第3课因式分解

第3课因式分解 1 1因式分解：因式分解：把一个多项式化成几个把一个多项式化成几个 的形式，叫做因式分解的形式，叫做因式分解因式分解与因式分解与 是互逆运算是互逆运算2 2基本方法：基本方法：(1)(1)提取公因式法：提取公因式法：mambmc (2)(2)公式法：公式法：运用平方差公式：运用平方差公式：a2 2b2 2 ；运用完全平方公式：运用完全平方公式：a2 222abb2 2 .要点梳理要点梳理整式积整式积整式乘法整式乘法m(abc)(ab)(ab)(ab)2 23 3因式分解的一般步骤：因式分解的一般步骤：(1)(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；(3)(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不 再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这些统称分解彻底式，这些统称分解彻底 (4)(4)注意因式分解中的范围，如注意因式分解中的范围，如x4 44 4(x2 22)(2)(x2 22)2)，在实，在实数范围内分解因式，数范围内分解因式，x4 44 4(x2 22)(2)(x )()(x )，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解1 1正确理解因式分解的意义正确理解因式分解的意义 理解因式分解的意义，应注意：理解因式分解的意义，应注意：(1)(1)因式分解与整式乘法是个相反的过程，因式分解的左因式分解与整式乘法是个相反的过程，因式分解的左边是多项式，右边是几个因式的积，不含其它运算；边是多项式，右边是几个因式的积，不含其它运算；(2)(2)因式分解不含非整式的式子；因式分解不含非整式的式子；(3)(3)因式分解是个恒等变形的过程，从左到右的变形不能因式分解是个恒等变形的过程，从左到右的变形不能改变原式的大小改变原式的大小 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2 2注意提取公因式法、运用公式法的要点注意提取公因式法、运用公式法的要点 多项式因式分解往往需要对一些隐含的公因式多项式因式分解往往需要对一些隐含的公因式(如互为相反数如互为相反数的因式的因式)进行调整变形，其依据是乘方的符号法则，变形时一进行调整变形，其依据是乘方的符号法则，变形时一般要进行观察，需要调整项的标准有两个：般要进行观察，需要调整项的标准有两个：(1)(1)使需要调整的使需要调整的项尽量少；项尽量少；(2)(2)尽量调整指数为偶数的项，这样可以减少符号尽量调整指数为偶数的项，这样可以减少符号变化带来的麻烦及错误；平方差公式主要运用于二项式的因变化带来的麻烦及错误；平方差公式主要运用于二项式的因式分解，完全平方公式主要运用于三项式的因式分解式分解，完全平方公式主要运用于三项式的因式分解 分解因式必须分解到不能再分解为止，特别是一些比较隐晦分解因式必须分解到不能再分解为止，特别是一些比较隐晦的，或者在解答过程中新出现的公因式要引起重视解题结的，或者在解答过程中新出现的公因式要引起重视解题结果的简单明了是解题的基本要求之一，这样才可能使解题的果的简单明了是解题的基本要求之一，这样才可能使解题的答案具有唯一性，所以因式分解的结果中的每一个因式必须答案具有唯一性，所以因式分解的结果中的每一个因式必须是最简形式是最简形式1 1(2011(2011河北河北)下列分解因式正确的是下列分解因式正确的是()Aaa3 3a(1(1a2 2)B2 2a4 4b2 22(2(a2 2b)Ca2 24 4(a2)2)2 2 Da2 22 2a1 1(a1)1)2 2 解析：解析：a2 22 2a1 1a2 222a 1 11 12 2(a1)1)2 2，是完全平方公式是完全平方公式基础自测基础自测D2 2(2011(2011天门天门)把代数式把代数式ax2 24 4ax4 4a分解因式，下列结果中正分解因式，下列结果中正确的是确的是()Aa(x2)2)2 2 Ba(x2)2)2 2 Ca(x4)4)2 2 Da(x2)(2)(x2)2)解析：解析：ax2 24 4ax4 4aa(x2 24 4x4)4)a(x2)2)2 2.A3 3(2011(2011年北京四中模拟年北京四中模拟)把把a3 3ab2 2分解因式的正确结果是分解因式的正确结果是()A(aab)()(aab)Ba(a2 2b2 2)Ca(ab)()(ab)Da(ab b)2 2 解析：解析：a3 3ab2 2a(a2 2b2 2)a(ab)()(ab)C4 4(2011(2011金华金华)下列各式能用完全平方公式进行分解因式下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是的是()Ax2 21 1 Bx2 22 2x1 1 Cx2 2x1 1 Dx2 24 4x4 4 