12极坐标系

极坐标系极坐标系第一讲第一讲 坐标系（坐标系（2）平面直角坐标系中的点平面直角坐标系中的点P与坐标与坐标(a,b)是是 _对应的对应的.P(a,b).xyOab 平面直角坐标系是最简单平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系唯一的一种坐标系.有时用别有时用别的坐标系比较方便的坐标系比较方便.我们先看下面的问题我们先看下面的问题.还有什么坐标系呢？还有什么坐标系呢？与角与角终边相同的角：终边相同的角：=+2+2k,kZZ一一一一5 海里海里（1）距离：）距离：5 海里海里（2）方向：东偏北）方向：东偏北20.Ox拯救船拯救船20发现走私发现走私!如何确定以下两船如何确定以下两船的位置关系呢？的位置关系呢？距离距离40 km xO方向：方向：从这向北从这向北2000米。米。请问：去屠宰场怎么走？请问：去屠宰场怎么走？思考思考:“从这向南走从这向南走20002000米米”这句话包含哪些要素这句话包含哪些要素?它为何能使问路人明确屠宰场的位置它为何能使问路人明确屠宰场的位置?请分析上面这句话，他告诉了问路人请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？什么？从从这这向向北北走走 2 0 0 0米米！出发点出发点方向方向距离距离 在生活中人们经常用方向和距离来在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。表示一点的位置。这种用这种用方向方向和和距离距离表示平面上一点的位表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想置的思想，就是极坐标的基本思想.在以上问题中，位置的确定是用在以上问题中，位置的确定是用什么方法确定的？什么方法确定的？距离与方向距离与方向在生活中人们经常用方向和距离来表在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：示一点的位置：如台风预报、地震预如台风预报、地震预报、测量、航空、航海报、测量、航空、航海等等.一、极坐标系的建立：一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做叫做极轴极轴。再选定一个长度单位再选定一个长度单位和和角度单位角度单位及及它的正它的正方向方向（通常取逆时针（通常取逆时针方向）。方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。XO二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一对于平面上任意一点点M M，用用 表示线段表示线段OMOM的的长度，用长度，用 表示从表示从OXOX到到OM OM 的角度，的角度，叫做点叫做点M M的的极径极径，叫做点叫做点M M的的极角极角，有序数对有序数对（，）就叫就叫做做M M的极坐标。的极坐标。特别强调：特别强调：表示线段表示线段OM的长度，即点的长度，即点M到到极点极点O的距离；的距离；表示从表示从OX到到OM的角度，即的角度，即以以OX（极轴）为始边，极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。例例 1.说出下图中各点的极坐标说出下图中各点的极坐标OxABCDE.FG答：答：A(4,0)E(3.5,)例例2.2.边长为边长为a的正六边形的正六边形OABCDE在极坐标系在极坐标系中的位置如图所示，求这个正六边形各顶点中的位置如图所示，求这个正六边形各顶点的极坐标。的极坐标。ABCxEDOO(0,0)，C(2a,0)例例3.3.用点用点A,B,C,D,E,E分别表示教学楼分别表示教学楼,体育馆体育馆,图图 书馆书馆,实验楼实验楼,办公楼的位置办公楼的位置.建立适当的建立适当的极坐标系极坐标系,写出各点的极坐标写出各点的极坐标.A B C D E50m450 600 120m60m解解:以点以点A为极点为极点,AB所在所在 的射线为极轴的射线为极轴(单位长单位长 度为度为1 m),1 m),建立极坐标系建立极坐标系.则点则点A,B,C,D,E的极坐的极坐 标分别为标分别为(O)x平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：特别规定：当当M在极点时，它的在极点时，它的极坐标极坐标=0，可以取任意值。可以取任意值。想一想？想一想？三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，请说出点请说出点M的极坐标的其的极坐标的其他表达式。他表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。就是说它们是终边相同的角。本题点本题点M的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角极径相同，不同的是极角例例4：在极坐标系里描出下列各点在极坐标系里描出下列各点ABCDEFGOX四、极坐标系下点与它的极坐标的四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况对应情况1给定给定（,）,就可以就可以在在极坐标极坐标平面内确定唯一平面内确定唯一的一点的一点M。2给定平面上一点给定平面上一点M，但但却有无数个极坐标与之对却有无数个极坐标与之对应。应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)如果如果限定限定0,02那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就平面内的点和极坐标就可以可以一一对应一一对应了了.3一点的极坐标有否统一的表达式一点的极坐标有否统一的表达式？小结小结1建立一个极坐标系需要哪些要素建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。它的正方向。2极坐标系内一点的极坐标有多少种极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？表达式？无数，极角有无数个。无数，极角有无数个。有。（有。（，2k+）极坐标和直角坐标的互化极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点的直角坐标是平面内的一个点的直角坐标是(1,)这个点如何用极坐标表示这个点如何用极坐标表示?Oxy在直角坐标系中在直角坐标系中,以原点作为极点以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相并且两种坐标系中取相同的长度单位同的长度单位点点M的直角坐标为的直角坐标为设点设点M的极坐标为的极坐标为(,)M(2,/3)极坐标与直角坐标的互化关系式极坐标与直角坐标的互化关系式:设点设点M的直角坐标是的直角坐标是(x,y)极坐标是极坐标是(,)x=cos,y=sin 互化公式的三个前提条件：互化公式的三个前提条件：1.极点与直角坐标系的原点重合极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x轴的正半轴的正半 轴重合轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同两种坐标系的单位长度相同.例例1.将点将点M的极坐标的极坐标 化成直角坐标化成直角坐标.解解:所以所以,点点M的直角坐标为的直角坐标为已知下列点的极坐标，求它们的直已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。角坐标。例例2.将点将点M的直角坐标的直角坐标 化成极坐标化成极坐标.解解:因为点在第三象限因为点在第三象限,所以所以因此因此,点点M的极坐标为的极坐标为练习练习:已知点的直角坐标已知点的直角坐标,求它们求它们的极坐标的极坐标.例例3 已知两点（已知两点（2，），（），（3，）求两点间的距离求两点间的距离.32oxAB解：解：AOB=6用余弦定理求用余弦定理求AB的长即可的长即可.