高等代数 二次型

高等代数高等代数 二次型二次型一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型.2只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式）例如例如为二次型的标准形为二次型的标准形.只含有平方项的且形如以下二次型只含有平方项的且形如以下二次型称为二次型的规范形称为二次型的规范形31 1用和号表示用和号表示对二次型对二次型二、二次型的表示方法42 2用矩阵表示用矩阵表示56三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系7解解例例8四、化二次型为标准形2.正交线性替换法1.配方法例3.初等变换法9设设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形1011说明说明1213用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤14解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例2 215从而得特征值从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组164 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵17于是所求正交变换为于是所求正交变换为18解解例例3 31920212223二、小结将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩24五、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过配方法化为标准形，准形，也可以通过配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩只含有平方项的且形如以下二次型只含有平方项的且形如以下二次型称为二次型的规范形称为二次型的规范形正惯性指数:规范型中正项个数.负惯性指数:规范型中负项个数25六、正(负)定二次型的判概念1.正定二次型与正定矩阵P2152.负定二次型与负定矩阵P22026七、正(负)定二次型的判别27正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质28例例1 1 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解它的顺序主子式它的顺序主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.29例例2 2 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用用特征值判别法特征值判别法.故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，30例例3 3 判别二次型判别二次型的正定性的正定性.解解312.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导32