22[1]32一元二次方程的应用——面积问题

一元二次方程的应用一元二次方程的应用 面积问题冯东霞一、基础回顾：一、基础回顾：1.一根20m长的铁丝围成一个矩形，若一边长为2m，则另一边长为_m,所围成的矩形的面积为_平方米，若设一边长是x m，则另一边长为_m,若围成的矩形的面积为24 平方米，则所得的方程是_ ，x的值是_。2.一块正方形的铁皮，四周截去一个边长为2cm的小正方形后，做成一个底面积为64cm的无盖容器，设正方形的铁片的边长为xcm,则可列方程_。例例1:1:有有一一块块矩矩形形铁铁皮皮,长长100100,宽宽5050,在在它它的的四四角角各各切切去去一一个个正正方方形形,然然后后将将四四周周突突出出部部分分折折起起,就就能能制制作作一一个个无无盖盖方方盒盒,如如果果要要制制作作的的方方盒盒的的底底面面积积为为36003600平平方方厘厘米米,那那么么铁铁皮皮各各角角应应切切去去多多大大的的正正方方形形?1001005050解:设切去的小正方形的边长为xcm.依题意可列方程 （100-2x）（50-2x）=3600 整理得 x2-75x+350=0 分解为 (x-70)(x-5)=0 x=70,x=5 当x=70时（50-2x）0，x=5答：切去的小正方形的边长为5cm.例例2：某农户利用某农户利用25米长的墙为一边，用米长的墙为一边，用39 米长的铁丝网当三边，围成了一个面积为米长的铁丝网当三边，围成了一个面积为99 m2 的长方形鸡场，的长方形鸡场，(1)求鸡场的长和宽各是求鸡场的长和宽各是多少？多少？(2)怎样围能使鸡场面积最大怎样围能使鸡场面积最大？解解:设垂直于墙壁的一边长为设垂直于墙壁的一边长为x 米，则平行于墙壁的一边米，则平行于墙壁的一边长为（长为（392x）米。根据题）米。根据题意得意得:xx25米米例例3 3：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场地上修筑若干条等宽的道路米的长方形场地上修筑若干条等宽的道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,草坪草坪面积面积为为540540米米2 2，现在有位学现在有位学生设计了一种方案生设计了一种方案,根据设计方案列出方程根据设计方案列出方程,求求图中道路的宽是多少图中道路的宽是多少?则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系是矩分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于形面积减去道路面积等于540540米米2 2。解法一、解法一、如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 20 x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2 米米？(1)所列方程是不是所列方程是不是 3220-(32x+20 x)=540 图中道路面积不是图中道路面积不是 (32x+20 x)平方米平方米正确的方程是：正确的方程是：化简得，化简得，其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去，超出了原矩形的长和宽，应舍去，所以所以x=2x=2。答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。解法二：解法二：我们利用我们利用“图形经过移动，图形经过移动，它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）(2)(2)解法二解法二如图，设路宽为如图，设路宽为x x米米草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为 。（32-x)32-x)米米草坪矩形的宽（纵向）为草坪矩形的宽（纵向）为 。(20-x)(20-x)米米相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2即即化简得：化简得：其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去.所以所以x=2x=2。答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。小结小结列一元二次方程解应用题的步骤与列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、验、答即审、设、列、解、验、答这里要特别注意:在列一元二次方在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求是否符合实际问题的要求 练习练习1：一块长方形铁板，长是宽的：一块长方形铁板，长是宽的2倍，倍，如果在如果在4个角上截去边长为个角上截去边长为5cm的小正方的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽求铁板的长和宽 解：设解：设铁板的宽为铁板的宽为xcm,则有长为则有长为2xcm5(2x-10)(x-10)=30002 2、用、用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的的矩形矩形,若能够若能够,求它的长与宽求它的长与宽;若不能若不能,请说明请说明理由理由.练习：练习：解解:设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,则宽为则宽为 cm,即即x2-10 x+30=0这里这里a=1,b=10,c=30,此方程无解此方程无解.用用20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形的矩形.练习：练习：3.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑同要修筑同样宽的三条道路样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂直且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的要使试验地的面积为面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解:设道路宽为设道路宽为x x米，米，则则化简得，化简得，其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.练习：练习：4.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外四周外围环绕着宽度相等的小路围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解:设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则化简得，化简得，答答:小路的宽为小路的宽为3米米.5、学校课外生物小组的实验园地是一块长、学校课外生物小组的实验园地是一块长40 米，宽米，宽 26 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为纵三条等宽的小道，要使种植面积为 864 平方米，平方米，求小道的宽？求小道的宽？设小道的宽为设小道的宽为x 米。米。根据题意得根据题意得:(402x)(26x)=864（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）答：答：小道的宽为小道的宽为2米。米。小道小道小道小道264040266、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为为35m，所围的面积为，所围的面积为150m2，则此长方形，则此长方形鸡场的长、宽分别为鸡场的长、宽分别为_练习：练习：长、宽分别为长、宽分别为7.5cm,20cm或或10cm,15cm