高等量子力学 理论方法 5

一、一、量子力学的建立量子力学的建立二、二、量子力学基本原理量子力学基本原理三、三、量子力学的理论方法量子力学的理论方法四、四、量子力学的应用量子力学的应用 高高 等等 量量 子子 力力 学学1三、三、量子力学的理论方法量子力学的理论方法一、一、表象理论表象理论二、二、微扰理论微扰理论五、五、散射理论散射理论 六、六、多粒子体系理论多粒子体系理论 七、七、二次量子化二次量子化 八、八、相对论量子力学相对论量子力学 三、三、量子跃迁理论量子跃迁理论四、四、自旋与角动量理论自旋与角动量理论2第六章第六章 散射理论散射理论一、散射过程、散射截面一、散射过程、散射截面二、中心力场中的弹性散射二、中心力场中的弹性散射三、方形势阱与势垒产生的散射三、方形势阱与势垒产生的散射四、格林函数法和波恩近似四、格林函数法和波恩近似3散射过程：散射过程：Zds靶粒子所处位置称为散射中心。靶粒子所处位置称为散射中心。方向准直的均匀单能粒子由远处沿方向准直的均匀单能粒子由远处沿z z轴方轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为各方向散射开去，此过程称为散射过程散射过程。散。散射后的粒子可用探测器测量。射后的粒子可用探测器测量。一、散射过程、散射截面一、散射过程、散射截面4散散射射角角：入入射射粒粒子子受受靶靶粒粒子子势势场场的的作作用用，其其运动方向偏离入射方向的角度。运动方向偏离入射方向的角度。弹性散射弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。射，否则称为非弹性散射。入射粒子流密度入射粒子流密度N N：单位时间内通过与入射单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。为入射粒子流强度。5设设单单位位时时间间内内散散射射到到（，）方方向向面面积积元元dsds上（立体角上（立体角d d 内）的粒子数为内）的粒子数为dn，显然显然综合之，则有：综合之，则有：或或 （1 1）比例系数比例系数q(q(，)的性质：的性质：q(q(，)与与入入射射粒粒子子和和靶靶粒粒子子（散散射射场场）的的性性质质，它它们们之之间间的的相相互互作作用用，以以及及入入射射粒粒子子的动能有关，是的动能有关，是，的函数的函数散射截面散射截面dsZ6q(q(，)具有面积的量具有面积的量纲纲故称故称q(q(，)为微分散射截面，简称为截面为微分散射截面，简称为截面或角分布或角分布 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面积面面积q(q(，)，则单位时间内通过此截面的则单位时间内通过此截面的粒子数恰好散射到粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角方向的单位立体角内。内。（2）7总散射截面：总散射截面：注注 由由于于N N、可可通通过过实实验验测测定定，故故而而求求得得 。量子力学的任务是从理论上计算出量子力学的任务是从理论上计算出 ，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。的相互作用以及其它问题。8 现现在在考考虑虑量量子子力力学学对对散散射射体体系系的的描描述述。设设靶靶粒粒子子的的质质量量远远大大于于散散射射粒粒子子的的质质量量，在在碰碰撞过程中，靶粒子可视为静止。撞过程中，靶粒子可视为静止。取取散散射射中中心心A A为为坐坐标标原原点点，散散射射粒粒子子体体系系的的定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程（4）令令方程（方程（4 4）改写为）改写为9（5）由由于于实实验验观观测测是是在在远远离离靶靶的的地地方方进进行行的的，从从微观角度看，可以认为微观角度看，可以认为 ，因此，在计算，因此，在计算 时时，仅仅需需考考虑虑 处处的的散散射射粒粒子子的的行行为为，即即仅仅需需考考虑虑 处处的的散散射射体体系系的的波波函数。函数。设设 时，时，方程（，方程（5 5）变为）变为（6）10 在在 处处，散散射射粒粒子子的的波波函函数数是是入入射射平平面波面波 和球面散射波和球面散射波 之和。即之和。