金融工程7-维纳过程与伊藤引理

金融工程金融工程7-7-维纳过程与伊维纳过程与伊藤引理藤引理20112011教学目的与要求掌握随机变量的概念，了解马尔科夫过程的特点，掌握随机变量的概念，了解马尔科夫过程的特点，掌握维纳过程的特点和性质，掌握一般维纳过程的掌握维纳过程的特点和性质，掌握一般维纳过程的特征以及其漂移率和方差率，维纳过程的均值和标特征以及其漂移率和方差率，维纳过程的均值和标准差。掌握准差。掌握Ito过程的特征。过程的特征。2教学重点及难点一、马尔科夫过程与效率市场的关系。一、马尔科夫过程与效率市场的关系。二二、维维纳纳过过程程、一一般般维维纳纳过过程程与与此此同同时时Ito过过程程的的特特征征，漂漂移移率率和和方方差差率率，变变量量的的均均值值与与方方差差。以以及及这几种过程的内在联系和变化。这几种过程的内在联系和变化。三、三、Ito定理及其运用。定理及其运用。3期期权的估的估值欧式期权的到期收益欧式期权的到期收益Max(STX,0)ST不确定，所以期权到期的收益也不确定。不确定，所以期权到期的收益也不确定。期权当期的价值？期权当期的价值？风险中性估值风险中性估值期权当期的价值未来收益折现后的期望值期权当期的价值未来收益折现后的期望值cE Max(STX,0)问题问题ST的分布是怎样的？的分布是怎样的？只有确定只有确定ST的分布才能确定的分布才能确定c的价值的价值412.1 弱式效率市弱式效率市场假假说与与马尔可夫可夫过程程效率市场假说效率市场假说1965年，法玛年，法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为：提出了著名的效率市场假说。该假说认为：投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。与新信息相应的价格变动是相互独立的。效率市场分类效率市场分类效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。超过平均收益率的收益。5半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。都无助于挑选价格被高估或低估的证券。强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息任何信息(包括包括“内幕信息内幕信息”)对挑选证券都没有用对挑选证券都没有用处。处。效效率率市市场场假假说说提提出出后后，许许多多学学者者运运用用各各种种数数据据对对此此进进行行了了实实证证分分析析。结结果果发发现现，发发达达国国家家的的证证券券市市场场大体符合弱式效率市场假说。大体符合弱式效率市场假说。6马尔可夫过程马尔可夫过程弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程(Markov Stochastic Process)来表述。来表述。马尔科夫过程马尔科夫过程(Markov process)是一种特殊类型的随机过程。是一种特殊类型的随机过程。未来的预测只与变量的当前值有关，与变量过去的历史和变量从未来的预测只与变量的当前值有关，与变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式不相关。过去到现在的演变方式不相关。股股价价的的马马尔尔科科夫夫性性质质与与弱弱型型市市场场有有效效性性(the weak form of market efficiency)相一致：相一致：一一种种股股票票的的现现价价已已经经包包含含了了所所有有信信息息，当当然然包包括括了了所所有有过过去去的的价价格记录。格记录。如如果果弱弱型型市市场场有有效效性性正正确确的的话话，技技术术分分析析师师可可通通过过分分析析股股价价的的过过去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的。去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的。是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。712.2 维纳过程程（Wiener Process）布布朗朗运运动动起起源源于于物物理理学学中中对对完完全全浸浸没没于于液液体体或或气气体体中中的的小小粒粒子子运运动动的的描描述述，以以发发现现这这种种现现象象的的英英国国植植物学家物学家Robert Brown命名。命名。