圆的对称性niu

24.1.2 24.1.2 垂径定理垂径定理?探究圆的对称探究圆的对称性性圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴你能找到多少条对称轴？O你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的?n圆是中心对称图形吗？圆是中心对称图形吗？如果是如果是,它的对称中心是什它的对称中心是什么么?你又是用什么方法解决这你又是用什么方法解决这个问题的个问题的?回答圆的对称性回答圆的对称性圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线线,它有无数条对称轴它有无数条对称轴.O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题.n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心.用旋转的方法即可解决用旋转的方法即可解决这个问题这个问题.（一分钟记忆）（一分钟记忆）AM=BM,AM=BM,?探究垂径定探究垂径定理理已知已知ABAB是是O O的一条弦的一条弦,（2 2）图中有哪些相等的量）图中有哪些相等的量?与同伴说说你的想法与同伴说说你的想法和理由和理由.作直径作直径CDABCDAB于于M.M.O（1 1）此图是轴对称图形吗）此图是轴对称图形吗?若是若是,对称轴是什么对称轴是什么?n I 发现图中有发现图中有:ABCD Mn由由CDCD是是直直径径 CDAB CDAB AC=BCAC=BC,AD=BD.AD=BD.合合作作探探究究证明我们的发现证明我们的发现证明证明:如图如图,连接连接OA,OB,OA,OB,OA AB BC CD DM M则则OA=OB.OA=OB.在在RtOAMRtOAM和和RtOBMRtOBM中中,OA=OBOA=OB，OM=OMOM=OM，RtOAMRtOBM.(HLRtOAMRtOBM.(HL)AM=BM.AM=BM.点点A A和点和点B B关于关于CDCD对称对称.O O关于直径关于直径CDCD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CDCD对折时对折时,点点A A与点与点B B重合重合,ACAC和和BCBC重合重合,ADAD和和BDBD重合重合,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.已知已知:CDCD是直径是直径 ,CDAB,CDAB求证求证:AM=BM,AM=BM,AD=BD.AD=BD.AC=BCAC=BC,垂径定理垂径定理(5-2-3(5-2-3定理定理)垂径定理垂径定理的表述的表述 如果圆的直径垂直于如果圆的直径垂直于弦弦;那么这条直径平分该弦那么这条直径平分该弦,并且平并且平分该弦所的两条弧分该弦所的两条弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,1.1.符号语言符号语言:AC=BCAC=BC,AD=BD.AD=BD.2.2.文字语言文字语言:(1)(1)非标准形式非标准形式:垂直于弦的直径垂直于弦的直径 平分弦并且平分弦所的两条弧平分弦并且平分弦所的两条弧.(2)(2)标准形式标准形式:（2 2分钟记忆）分钟记忆）1.1.已知：如图已知：如图,O,O 中中,弦弦ABEF,ABABEF,ABEF,EF,直径直径CDABCDAB于于M,M,交弦交弦EFEF于点于点N.N.图中相等的线段有：图中相等的线段有：.图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有:.垂径定理的应用一垂径定理的应用一:证明线段和弧相等证明线段和弧相等EN=FNEN=FNOABDN NF FE EAM=BM;AM=BM;AC=BCAC=BC,AD=BDAD=BD,DE=DFDE=DF,CE=CFCE=CF,AE=BFAE=BF,BE=AFBE=AF。CMD 2.2.如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条那么这两条弦所夹的弧相等吗弦所夹的弧相等吗?BOACD垂径定理的推论垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.答答:相等相等已知已知:如图如图,弦弦 ABCD,ABCD,求证求证:AC=BDAC=BD,证明证明:作直径作直径EFEFABAB于于M M交交CDCD于于N,N,弦弦ABCDABCD ,EFCD,EFCD,则则AE=BEAE=BE,EC=EDEC=ED,EC EC-AE =ED AE =ED-BEBE,即即 AC=BDAC=BD,E EF FN NM M 3 3.已知：如图，在以已知：如图，在以O O为圆心的两个同心圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦中，大圆的弦ABAB交小圆于交小圆于C C，D D两点。你认为两点。你认为ACAC和和BDBD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？证明：作证明：作OEABOEAB于于E E，.ACDBO注意：证明与弦有关的线段相等的问注意：证明与弦有关的线段相等的问题，往往过圆心作弦的垂线段，或作题，往往过圆心作弦的垂线段，或作垂直于弦的直径，也是一种常见添辅垂直于弦的直径，也是一种常见添辅助线的方法助线的方法则则AEAEBEBE，CECEDEDE()AEAECECEBEBEDE()DE()即即 ACACBDBDE答答:AC:ACBDBD想一想：想一想：根据所给的图形编一道题根据所给的图形编一道题上述推理符合垂上述推理符合垂径定理的条件吗径定理的条件吗?