即（7）对于三维情形，波可沿各方向散射。对于三维情形，波可沿各方向散射。11散射波的概率流密度散射波的概率流密度入射波概率密度（即入射粒子流密度）入射波概率密度（即入射粒子流密度）为方便起见，取入射平面波为方便起见，取入射平面波 的系数的系数 ，这表明这表明 ，入射粒子束单位体积中的，入射粒子束单位体积中的粒子数为粒子数为1 1。（8 8）12单单位位时时间间内内，在在沿沿 方方向向d d 立立体体角角内内出出现的粒子数为现的粒子数为 （11）比较（比较（1 1）式与（）式与（1 10 0），得到），得到（1 10 0）（9 9）13 下下面面介介绍绍两两种种求求散散射射振振幅幅或或散散射射截截面面的的方方法：分波法，玻恩近似方法。法：分波法，玻恩近似方法。分分波波法法是是准准确确的的求求散散射射理理论论问问题题的的方方法法，即即准确的散射理论。准确的散射理论。由此可知，若知道了由此可知，若知道了 ，即可求得，即可求得 ，称称为为散散射射振振幅幅。所所以以，对对于于能能量量给给定定的的入入射粒子，速率射粒子，速率 给定，于是，入射粒子流密度给定，于是，入射粒子流密度 给给定定，只只要要知知道道了了散散射射振振幅幅 ，也也就就能能求求出出微微分分散散射射截截面面。的的具具体体形形式式通通过过求求SchrSchrdingerdinger方方程程（5 5）的的解解并并要要求求在在 时时具有渐近形式（具有渐近形式（7 7）而得出。）而得出。14 取取沿沿粒粒子子入入射射方方向向并并通通过过散散射射中中心心的的轴轴线线为为极极轴轴z z，显显然然 与与 无无关关，对对于于具具有有确确定定能能量的粒子，方程（量的粒子，方程（2-12-1）的特解为）的特解为讨论粒子在中心力场中的散射。讨论粒子在中心力场中的散射。（2-12-1）粒子在辏力场中的势能为粒子在辏力场中的势能为 ，状态方程，状态方程由由于于现现在在 与与 无无关关(m=0)m=0)，所所以以，方方程程（1 1）的特解可写成的特解可写成 二、中心力场中的弹性散射（分波法）二、中心力场中的弹性散射（分波法）15方程（方程（2-12-1）的通解为所有特解的线性迭加）的通解为所有特解的线性迭加 （2-2）（2-22-2）代入（）代入（2-12-1），得径向方程），得径向方程 为为待待定定的的径径向向波波函函数数，每每个个特特解解称称为为一一个分波，个分波，称为第称为第 个分波，通常称个分波，通常称 的分波分别为的分波分别为s s,p p,d d,f f分波分波（2-3）16令代入上方程（2-42-4）考虑方程（考虑方程（2-42-4）在）在 情况下的极限解情况下的极限解令令 方程（方程（2-42-4）的极限形式）的极限形式由此求得：由此求得：（2-52-5）17为为了了后后面面的的方方便便起起见见，这这里里引引入入了了两两个个新新的的常数常数将（将（2-52-5）代入（）代入（2-22-2），得到方程（），得到方程（2-12-1）在）在 情形下通解的渐近形式情形下通解的渐近形式（2-6）18 另另一一方方面面，按按上上节节的的讨讨论论，在在远远离离散散射射中中心处，粒子的波函数心处，粒子的波函数（2-72-7）（2-82-8）式中式中jl(kr)是球贝塞尔函数是球贝塞尔函数将平面波将平面波 按球面波展开按球面波展开（2-9）19利用（利用（2-82-8）、（）、（2-92-9），可将（），可将（2-72-7）写成）写成（2-10）（2-62-6）和（）和（2-102-10）两式右边应相等，即）两式右边应相等，即分别比较等式两边分别比较等式两边 和和 前边的系数，得前边的系数，得 20（2-12）（2-11）可以得到可以得到用用 乘以（乘以（1212）式，再对）式，再对 从从 积分，并利用积分，并利用LegradrerLegradrer多项式的正交性多项式的正交性21即即 （2-132-13）将此结果代入（将此结果代入（2-112-11）式）式（2-14）22可见，求散射振幅可见，求散射振幅f f()的问题归结为求的问题归结为求 ，求，求 的具体值关键是解径向波函数的具体值关键是解径向波函数 的方程（的方程（3-33-3）由（由（2-82-8），（），（2-92-9）知，）知，是入射是入射平面波的第平面波的第 个分波的位相；由（个分波的位相；由（2-62-6）知，）知，是散射波第是散射波第 个分波的位相。个分波的位相。