解析：只有解析：只有x2 24 4x4 4x2 22222x2 22 2(x2)2)2 2是完全是完全 平方式平方式D5 5(2011(2011天津天津)若实数若实数x、y、z满足满足(xz)2 24(4(xy)()(yz)0 0，则下列式子一定成立的是，则下列式子一定成立的是()Axyz0 0 Bxy2 2z0 0 Cyz2 2x0 0 Dzx2 2y0 0 解析：左边解析：左边(xy)(yz)2 24(4(xy)()(yz)(xy)2 22(2(xy)()(yz)(yz)2 2 (xy)(yz)2 2 故故(xy)(yz)0 0，x2 2yz0.0.D题型一因式分解的意义题型一因式分解的意义【例例1 1】下列各式从左到右的变形是因式分解的是下列各式从左到右的变形是因式分解的是()A(ab)2 2a2 22 2abb2 2 Ba2 22 2a1 1a(a1)1)1 1 Ca2 21 1a Da2 2b2 2(ab)()(ab)解析：解析：a2 2b2 2b2 2a2 2(ba)()(ba)，平方差公式分解因式，平方差公式分解因式题型分类题型分类 深度剖析深度剖析D探究提高探究提高 熟练地掌握因式分解的意义因式分解是将一个多项式化熟练地掌握因式分解的意义因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解则不是因式分解知能迁移知能迁移1 1下列多项式的分解因式，正确的是下列多项式的分解因式，正确的是()A8 8abx1212a2 2x2 24 4abx(2(23 3ax)B6 6x3 36 6x2 21212x6 6x(x2 2x2)2)C4 4x2 26 6xy2 2x2 2x(2(2x3 3y)D3 3a2 2y9 9ay6 6y3 3y(a2 23 3a2)2)解析：解析：6x(x2 2x2)2)6 6x3 36 6x2 21212x，因式分解是恒等变形因式分解是恒等变形B题型二提取公因式法分解因式题型二提取公因式法分解因式【例例2 2】(1)(1)多项式多项式6 6xy2 2xy2 24 4xyz中各项的公因式是中各项的公因式是 解析：解析：6 6xy2 2xy33；2 2xy2 22 2xy(y)；4 4xyz2 2xy22z，各项的公因式是各项的公因式是2 2xy.2 2xy(2)(2)分解因式：分解因式：4 4x3 3y2 22828x2 2y2 2xy ；6 6a2 2(xy)2 23 3a(yx)3 3 .解析：解析：4 4x3 3y2 22828x2 2y2 2xy (4(4x3 3y2 22828x2 2y2 2xy)2 2xy(2(2x2 2y1414x1)1)6 6a2 2(xy)2 23 3a(yx)3 3 6 6a2 2(xy)2 23 3a(xy)3 3 3 3a(xy)2 222a(xy)3 3a(xy)2 2(2(2axy)2 2xy(2(2x2 2y1414x1)1)3 3a(xy)2 2(2(2axy)探究提高探究提高 1.1.当某项正好为公因式时，提取公因式后，该项应为当某项正好为公因式时，提取公因式后，该项应为1 1，不可漏掉不可漏掉.2.2.首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正号内首项系数为正.3.3.公因式也可以是多项式公因式也可以是多项式知能迁移知能迁移2 2(1)(1)把多项式把多项式(m1)(1)(m1)1)(m1)1)提公因式提公因式(m1)1)后，余下的部分是后，余下的部分是()Am1 1 B2 2m C2 2 Dm2 2 解析：提取公因式后，前项余下解析：提取公因式后，前项余下m1 1，后项余下，后项余下1 1，(m1)1)1 1m2.2.(2)(2)分解因式：分解因式：(xy)2 23(3(xy)答案：答案：(xy)2)23(xy)(xy)()(xy3)3)D题型三运用公式法分解因式题型三运用公式法分解因式【例例3 3】(1)(1)下列多项式中，能用公式法分解因式的是下列多项式中，能用公式法分解因式的是()Ax2 2xy Bx2 2xy Cx2 2y2 2 Dx2 2y2 2 解析：解析：x2 2y2 2(xy)()(xy)，符合平方差公式，选，符合平方差公式，选C.C(2)(2)分解以下各多项式：分解以下各多项式：9 9x2 21616y2 2 解：原式解：原式(3(3x)2 2(4(4y)2 2 (3(3x4 4y)(3)(3x4 4y)(x1)1)2 29 9 解：原式解：原式(x1 13)(3)(x1 13)3)(x2)(2)(x4)4)1616x4 47272x2 2y2 28181y4 4 解：原式解：原式(4(4x2 29 9y2 2)2 2 (2(2x3 3y)(2)(2x3 3y)2 2 (2(2x3 3y)2 2(2(2x3 3y)2 2.探究提高探究提高 1.1.