描描述述布布朗朗运运动动的的随随机机过过程程的的定定义义是是维维纳纳(wiener)给给出的，因此布朗运动又称维纳过程出的，因此布朗运动又称维纳过程股价行为模型通常用布朗运动来描述。股价行为模型通常用布朗运动来描述。布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。8维纳过程（程（WienerProcess）维纳过程（维纳过程（Wiener Process）性质一：股票价格的变动是一个正态变量与时间的乘积性质一：股票价格的变动是一个正态变量与时间的乘积 （服从标准正态分布）服从标准正态分布）性质二：任意两个不重叠时段的股票价格变动相互独立性质二：任意两个不重叠时段的股票价格变动相互独立从性质一，我们知道从性质一，我们知道z服从正态分布，性质服从正态分布，性质2则隐含则隐含z遵遵循马尔科夫过程。循马尔科夫过程。维纳过程维纳过程/布朗运动的特征布朗运动的特征股票价格在任意时段变动的均值都为股票价格在任意时段变动的均值都为0。股票价格在某一时段变动的方差等于时间的长度股票价格在某一时段变动的方差等于时间的长度9程序：程序：维纳过程的模程的模拟假假定定股股票票价价格格服服从从普普通通布布朗朗运运动动，即即dS=dt+dz，其其中中和和均均为常常数数，dz遵循遵循标准布朗运准布朗运动，也就是，也就是说，在短，在短时间t后，后，S值的的变化化值S为假假定定股股票票价价格格服服从从几几何何布布朗朗运运动，即即dS=dt+dz,其其中中和和均均为常常数数，dz遵遵循循标准准布布朗朗运运动，也也就就是是说，在在短短时间t后后，ln(S)值的的变化化值ln(S)为10当股票价格服从普通布朗运当股票价格服从普通布朗运动时的走的走势图11当股票价格服从几何布朗运当股票价格服从几何布朗运动时的走的走势图12股票价格的一般股票价格的一般变动一般化的维纳过程一般化的维纳过程变量本身随着时间的推移会有定量的增长变量本身随着时间的推移会有定量的增长at除了时间价值之外的变动为布朗运动除了时间价值之外的变动为布朗运动1312.3股票价格的一般股票价格的一般变动股票价格的变动股票价格的变动股票价格有随时间推移增长的稳定趋势股票价格有随时间推移增长的稳定趋势股票股票“实际实际”价格变动为布朗运动价格变动为布朗运动14布朗运布朗运动股票价格股票价格指数布朗运指数布朗运动股票价格股票价格上上证指数指数12.4ItosLemmaItos Lemma假设存在一个伊藤过程：假设存在一个伊藤过程：如果如果G是是x和和t的函数，即：的函数，即：G=G(x,t)那么：那么：期权及其他衍生证券的价格变动期权及其他衍生证券的价格变动股票价格服从维纳过程：股票价格服从维纳过程：那么：那么：18证明：如前述，假设标的资产价格变动过程服从：证明：如前述，假设标的资产价格变动过程服从：其中其中利用泰勒展开，忽略高阶项，利用泰勒展开，忽略高阶项，G(x,t)可以展开为可以展开为19因此，上式可以改写为因此，上式可以改写为保留保留1阶项，忽略阶项，忽略1阶以上的高阶项阶以上的高阶项20其中（忽略高阶项）：其中（忽略高阶项）：21因此，可得因此，可得由此得到由此得到代入前述公式可得到伊藤引理。代入前述公式可得到伊藤引理。2212.5股票价格的股票价格的对数正数正态特性特性对数正态分布对数正态分布股票价格服从维纳过程股票价格服从维纳过程股票价格的分布为对数正态分布股票价格的分布为对数正态分布公式公式23关于关于对数正数正态分布分布定义定义G=lnS，由于：，由于：所以有：所以有：即：即：显然显然G为一个广义维纳过程，其漂移率为常数为一个广义维纳过程，其漂移率为常数 ，波动率为常数波动率为常数 。因此，因此，lnS的变化服从正态分布，不难知道：的变化服从正态分布，不难知道：24对数正数正态分布分布25几何布朗运几何布朗运动动的深入分析的深入分析在很短的时间在很短的时间t t后，后，证券价格比率的变化值证券价格比率的变化值 为：为：可见，在短时间内，可见，在短时间内，具有正态分布特征具有正态分布特征其均值为其均值为 ，标准差为，标准差为 ，方差为，方差为 。几何布朗运几何布朗运动动的深入分析（的深入分析（2）但是，在一个较长的时间但是，在一个较长的时间T后，后，不再具有正态不再具有正态分布的性质：分布的性质：多期收益率的乘积问题，服从正态分布的变量的乘积多期收益率的乘积问题，服从正态分布的变量的乘积并不服从正态分布。而由于总的连续复利收益率等于并不服从正态分布。而由于总的连续复利收益率等于各期收益率的加和，因此仍为正态分布。各期收益率的加和，因此仍为正态分布。