所以，所以，是入射波经散射后第是入射波经散射后第 个分波的位个分波的位相移动（相移）。相移动（相移）。的物理意义：的物理意义：23微分散射截面微分散射截面（2-15）总散射截面总散射截面24即即 （2-162-16）式中式中 （2-172-17）是第是第 个分波的散射截面。个分波的散射截面。由上述看们看出：求散射振幅由上述看们看出：求散射振幅 的的问题归问题归结为求相移结为求相移 ，而而 的获得，需要根据的获得，需要根据 的具体情况解径向方程（的具体情况解径向方程（2-32-3）求）求 ，然后然后取其渐近解，并写为取其渐近解，并写为25即可得到第即可得到第 个分波的相移，由于每个分波个分波的相移，由于每个分波都将产生相移都将产生相移 ，所以，必须寻找各个分波所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法。法。光光 学学 定定 理理表示由散射振幅在零点的虚部可以求出总散表示由散射振幅在零点的虚部可以求出总散射截面射截面26 分波法求散射截面是一个无穷级数的问分波法求散射截面是一个无穷级数的问题。从原则上讲，分波法是散射问题的普遍题。从原则上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级数中的各项是方法。但实际上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，达到在一定的条件下计算级数中的前几项，达到一定精确度即可。一定精确度即可。分分波波法法的的适适用用范范围围 散射主要发生在势场的作用范围内，以散射散射主要发生在势场的作用范围内，以散射中心为圆心，以中心为圆心，以 为半径的球表示这个范围，为半径的球表示这个范围，则则 时，散射效果就可以忽略不计了。时，散射效果就可以忽略不计了。27由于入射波的第由于入射波的第 个分波的径向函数个分波的径向函数 的的第一极大值位于第一极大值位于 附近，当附近，当 较大时，较大时，愈大，愈大，愈快，如果愈快，如果 的第一极大值位于的第一极大值位于 ，即，即 时，在时，在 内，内，的值很小。的值很小。亦即第亦即第 个分波受势场的影响很小，散射影个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只有第响可以忽略，只有第 个分波之前的各分波个分波之前的各分波必须考虑。所以，我们把分波法适用的条件必须考虑。所以，我们把分波法适用的条件28写成写成 ，而，而 的分波不必考虑，的分波不必考虑，愈小，则需计算的项数愈小，当愈小，则需计算的项数愈小，当 时，时，这时仅需计算一个相移这时仅需计算一个相移 即足够了，即足够了，足够小，意味着入射粒子的动能较低，所足够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能散射，以分波法适用于低能散射，的分波散射的分波散射截面可以略去。截面可以略去。29说说明明 已知已知 时，可用分波法求出低能散射的时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子问题相移和散射截面，在原子核及基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道中，作用力不清楚，也即不知道 的具体的具体形式，这时，我们可先由实验测定散射截面形式，这时，我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性质，和相移，然后确定势场和力的形式和性质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。30思考题：思考题：什么是分波法？什么是分波法？入射平面波入射平面波e eikzikz按球面波展开按球面波展开展开式中的每一项称为一个分波，每个分波展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移在中心力场的影响下，各自产生一个相移 。而而 的获得需根据的获得需根据 的具体形式解径向方程的具体形式解径向方程31求出求出 ，然后取其渐近解，并写成然后取其渐近解，并写成即可得到第即可得到第 个分波的相移，由于每个分波都个分波的相移，由于每个分波都将产生相移将产生相移 ，所以，计算散射截面时须寻找所以，计算散射截面时须寻找各个分波的相移，各个分波的相移，这种方法称为分波法。