即垂径定理即垂径定理三角形三角形已知：如图，直径已知：如图，直径CDCD弦弦ABAB于于E.E.若半径若半径R=2 R=2，AB=,AB=,求求弦心距弦心距OEOE、弓高弓高DEDE的长的长.若半径若半径R=2 R=2，OE=1 OE=1，求，求ABAB的长的长.（练习）（练习）垂垂径定理应用二：求弦长、半径、弓高和弦心距。径定理应用二：求弦长、半径、弓高和弦心距。分析：连半径分析：连半径OAOA构造直角三角形构造直角三角形（），然后运用勾股定理进行计算。然后运用勾股定理进行计算。解：解：（1 1）连接连接OAOA，直径直径CDCD弦弦ABAB于于E E，3AE=1/2AB=AE=1/2AB=OE=1OE=1，DE=OD-OE=2-1=1DE=OD-OE=2-1=1。（2 2）直径直径CDCD弦弦ABAB于于E E，3AE=AE=AB=2AE=AB=2AE=由由 、两题的启发，你还能编出什么其他问题？两题的启发，你还能编出什么其他问题？答：答：d+hd+h=r=r注意：在注意：在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中任意中，已知其中任意 两个量两个量,可以求出其它两个量可以求出其它两个量.垂垂径定理应用二：求弦长、半径、弓高和弦心距。径定理应用二：求弦长、半径、弓高和弦心距。已知：如图，直径已知：如图，直径CDCD弦弦ABAB于于E.E.若半径若半径R=2 R=2，AB=,AB=,求求弦心距弦心距OEOE、弓高弓高DEDE的长的长.若半径若半径R=2 R=2，OE=1 OE=1，求，求ABAB的长的长.（练习）（练习）可以编一个求半径的题。可以编一个求半径的题。（3 3）若）若弓高弓高DE=1DE=1，弦，弦AB=,AB=,求半径的长求半径的长.（练习）（练习）归纳：归纳：（1 1）垂径定理三角形的特征及构成；垂径定理三角形的特征及构成；答：是直角三角形，斜边为半径答：是直角三角形，斜边为半径r r，直，直角边为弦心距角边为弦心距d d和弦的一半和弦的一半a1/2a1/2。这三个量满足：这三个量满足：（2 2）弓高）弓高h h与与r r、d d之间的关系；之间的关系；rda1/2h 1 1、在直径为、在直径为650mm650mm的圆柱形油槽的圆柱形油槽 内装入一些油后，截面如图所示内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽若油面宽AB=600mmAB=600mm，求油的最大深度求油的最大深度.ED 600 学以致用：BAO赵赵州州石石拱拱桥桥 2 2、你知道赵州石拱桥吗、你知道赵州石拱桥吗(如图如图)？它是？它是13001300多年前我多年前我 国隋代建造的，是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结国隋代建造的，是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结 晶。它的主桥拱是圆弧形晶。它的主桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,7.2m,你能求出主桥拱的半径吗你能求出主桥拱的半径吗(精确到精确到0.1m)0.1m)？37.437.47.27.2求弧所在求弧所在圆的半径圆的半径解：解：如图，用如图，用 表示桥拱表示桥拱,设设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O O，半径为半径为RmRm，作半径，作半径OCOC弦弦ABAB于于D,D,根据垂径定理可得，根据垂径定理可得，AD=1/2AB=18.7;CAD=1/2AB=18.7;C是是 的中点，则的中点，则CDCD是拱高是拱高,CD=7.2.在在RtOADRtOAD中，由勾股定理中，由勾股定理,得得解得解得 R27.9R27.9（m m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.27.9m.37.47.2解决这个问题首先要把实解决这个问题首先要把实际问题转化为数学问题际问题转化为数学问题.教师教师提示提示:RDOABCR-7.2R-7.218.732船能过船能过拱桥吗拱桥吗 3.3.如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽桥下水面宽为为7.27.2米米,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶部为长方形并高出水面米、船舱顶部为长方形并高出水面2 2米的货米的货船要经过这里船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥吗？吗？7.22.4 解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱,设设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半半径为径为RmRm,作半径作半径OCOC弦弦ABAB于于D D与与MNMN相交于点相交于点 H.H.根据垂径根据垂径定理知定理知D D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,则则CDCD就是拱高就是拱高.在在RtOADRtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R3.9R3.9（m m）.在在RtONHRtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.AD=1/2AB=3.6,CD=2.4,NH=1/2MN=1.5OD=OC CD=R 2.4,DH=3.6 1.5=2.12