因此，尽管因此，尽管是短期内股票价格百分比收益率的标准是短期内股票价格百分比收益率的标准差，但是在任意时间长度差，但是在任意时间长度T T后，这个收益率的标准差后，这个收益率的标准差却不再是却不再是 。股票价格的年波动率并不是一年内股。股票价格的年波动率并不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准差。票价格百分比收益率变化的标准差。几何布朗运几何布朗运动的深入分析（的深入分析（3）如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用Ito引理来推导证券价格自然对数引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循的随所遵循的随机过程：机过程：这个随机过程的特征：这个随机过程的特征：普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。在任意时间长度在任意时间长度T之后，之后，G的变化仍然服从正态分布，的变化仍然服从正态分布，均值为均值为 ，方差为，方差为 。标准差仍然可。标准差仍然可以表示为以表示为 ，和时间长度平方根成正比。，和时间长度平方根成正比。从自然对数从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两个所遵循的这个随机过程可以得到两个结论结论:（1）几何布朗运）几何布朗运动意味着股票价格服从意味着股票价格服从对数正数正态分布。分布。令令t时刻时刻G的值为的值为lnS，T时刻时刻G的值为的值为lnST，其中，其中S表示表示t时刻（当前时刻）的证券价格，时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示表示T时刻（将来时时刻（将来时刻）的证券价格，则在刻）的证券价格，则在Tt期间期间G的变化为：的变化为：这意味着：这意味着：进一步从正态分布的性质可以得到进一步从正态分布的性质可以得到也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明分布。这表明ST服从对数正态分布。服从对数正态分布。这正好与这正好与作作为预期收益率的定期收益率的定义相符。相符。（2）股票价格股票价格对数收益率服从正数收益率服从正态分布分布由于由于dG实际上就是连续复利的对数收益率。因实际上就是连续复利的对数收益率。因此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态分普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态分布，对数收益率的标准差与时间的平方根成比布，对数收益率的标准差与时间的平方根成比例。例。将将t与与T之间的连续复利年收益率定义为之间的连续复利年收益率定义为，则，则结论结论几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过程。几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过程。12.6随机随机过程的蒙特卡程的蒙特卡罗模模拟有关蒙特卡罗方法的由来有关蒙特卡罗方法的由来取名于摩纳哥的著名赌城取名于摩纳哥的著名赌城掷色子是一个随机事件掷色子是一个随机事件蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法任何涉及随机采样的数值方法任何涉及随机采样的数值方法不仅仅用于有关随机的问题不仅仅用于有关随机的问题估计估计 圆周率圆周率 优化问题优化问题40年代美国年代美国Los Alamos 实验室的科学家用于核武器的研究实验室的科学家用于核武器的研究代表人物：冯诺依曼代表人物：冯诺依曼32经济经济和金融中的模和金融中的模拟拟方法方法Monte Carlo 方法方法在在计量量经济学学里里，如如果果我我们对某某种种估估计方方法法的的统计性性质不不是是很很了了解解，而而又又要要用用到到该种种方方法法时，可以用，可以用Monte Carlo 方法来解决方法来解决.在在计量量经济学中的例子学中的例子:1.对联立方程偏立方程偏误的定量研究的定量研究.2.确定确定Dickey-Fuller 检验的的临界界值.3.确确定定在在自自相相关关检验中中样本本大大小小对检验功功效效的的影响影响.经济经济和金融中的模和金融中的模拟拟方法方法Monte Carlo 方法方法在金融中的例子在金融中的例子:1.奇异期奇异期权的定价的定价.2.