这种方法称为分波法。32分分 波波 法法 应应 用用 举举 例例ex.球方势阱和球方势垒的低能散射。球方势阱和球方势垒的低能散射。粒子的势能粒子的势能:是是势势阱阱或或势势垒垒的的深深度度或或高高度度。设设入入射射粒粒子子能能量量很很小小，其其德德布布罗罗意意波波长长比比势势场场作作用用范范围围大大很很多多（质质子子和和中中子子的的低低能能散散射射可可以以近近似似地地归归结结为这种情况），求粒子的散射截面。为这种情况），求粒子的散射截面。Solve:粒子的径向方程粒子的径向方程（1 1）三、方形势阱与势垒产生的散射三、方形势阱与势垒产生的散射33其中其中 （2）对于球方势阱对于球方势阱 为粒子的能量，为粒子的能量，为粒子在靶粒子中心力为粒子在靶粒子中心力场中的势能。场中的势能。（2）因粒子波长因粒子波长所以仅需讨论所以仅需讨论s s波的散射波的散射 ，据此及（据此及（2 2）式，）式，可将方程（可将方程（1 1）写成）写成34其中其中 （4）（3）令令则（则（3 3），（），（4 4）可写成）可写成（5）35（6）其解为其解为（7）（8）于是于是（9）（10）因因 在在 处有限，必须有处有限，必须有所以所以36在在 处，处，及及 连续，因此，连续，因此，及及 在在 处连续。由（处连续。由（7 7），（），（8 8）式得式得总散射截面总散射截面（1111）（1212）由此求得相移由此求得相移即即37在粒子能量很低在粒子能量很低 的情况下，的情况下，。利用利用 时，时，有有 （1313）（1414）对于球方势垒对于球方势垒 。这时，用这时，用 代替以上讨论中的代替以上讨论中的 ，在粒子能在粒子能量很低量很低 的情况下，（的情况下，（1313）变为）变为（1515）38EX.1Solve 为一般起见，先考虑为一般起见，先考虑 分波的相移，分波的相移，再取特殊情况再取特殊情况 分波的相移。分波的相移。粒子受到势能为粒子受到势能为 的场的散射，的场的散射，求求s s分波的微分散射截面。分波的微分散射截面。根据边界条件根据边界条件 （1 1）解径向函数解径向函数 满足的径向方程满足的径向方程令令 39又令又令（2 2）所以（所以（2 2）式可以写成）式可以写成于是（于是（3 3）式又可写成）式又可写成（3 3）令令40上式是上式是 阶贝塞尔方程，其解为阶贝塞尔方程，其解为 ，因此因此但当但当 时，时，所以在所以在 附近附近由由 （4 4）41（5 5）比较（比较（1 1）式和（）式和（5 5）式，则有）式，则有42将将 值代入微分散射截面的表达式值代入微分散射截面的表达式立即可得到立即可得到s s分波的微分散射截面分波的微分散射截面令令s s分波散射截面分波散射截面43EX.2慢速粒子受到势能为慢速粒子受到势能为 的场的散射，的场的散射，若若 ，求散射截面。，求散射截面。由径向波函数由径向波函数 所满足的径向方程所满足的径向方程当当 时时（1）令（2）Solve:由于是慢速粒子散射，对于低能散射由于是慢速粒子散射，对于低能散射只需考虑只需考虑 分波。分波。44将 代入以上方程（3）并令并令 （4 4）（6）（5）45 当当 应有限，则要求应有限，则要求 在在 处，处，和和 连续连续两式相除，得两式相除，得 46总散射截面总散射截面(7)讨论：当粒子的能量 时，如果粒子能量很低如果粒子能量很低 的情况下的情况下 47如果如果 时，时，于是有，于是有在这种情况下，总散射截面等于半径为在这种情况下，总散射截面等于半径为 的球的球面面积。它与经典情况不同，在经典情况下面面积。它与经典情况不同，在经典情况下 48EX.3只考虑只考虑s s分波，求慢速粒子受到势场分波，求慢速粒子受到势场 的场散射时的散射截面的场散射时的散射截面Solve:根据边界条件根据边界条件解径向方程：解径向方程：令则上方程简写为：则上方程简写为：49令令代入上方程，有代入上方程，有只考虑只考虑s s分波，分波，由于由于 ，以上方程在以上方程在 时的渐近形式为时的渐近形式为此为此为 阶贝塞尔方程，其解为阶贝塞尔方程，其解为50由于由于 ，所以有限解为，所以有限解为于是于是比比较较（1 1）和和（2 2）两两式式，并并注注意意取取（1 1）式式中的中的 等于等于0 0，则，则51