高一集合知识点

高一集合知识点高一集合知识点1.1 集合的概念1.集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起例：1,2,3、A=a,b,c,d,e,f（2）元素：集合中的每个对象例：a是集合A的一个元素2.常用数集及记法（1）自然数集：N （2）正整数集：N*（3）整数集：Z （4）有理数集：Q（5）实数集：R高考考点4.元素的性质（1）确定性例：四大洋、小河流（2）互异性例：已知A=a-a,2a,2,求a的取值范围。（3）无序性例：1,2,3=1,3,23.元素与集合的关元素与集合的关系系（1）a A（2）a A例例：设集合C中的元素是 所有形如a+b （a Z,b Z）的数，求证：（1）当x N时，xC（2）若xC，yC，则x+yC,并判1/x是否一定属于C?5.集合的表示方法（1）列举 法 （2描述法）例：1.a与a不同2.（x,y)|y=x+1与y|y=x+1格式：x A|P（x）注意：有些集合的公共属性不明显，不便用描述法，只能用列举法;有些集合中元素不能一一列举，用描述法。（3）图示法1.韦恩图2.数轴例：（1）分母小于5的正的真分数的集合；（2）数轴上到3的距离不小于5的实数的集合。6.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素（2）无限集：含有无限个元素（3）空集：不含任何元素的集合，记作注意:空集是一个集合例：x R|x+1=01.2 子集1.集合相等 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B,记作A=B.例：A=1,2,5，B=2,5,12.子集包含：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含于集合A，记作若任意x A有x B，则当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时，记作AB注意：有两种可能（1）A是B的一部分 （2）A与B相等3.真子集对于两个集合A与B，如果 ，并且A B,我们就说集合A是集合B的真子集，记作 A B，读作A真包含于B.注意：（1）空集是任何集合的子集；（2）空集是任何非空集合的子集；（3）若A不是空集，则空集不是A的真子集；（4）任何一个集合是它本身的子集。5）1.3 交集、并集、补集1.交集：一般地，由所有属于A且属于B的元 素组成的集合，记作 例：1,2,3,6 1,2,5,10=1,22.并集：一般地，由所有属于A且属于B的元素组成的集合，记作A B例：1,2,3,6 1,2,5,10=1,2,3,5,6,10交集、并集的性质（1）若 ,则A B=A,A B=B;（2）若A=B,则A B=A,A B=A;（3）若A,B相交，有公共元素但不包含，则 A交B是A的真子集，也是B的真子集；A与B都是A并B的真子集（4）若A,B无公共元素，则 A B=3.补集全集：如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看做一个全集，通常用U表示补集：一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集或余集，记作 A (A)=A,U=,4.归纳总结1.德摩根律2容斥原理：把有限集A的元素个数记作card(A),对于两个有限集合A,B，有card()=card(A)+card(B)-card()5.例题例1.已知集合A=x|-2x1或x1，B=x|0，求 ，A 1.4 命题的形式及等价关系1.四钟命题及其形式原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若非p，则非q逆否命题：若非q,则非p例.设原命题是“当c0时，若ab,则acbc”,写出它的逆命题、否命题、逆否命题(1)(2)(3)2.3.四钟命题的真假关系(互互为逆否关系的命逆否关系的命题是等价是等价命命题)原命原命题与逆否命与逆否命题同真、同假；逆命同真、同假；逆命题与否命与否命题同真同真同假。同假。4.反证法步骤：1.假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立 2.从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确例例.用反证法证明：如果ab0,那么 1.5充分条件与必要条件1.推断符号“=”若p则q，表示由P经过推理可以得出q，即若p成立，那么q一定成立例.若x0,则x0可写成x0=x0说明：“p=q”也可写为“qq，就说P是q的充分条件，q是p的必要条件例.“x0”是“x0”的充分条件，“x0”是“x0”的必要条件判断1）若 p=q但q p就说p是q的充分不必要条件2）若 p q但q=p就说p是q的必要不充分条件3）若 p q且 q p就说p是q的既不充分也不必要条件第二章 不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其它不等式的解法2.4 基本不等式及其应用2.5 不等式的证明基本练习1.不等式的定义2.1 不等式的基本性质2分类 1)按成立条件分绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式 2）按开口方向分同向不等式、异向不等式3.实数比较大小的方法 1）作差比较法例例.比较1-a和 的大小（a 0）2）作商比较法 3）分子有理化法用不等号（,）连接两个实值函数解析式的式子；用“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格不等式。4.不等式的基本性质1）2）3）4）5）6）5.利用不等式性质解题例1.设60 x84,28y32,求x+y,x-y,的取值范围例2.已知-1a+b3,2a-b4,记u=2a+3b,1）将u=2a+3b用a+b及a-b的代数式表示；2）求u=2a+3b的取值范围2.2一元二次不等式的解法1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式；一般形式：2.两种解法1）将 因式分解，转化成一元一次不 等式组求解2）利用一元一次不等式与二次函数、一元二次方程之间的内在联系，研究不等式在 ，和 时各种解的情况。3.用区间表示不等式的解集例题解不等式1.-x+2x+1 02.0 x-2x-353.x-ax-2a0(讨论a)4.已知关于x的不等式ax+bx+c0的解集（2）若0 0的解集设实数ab,则规定：1）集合 叫做 开区间，表示为（a,b）2)集合 x|a x b 叫做 闭区间，表示为a,b3）集合x|ax b或x|a x 0(或0)2.绝对值不等式形如|x|0)或|x|a(a0)3.高次不等式化高次为低次（换元、标根、转化为不等式组）4.解不等式例题例1.（1）（2）（3）例2.（1）|x-5x|6 （2）|x-|x-3|（2）|x+7|-|x-2|02.4基本不等式及其应用1.基本不等式1）如果a,bR，那么a+b2ab,当且仅当a=b时等号成立变形：1）如果a,bR，那么ab ,当且仅当 a=b时等号成立2）如果a,bR，那么 3）如果a,b,cR，那么三项也适用以上公式2）基本不等式如果a,bR，那么 ，当且仅当a=b时等号成立变形：如果a,b,cR，那么三项也适用以上公式例7.已知a,b0,且a+b=1，求y=a 的最大值例1.设a,b,c是不全相等的正数，且abc=1，求证：+例2.a,b,c,dR,求证(a+b)(c+d)ac+bd)例3.设x0,求证 x+2例4.求3x+的最小值2.5 不等式的证明1.比较法 步骤：作差（商）、变形、判断2.综合法 以基本不等式作为基础3.分析法(执果索因)“要证,只要证”