确定宏确定宏观环境境对金融市金融市场的影响的影响.3.风险管管理理建建模模:压力力测试，例例如如，确确定定最最小小资本要求本要求.模模拟拟中的中的“随机数随机数”进行蒙特卡罗模拟首先要设定数据生成系统。而设进行蒙特卡罗模拟首先要设定数据生成系统。而设定数据生成系统的关键是要产生大量的随机数。例定数据生成系统的关键是要产生大量的随机数。例如模拟样本为如模拟样本为100的随机趋势过程的的随机趋势过程的DF统计量的分布，统计量的分布，若试验若试验1万次，则需要生成万次，则需要生成200万个随机数。万个随机数。计量经济学中蒙特卡罗模拟和自举模拟所用到的随计量经济学中蒙特卡罗模拟和自举模拟所用到的随机数一般是服从机数一般是服从N(0,1)分布的随机数。分布的随机数。计算机所生成的随机数并不是计算机所生成的随机数并不是“纯随机数纯随机数”，而是，而是具有某种相同统计性质的随机数，即某种具有某种相同统计性质的随机数，即某种“伪随机伪随机数数”（pseudo-random number）。生成随机数的程）。生成随机数的程序称作序称作“伪随机数生成系统伪随机数生成系统”。实际上计算机不可。实际上计算机不可能生成纯随机数。能生成纯随机数。模模拟拟的的计计算机算机实现实现蒙特卡罗模拟和自举模拟的实现要通过计算机编程蒙特卡罗模拟和自举模拟的实现要通过计算机编程来实现。来实现。常用的软件有常用的软件有Mathematica，Gauss，Ox，EViews，Stata等。其原理基本一样。等。其原理基本一样。若干例子见图。若干例子见图。图图1随机游走序列随机游走序列图图2带趋势项的随机游走序列带趋势项的随机游走序列图图3三维图圆环三维图圆环图图4空间曲面空间曲面图图5投币投币1000次的概率值模拟次的概率值模拟图图6生长曲线生长曲线图图7二元正态分布二元正态分布图图8蒲丰问题蒲丰问题12.7蒙特卡蒙特卡罗模模拟的的实现我们从几个例子来看我们从几个例子来看例例1：两个：两个I(1)变量相关系数分布的蒙特卡罗模拟变量相关系数分布的蒙特卡罗模拟 未达到未达到N图图11 蒙特卡罗模拟过程示意图蒙特卡罗模拟过程示意图生成生成 xt,yt I(1)估估计计相相关关系数系数r 分析分析r的的 分布分布 设设定定循循环环次数次数N 设定设定 xt,yt I(1)39EViews程序如下：程序如下：workfile corr u 1 500series resultfor!i=1 to 500smpl 1 100series x=nrndseries y=nrndseries xxseries yyscalar sum1=0scalar sum2=0for!counter=1 to 100sum1=sum1+x(!counter)sum2=sum2+y(!counter)xx(!counter)=sum1yy(!counter)=sum2nextscalar r=cor(xx,yy)result(!i)=rnextresult.hist 定义一个非时间序列（定义一个非时间序列（u）工作文件，）工作文件，corr，容量为，容量为500。定义一个空序列定义一个空序列result，用来存储相关系数的计算结果。，用来存储相关系数的计算结果。!i为控制变量，通过一个为控制变量，通过一个for循环语句使计算进行循环语句使计算进行500次。次。把样本范围设置成把样本范围设置成100。生成两个互不相关的白噪声序列生成两个互不相关的白噪声序列x、y，样本容量，样本容量100。定义两个空的序列定义两个空的序列xx和和yy，样本容量也是，样本容量也是100。定义两个标量定义两个标量sum1和和sum2，初始值为，初始值为0。!counter为控制变量，在这个为控制变量，在这个for循环中，分别对序列循环中，分别对序列x和和y进行进行一次累加生成两个一阶单整的序列，将结果分别放到序列一次累加生成两个一阶单整的序列，将结果分别放到序列xx和和yy中。中。累加一次。累加一次。计算序列计算序列xx和和yy的相关系数，并将结果放到标量的相关系数，并将结果放到标量r中。中。将相关系数计算结果放到序列将相关系数计算结果放到序列result中，在这个中，在这个for循环中，这个循环中，这个操作要进行操作要进行500次。次。显示序列显示序列result的直方图以及有关统计量。的直方图以及有关统计量。