用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2 2b2 2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“”“b”也可以是多项也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项.2.2.用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征知能迁移知能迁移3 3分解因式：分解因式：(1)4(1)4a2 21 1；解：原式解：原式4 4a2 21 1(2(2a1)(21)(2a1)1)(2)25(2)25(xy)2 29(9(xy)2 2；解：原式解：原式5(5(xy)3(3(xy)5()5(xy)3(3(xy)(8(8x2 2y)(2)(2x8 8y)4(44(4xy)()(x4 4y)(3)(3)a2 2a1 1 解：原式解：原式 2 22 12 11 12 2 2 2(4)(4)x3 36 6x2 29 9x 解：原式解：原式x(x2 26 6x9)9)x(x3)3)2 2题型四综合运用多种方法分解因式题型四综合运用多种方法分解因式【例例4 4】给出三个多项式：给出三个多项式：x2 2x1 1；x2 23 3x1 1；x2 2x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式 解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！解：解：(x2 2x1)1)(x2 23 3x1)1)x2 24 4xx(x4)4)；(x2 2x1)1)(x2 2x)x)x2 21 1(x1)(1)(x1)1)；(x2 23 3x1)1)(x2 2x)x2 22 2x1 1(x1)1)2 2.探究提高探究提高 1.1.具有一定的开放性具有一定的开放性 2.2.灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止不能再分解为止知能迁移知能迁移4 4因式分解：因式分解：(1)(1)a5 5a 解：原式解：原式a(a4 41)1)a(a2 21)(1)(a2 21)1)a(a2 21)(1)(a1)(1)(a1)1)(2)(2)(x2)(2)(x4)4)x2 24 4 解：原式解：原式x2 26 6x8 8x2 24 4 2 2x2 26 6x4 4 2(2(x2 23 3x2)2)2(2(x1)(1)(x2)2)或或 原式原式(x2)(2)(x4)4)(x2)(2)(x2)2)(x2)(2)(x4)4)(x2)2)(x2)(22)(2x2)2)2(2(x2)(2)(x1)1)(3)(2011(3)(2011芜湖芜湖)因式分解：因式分解：x3 32 2x2 2yxy2 2 ；解析：解析：原式原式x(x2 22 2xyy2 2)x(xy)2 2(4)(4)在实数范围内分解因式：在实数范围内分解因式：x4 44.4.解：原式解：原式(x2 22)(2)(x2 22)2)(x2 22)(2)(x )()(x )x(xy)2 2题型五因式分解的应用题型五因式分解的应用【例例5 5】(1)(1)若若ab4 4，则，则a2 22 2abb2 2的值是的值是()A A8 B8 B16 C16 C2 D2 D4 4 解析：解析：a2 22 2abb2 2(ab)2 24 42 21616，选，选B.B(2)(2)已知已知a2 2b2 26 6a1010b34340 0，求，求ab的值的值 解：解：a2 2b2 26 6a1010b34340 0，a2 26 6a9 9b2 21010b25250 0，(a3)3)2 2(b5)5)2 20 0，a3 30 0且且b5 50 0，a3 3，b5 5，ab3 35 52.2.(3)(3)如果多项式如果多项式2 2x3 3x2 22626xk有一个因式是有一个因式是2 2x1 1，求，求k的值的值 解：解：2 2x1 1是是2 2x3 3x2 22626xk的因式，的因式，可设可设2 2x3 3x2 22626xk(2(2x1)1)R，令令2 2x1 10 0，x ，得得2 2 3 3 2 226 26 k0 0，1313k0 0，k13.13.探究提高探究提高 1.1.利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值.2.2.一个问题有两个未知数，只有一个条件，考虑到已知式一个问题有两个未知数，只有一个条件，考虑到已知式右边等于右边等于0 0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为是非负数，要使和为0 0，则每个完全平方式都等于，则每个完全平方式都等于0 0，从而使，从而使问题得以求解问题得以求解.3.3.逆向思维，推出多项式分解后的几个因式，采用系数求逆向思维，推出多项式分解后的几个因式，采用系数求等的方法列方程组求解，或者利用恒等变形的性质，设等的方法列方程组求解，或者利用恒等变形的性质，设2 2x1 10 0，x 代入原式，可求得代入原式，可求得k.