极坐标与球面坐标计算三重积分-极系下的三重积分

一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分95 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分柱面坐标、柱面坐标系的坐标面直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素柱面坐标系中的三重积分球面坐标、球面坐标系的坐标面直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素球面坐标系中的三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分 设M(x,y,z)为空间内一点，则点M与数 r、q、z相对应，其中P(r,q)为点M在xOy面上的投影的极坐标 这里规定r、q、z的变化范围为：0 r，0 q 2，zxyzOrzP(r,q)M(x,y,z)x yq 三个数 r、q、z 叫做点M 的柱面坐标 rr0一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分坐标面rr0，q q 0，zz0的意义：xyzOq q 0zz0r0q 0z0 设M(x,y,z)为空间内一点，则点M与数 r、q、z相对应，其中P(r,q)为点M在xOy面上的投影的极坐标 这里规定r、q、z的变化范围为：0 r，0 q 2，z 三个数 r、q、z 叫做点M 的柱面坐标 直角坐标与柱面坐标的关系：柱面坐标系中的体积元素：dv rdrdqdz柱面坐标系中的三重积分：xyzOrzP(r,q)M(x,y,z)x yq x2y242 解 闭区域W可表示为：r 2z4，0r2，0q2于是zx2y2或 zr24xyzO 例1 二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分这样的三个数r、j、q 叫做点M的球面坐标 设M(x，y，z)为空间内一点，则点M与数r、j、q 相对应，其中r 为原点O 与点M 间的距离，j为有向线段 与z 轴正向所夹的角，q 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有向线段 的角这里r、j、q 的变化范围为 0 r，0 j，0q 2xyzOzPM(x,y,z)x yq rj坐标面rr0，jj 0，q q 0的意义：xyzOrq j 点的直角坐标与球面坐标的关系：球面坐标系中的体积元素：dvr2 sin j drdjdq 柱面坐标系中的三重积分：xyzOzPM(x,y,z)x yq rj 例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积 xyzOa2a 例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积 解 该立体所占区域W可表示为：0r2a cos j，0ja，0q2于是所求立体的体积为xyzOa2arj 例3 求均匀半球体的重心 解 取半球体的对称轴为 z 轴，原点取在球心上，又设球半径为a axyzOq jr显然，重心在z 轴上，故x y 0 解 取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a，例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量则球体所占空间闭区域W可用不等式x2y2z2a 2来表示I z所求转动惯量为xyzOa