求向量组的极大无关组-向量组极大无关组例题

返回返回重要结论重要结论 矩阵矩阵A的初等的初等行行(列列)变换不改变矩阵的秩变换不改变矩阵的秩,且不改变其且不改变其列列(行行)向量间的线性关系向量间的线性关系.(证明略证明略)返回返回思路之一思路之一:定义法定义法.(2)向量组向量组 中含向量个数最多的线中含向量个数最多的线性无关部分组都是向量组的极大无关组性无关部分组都是向量组的极大无关组;(1)假定假定 是某向量组中的是某向量组中的 r 个向量个向量,如果如果 线性无关线性无关,且向量组中任一向且向量组中任一向量都可由量都可由 线性表示线性表示,则则 是是向量组的一个极大无关组向量组的一个极大无关组;此方法比较烦琐此方法比较烦琐,较少用较少用求向量组的极大无关组的方法总结求向量组的极大无关组的方法总结返回返回思路之二思路之二:初等行变换法初等行变换法.(1)将向量组中的各向量作为矩阵将向量组中的各向量作为矩阵A的各列的各列;(2)对对A施行初等行变换施行初等行变换(注意仅限初等行变换注意仅限初等行变换);(3)化化A为阶梯形为阶梯形,在每一阶梯中取一列为代在每一阶梯中取一列为代表表,则所得向量组即为原向量组得一个极大无则所得向量组即为原向量组得一个极大无关组关组.用初等行变换求极大无关组是用初等行变换求极大无关组是最基本最基本的方法的方法.返回返回思路之三思路之三:利用等价性利用等价性.设设 为某向量组的一个极大无关组为某向量组的一个极大无关组,则任意则任意 r 个线性无关的部分组均为极大无关组个线性无关的部分组均为极大无关组.返回返回例例1 求下列向量组的一个极大无关组求下列向量组的一个极大无关组 分析分析:按定义向量个数按定义向量个数最多最多的的线性无关线性无关部分组都是向量组的极大无关组部分组都是向量组的极大无关组.返回返回思想思想:(i)通过观察找出一个无关组通过观察找出一个无关组;(ii)往前面找出的无关组中增加一个向量往前面找出的无关组中增加一个向量,若若得到新的向量组仍然线性无关得到新的向量组仍然线性无关,则得到了新的则得到了新的线性无关组线性无关组,否则否则,继续考虑下一个向量继续考虑下一个向量(iii)重复步骤重复步骤(ii)直到考虑完所有的向量为止直到考虑完所有的向量为止,这样最后得到的线性无关组便是原向量组的一这样最后得到的线性无关组便是原向量组的一个最大无关组个最大无关组.返回返回解解:线性无关线性无关.1)2)因为因为 的对应分量不成比例的对应分量不成比例,所以所以 线性无关线性无关.3)下面考虑向量组下面考虑向量组线性相关线性相关.4)下面考虑向量组下面考虑向量组设存在一组数设存在一组数 使得使得即即返回返回从而从而解得解得即即也即也即所以所以 是向量组是向量组 的一个极大无关组的一个极大无关组.返回返回例例2考虑向量组考虑向量组求此向量组的一个极大线性无关组求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余并把其余向量分别用该极大无关组线性表示向量分别用该极大无关组线性表示.返回返回解解:用这些向量作为矩阵用这些向量作为矩阵A的的列列向量，并向量，并对矩阵对矩阵A作初等作初等行行变换变换返回返回可见可见,为一个极大无关组为一个极大无关组.事实上事实上,均为极大无关组均为极大无关组.返回返回进一步有进一步有所以有所以有 注注:这里用到初等行变换不改变列向量之这里用到初等行变换不改变列向量之间的线性关系间的线性关系.返回返回分析分析:若能证明向量组若能证明向量组 例例3 试证试证:若若 n 维单位向量维单位向量 可以可以由由 n 维向量维向量 线性表示线性表示,则则 线性无关线性无关.I:II:等价等价,则则 又又 从而从而因此因此,线性无关线性无关.返回返回证明证明:由于由于 n 维单位向量维单位向量 可以由可以由故向量组故向量组n 维向量维向量 线性表示线性表示,又显然有又显然有 n 维维向量向量 可以由可以由 n 维单位向量维单位向量线性表示线性表示,I:II:等价等价,则则 又又 从而从而因此因此,线性无关线性无关.返回返回 例例4 设设 为齐次线性方程组为齐次线性方程组 的基础解系的基础解系,试判别下述向量组是否仍是的基试判别下述向量组是否仍是的基础解系础解系.分析分析:本题实际上已知本题实际上已知 为为 的解的解空间的极大无关组空间的极大无关组,要求证明要求证明 是否是否仍是仍是 的解空间的极大无关组的解空间的极大无关组.由于已知由于已知极大无关组为三个向量极大无关组为三个向量,所以任意三个线性无所以任意三个线性无关向量均为极大无关组关向量均为极大无关组,这只要证明这只要证明 与与 是否等价即可是否等价即可.注意注意:作为基础解作为基础解系系,应说明应说明 为解向量为解向量.返回返回解解:只需证明只需证明 线性无关即可线性无关即可,显然显然 均为均为 的解的解,而这又转化为证明而这又转化为证明 与与 等价等价.(1)由由知知记为记为A返回返回又又从而从而因此秩因此秩(注注:)即即 线性相关线性相关,故故 不是不是 的基础解系的基础解系.返回返回(2)由由知知记为记为B又又从而从而所以矩阵所以矩阵B可逆可逆,且且返回返回所以所以 线性无关线性无关,故向量组故向量组 与与 可以相互线性表示可以相互线性表示,即向量组即向量组 与与 等价等价.从而秩从而秩 秩秩故故 为为 的基础解系的基础解系.