知能迁移知能迁移5 5(1)(2011(1)(2011衡阳衡阳)若若mn2 2，mn5 5，则，则m2 2n2 2的的值为值为 解析：解析：m2 2n2 2(mn)()(mn)525210.10.(2)(2)若若ABC的三边长分别为的三边长分别为a、b、c，且，且a2 2abc2 2bc，判断，判断ABC的形状的形状 解：解：a2 2abc2 2bc，ac2 2ab2 2bc0 0，(ac)2 2b(ac)0 0，(1(12 2b)()(ac)0.0.1 12 2b00，ac0 0，ac，ABC是等腰三角形是等腰三角形10103.3.分解方法不熟练致误分解方法不熟练致误试题分解因式：试题分解因式：(1)20(1)20m3 3n1515m2 2n2 25 5m2 2n；(2)4(2)4x2 21616y2 2；(3)(3)m(ab)n(ba)；(4)(4)3 3x2 21818x27.27.学生答案展示学生答案展示(1)20(1)20m3 3n1515m2 2n2 25 5m2 2n5 5m2 2n(4(4m3 3n)；(2)4(2)4x2 21616y2 2(2(2x4 4y)(2)(2x4 4y)；(3)(3)m(ab)n(ba)(ab)()(mn)；(4)(4)3 3x2 21818x27273(3(x2 26 6x9)9)易错警示易错警示剖析剖析学习因式分解，若对分解因式的方法不熟练，理解不透彻，学习因式分解，若对分解因式的方法不熟练，理解不透彻，可能会出现形形色色的错误可能会出现形形色色的错误正解正解(1)20(1)20m3 3n1515m2 2n2 25 5m2 2n5 5m2 2n(4(4m3 3n1)1)；(2)4(2)4x2 21616y2 24(4(x2 2y)()(x2 2y)；(3)(3)m(ab)n(ba)m(ab)n(ab)(ab)()(mn)；(4)(4)3 3x2 21818x27273(3(x2 26 6x9)9)3(3(x3)3)2 2.批阅笔记批阅笔记 因式分解提公因式后，括号内的项一定要与原来的项数一因式分解提公因式后，括号内的项一定要与原来的项数一样多，错解主要是对分配律理解不深或粗心大意造成的，提样多，错解主要是对分配律理解不深或粗心大意造成的，提公因式还有符号方面的错误；分解因式时，应先观察是否有公因式还有符号方面的错误；分解因式时，应先观察是否有公因式可提，公因式包括系数，错解忽视提系数的最大公约公因式可提，公因式包括系数，错解忽视提系数的最大公约数数4 4；分解因式还要使分解后的每个因式都不能再分解；分解因式还要使分解后的每个因式都不能再分解.方法与技巧方法与技巧1.1.多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具体的多项式，有多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具体的多项式，有许多方法是根本不适用的因此，拿过一道题目，先试试这个许多方法是根本不适用的因此，拿过一道题目，先试试这个方法，再试那个办法，对于迅速解出题目意义十分重大方法，再试那个办法，对于迅速解出题目意义十分重大2 2先从大的方面着手，安排合理的思考程序，建议如下：先从大的方面着手，安排合理的思考程序，建议如下：(1)(1)提取公因式；提取公因式；(2)(2)看几项；看几项；(3)(3)分解彻底分解彻底 在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重复以上程序进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分再重复以上程序进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分解为止解为止思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范1 1当某项正好为公因式时，提公因式后，该项应为当某项正好为公因式时，提公因式后，该项应为1 1，不能漏掉；，不能漏掉；首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；公因式也可以是多项式项系数为正；公因式也可以是多项式2 2运用公式分解因式，其关键是将多项式化为运用公式分解因式，其关键是将多项式化为a2 2b2 2，a2 222abb2 2的形式掌握公式的特征，对所给多项式要善于观察并作适的形式掌握公式的特征，对所给多项式要善于观察并作适当变形，使之符合平方差公式、完全平方公式的特点当公当变形，使之符合平方差公式、完全平方公式的特点当公式中的式中的“a”、“b”是多项式时，可把这个多项式看成一个是多项式时，可把这个多项式看成一个整体，分解后要注意合并同类项最后检查结果是否不能再整体，分解后要注意合并同类项最后检查结果是否不能再分解了分解了完成考点跟踪训练 3