仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一、仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。并根据附录数据，利用你们的模型与算法，般数学模型与算法。并根据附录数据，利用你们的模型与算法，求出以下求出以下6对起始站对起始站终到站之间的最佳路线终到站之间的最佳路线 (1)、S3359S1828 (2)、S1557S0481 。2、同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。、同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。练习：请给出模型的目标练习：请给出模型的目标课堂练习课堂练习8 投资组合问题投资组合问题 某三支股票在某三支股票在12年的价格如下：年的价格如下：年份年份股票股票A股票股票B股票股票C股票指数股票指数19431.3001.2251.1491.25899719441.1031.2901.2601.19752619451.2161.2161.4191.36436119460.9540.7280.9220.91928719470.9291.1441.1691.05708019481.0561.1070.9651.05501219491.0381.3211.1331.18792519501.0891.3051.7321.31713019511.0901.1951.0211.24016419521.0831.3901.1311.18367519531.0350.9281.0060.99010819541.1761.7151.9081.526236解决如下问题：解决如下问题：（1）如果在）如果在1955年你有一笔资金投资这三种股票，年你有一笔资金投资这三种股票，并期望年收益率至少达到并期望年收益率至少达到15%，那么你应当如何投资，那么你应当如何投资？分析投资组合与回报率以及风险的关系。？分析投资组合与回报率以及风险的关系。（2）如果还可以投资国库券，年收益率为）如果还可以投资国库券，年收益率为5%，如，如果投资呢？果投资呢？（3）如果幂目前持有的股票比例为：）如果幂目前持有的股票比例为：A占占50%，B占占35%，C占占15%，买卖股票按交易额的，买卖股票按交易额的1%收取交收取交易费，你会怎么办？易费，你会怎么办？（4）在希望风险小而获利大前提下考虑以上问题。在希望风险小而获利大前提下考虑以上问题。目标规划模型目标规划模型线性规划与目标规划线性规划与目标规划线性规划通常考虑一个目标函数线性规划通常考虑一个目标函数(问题简单问题简单)目标规划考虑多个目标函数目标规划考虑多个目标函数(问题复杂问题复杂)线性规划线性规划目标规划目标规划发展发展演变演变某企业生产甲、乙两种产品，需要用到某企业生产甲、乙两种产品，需要用到A,B,C三种设备，关三种设备，关于产品的盈利与使用设备的工时及限制如下表所示。于产品的盈利与使用设备的工时及限制如下表所示。例例12 12 生产安排问题生产安排问题问该企业应如何安排生产，使得在计划期内总利润最大？问该企业应如何安排生产，使得在计划期内总利润最大？该例该例11是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型设甲、乙产品的产量分别为设甲、乙产品的产量分别为x1,x2,建立线性规划模型：建立线性规划模型：用用Lingo软件求解软件求解,得到最优解得到最优解在上例在上例8.1中，企业的经营目标不仅要考虑利润，还需要考中，企业的经营目标不仅要考虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素虑多个方面，因此增加下列因素(目标目标)：力求使利润指标不低于力求使利润指标不低于1500元元考虑到市场需求考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2设备设备A为贵重设备，严格禁止超时使用为贵重设备，严格禁止超时使用设备设备C可以适当加班，但要控制；设备可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又尽既要求充分利用，又尽可能不加班，在重要性上，设备可能不加班，在重要性上，设备B是设备是设备C的的3倍倍从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需要从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需要借助于目标规划的方法进行建模求解借助于目标规划的方法进行建模求解某汽车销售公司委托一个广告公司在电视上为其做广告，汽某汽车销售公司委托一个广告公司在电视上为其做广告，汽车销售公司提出三个目标：车销售公司提出三个目标：例例13 汽车广告费问题汽车广告费问题广告公司必须决定购买两种类型的电视广告展播各多少分钟？广告公司必须决定购买两种类型的电视广告展播各多少分钟？