图图13 两个非相关两个非相关I(1)序列的相关系数的分布序列的相关系数的分布例例2：DW统计量分布的蒙特卡量分布的蒙特卡罗模模拟生成生成T=50的相互独立的的相互独立的IN(0,1)序列序列ut 和和vt用用ut 和和vt分别生成两个相互独立的分别生成两个相互独立的I(1)序列序列yt=yt-1+ut,y0=0,xt=xt-1+vt,x0=0,估计模型估计模型yt=0+1xt+wt 并计算残差并计算残差用残差计算用残差计算DW统计量的值统计量的值存储存储2000个个DW值值画画DW频频数数分分布布直直方方图图。记记录录T=50条条件件下下DW分分布的均值、标准差和第布的均值、标准差和第90、95、99百分位数。百分位数。分分别别估估计计DW均均值值、标标准准差差和和第第90、95、99百百分分位数值对位数值对(1/T)的响应面函数的响应面函数 例例3（利用模拟方法对欧式期权进行定价）（利用模拟方法对欧式期权进行定价）设股票价格设股票价格St服从风险中性测度下的几何服从风险中性测度下的几何Brown运动：运动：其离散化形式为其离散化形式为根据金融工程理论，设现在股票价格为根据金融工程理论，设现在股票价格为S0，T时时刻到期（单位天），敲定价为刻到期（单位天），敲定价为K的欧式看涨期权的欧式看涨期权的价格为的价格为MC方案：按照（方案：按照（1）递推产生）递推产生n条风险中性测度下的条风险中性测度下的轨道，提取出轨道，提取出ST(n)；（；（2）对一个大众型欧式看涨期权的定价对一个大众型欧式看涨期权的定价.具体步骤如具体步骤如下下:确定标的资产的数据产生过程确定标的资产的数据产生过程.通常假设该过程为具通常假设该过程为具有漂移的随机游走，即要确定漂移和波动参数有漂移的随机游走，即要确定漂移和波动参数.同时同时要确定行权价格要确定行权价格K 及到期日及到期日T.产产生生T 个个标标准准正正态态分分布布的的数数据据，作作为为误误差差项项,ut N(0,1).构造构造T 个标的资产的观测值个标的资产的观测值.例例3:利用模拟方法对欧式期权进行定价利用模拟方法对欧式期权进行定价44记录在时刻记录在时刻 T时标的资产的价格时标的资产的价格ST.对一个看涨期权对一个看涨期权如果如果 ST K,则价值为则价值为ST-K,然后用无风险利率贴现然后用无风险利率贴现.重复重复 1到到 4步步 N 次次,取取 N 重复的平均值，这个平均值就重复的平均值，这个平均值就是该欧式看涨期权的价格是该欧式看涨期权的价格.对于更加复杂期权的定价可以按同样思路进行对于更加复杂期权的定价可以按同样思路进行.例例:利用模拟方法对欧式期权进行定价利用模拟方法对欧式期权进行定价(续续)45有关随机数有关随机数发生器生器随机数产生器随机数产生器能够产生在区间能够产生在区间0,1上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数Excel中中在在excel中可以采用中可以采用RAND（）产生一个（）产生一个0和和1之间的随机数，之间的随机数，累积正态分布分布的反函数为累积正态分布分布的反函数为NORMSINV。所以，所以，EXCEL中从标准正态分布中随机抽样的方法是：中从标准正态分布中随机抽样的方法是：NORMSINV（RAND（）（）STATA中中生成（生成（0，1）之间伪随机数的命令为）之间伪随机数的命令为uniform每运行每运行”di uniform()”命令一次，就可以得到一个随机数命令一次，就可以得到一个随机数.simulate exp_list,reps(#)saving(filename,replace)seed(#):command例例 simulate max=r(max),reps(10000)nodots:seq3，效果就是重复一万次，取，效果就是重复一万次，取平均数平均数有关随机数有关随机数发生器生器例：虚假回归。随机生成两个随机游走序列（例：虚假回归。随机生成两个随机游走序列（100个样本），个样本），进行回归，进行回归，计算估计量和计算估计量和t统计量；如此反复统计量；如此反复10000次。次。（1）利用均匀分布或正态分布随机数生成器生成随机游走过）利用均匀分布或正态分布随机数生成器生成随机游走过程。程。（2）通过如下命令进行模拟。）通过如下命令进行模拟。.simulate beta=(r(b1)se=(r(se1),reps(200):rdwalk,diff(1 1)（3）观察其分布，并与标准正态分布相比较。）观察其分布，并与标准正态分布相比较。.gen t=beta/se.histogram t.twoway histogram t|function y=normalden(x,0,1),range(-3 3)结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！48