第一个目标，至少有第一个目标，至少有40万高收入的男性公民万高收入的男性公民(记为记为HIM)看到这个广告看到这个广告第二个目标，至少有第二个目标，至少有60万一般收入的公民万一般收入的公民(记为记为LIP)看到这个广告看到这个广告第三个目标，至少有第三个目标，至少有35万高收入的女性公民万高收入的女性公民(记为记为HIW)看到这个广告看到这个广告广告公司可以从电视台购买两种类型的广告展播：足球赛中广告公司可以从电视台购买两种类型的广告展播：足球赛中插播广告和电视系列剧插播广告。广告公司最多花费插播广告和电视系列剧插播广告。广告公司最多花费6060万元万元的电视广告费。每一类广告展播每一分钟的花费及潜在的观的电视广告费。每一类广告展播每一分钟的花费及潜在的观众人数如下表所示众人数如下表所示对于例对于例12考虑建立线性规划模型考虑建立线性规划模型设设x1,x2分别是足球赛和电视系列剧中插播的分钟数，按照分别是足球赛和电视系列剧中插播的分钟数，按照要求，可以列出相应的线性规划模型要求，可以列出相应的线性规划模型用用Lingo软件求解软件求解,会发现该问题不可行。会发现该问题不可行。线性规划建模局限性线性规划建模局限性线性规划要求所有求解的问题必须满足全部的约束，而实线性规划要求所有求解的问题必须满足全部的约束，而实际问题中并非所有约束都需要严格的满足；际问题中并非所有约束都需要严格的满足；线性规划只能处理单目标的优化问题，而对一些次目标只线性规划只能处理单目标的优化问题，而对一些次目标只能转化为约束处理。但在实际问题中，目标和约束好似可以能转化为约束处理。但在实际问题中，目标和约束好似可以相互转化的，处理时不一定要严格区分；相互转化的，处理时不一定要严格区分；线性规划在处理问题时，将各个约束线性规划在处理问题时，将各个约束(也可看作目标也可看作目标)的地的地位看成同等重要，而在实际问题中，各个目标的重要性即有位看成同等重要，而在实际问题中，各个目标的重要性即有层次上的差别，也有在同一层次上不同权重的差别层次上的差别，也有在同一层次上不同权重的差别线性规划寻求最优解，而许多实际问题只需要找到满意解线性规划寻求最优解，而许多实际问题只需要找到满意解就可以了。就可以了。目标规划的数学模型目标规划的数学模型为了克服线性规划的局限性为了克服线性规划的局限性,目标规划采用如下手段：目标规划采用如下手段：1.设置偏差变量设置偏差变量;2.统一处理目标与约束统一处理目标与约束;3.目标的优先级与权系数目标的优先级与权系数。目标规划的基本概念目标规划的基本概念1.设置偏差变量设置偏差变量用偏差变量用偏差变量(Deviationalvariables)来表示实际值与目标值来表示实际值与目标值之间的差异，令之间的差异，令 -超出目标的差值，称为正偏差变量超出目标的差值，称为正偏差变量 -未达到目标的差值，称为负偏差变量未达到目标的差值，称为负偏差变量其中其中 与与 至少有一个为至少有一个为0 0约定如下：约定如下：当实际值超过目标值时，有当实际值超过目标值时，有当实际值未达到目标值时，有当实际值未达到目标值时，有当实际值与目标值一致时，有当实际值与目标值一致时，有2.统一处理目标与约束统一处理目标与约束在目标规划中，约束可分两类，一类是对资源有严格限制在目标规划中，约束可分两类，一类是对资源有严格限制的，称为刚性约束的，称为刚性约束(HardConstraint)；例如在用目标规划；例如在用目标规划求解例求解例8.1中设备中设备A禁止超时使用，则有刚性约束禁止超时使用，则有刚性约束另一类是可以不严格限制的，连同原线性规划的目标另一类是可以不严格限制的，连同原线性规划的目标,构构成柔性约束成柔性约束(SoftConstraint).例如在求解例例如在求解例8.1中，我们中，我们希望利润不低于希望利润不低于1500元，则目标可表示为元，则目标可表示为求解例求解例8.1中甲、乙两种产品中甲、乙两种产品的产量尽量保持的产量尽量保持1:2的比例，的比例，则目标可表示为则目标可表示为设备设备C可以适当加班，但要控制，可以适当加班，但要控制，则目标可表示为则目标可表示为设备设备B既要求充分利用，又尽可能既要求充分利用，又尽可能不加班，则目标可表示为不加班，则目标可表示为从上面的分析可以看到：从上面的分析可以看到：如果希望不等式保持大于等于，则极小化负偏差；如果希望不等式保持大于等于，则极小化负偏差；如果希望不等式保持小于等于，则极小化正偏差；如果希望不等式保持小于等于，则极小化正偏差；如果希望保持等式，则同时极小化正、负偏差如果希望保持等式，则同时极小化正、负偏差3.目标的优先级与权系数目标的优先级与权系数在目标规划模型中，目标的优先分为两个层次，第一个在目标规划模型中，目标的优先分为两个层次，第一个层次是目标分成不同的优先级，在计算目标规划时，必层次是目标分成不同的优先级，在计算目标规划时，必须先优化高优先级的目标，然后再优化低优先级的目标。须先优化高优先级的目标，然后再优化低优先级的目标。通常以通常以P1,P2,.表示不同的因子表示不同的因子,并规定并规定PkPk+1，第二个，第二个层次是目标处于同一优先级