概率论例题讲解

例题讲解1y=F(x)3-3 设一个口袋中有依次标有-1,2,2,2,3,3数字的六个相同的球，从口袋中任取一个球，取得的球上标有的数字X是一随机变量，求X的分布函数。X-123P1/61/21/3u-0.51 (x,y)vu-0.51 (x,y)vu-0.51 (x,y)vu1 (x,y)v八、设随机变量X和Y独立，其分布列分别为则下列各式正确的是 。(1)X=Y (2)P(X=Y)=1/2(3)P(X=Y)=0 (4)P(X=Y)=1解：虽然X和Y是相同的分布，但不写成X=Y；P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-选答案(2)九九、设X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则X,Y必有 .解：因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)由于D(X+Y)=D(X-Y)得 2cov(X,Y)=-2cov(X,Y)cov(X,Y)=0 X,Y不相关。十十、对随机变量X和Y，已知E(X)=-2,E(Y)=2,D(X)=1,D(Y)=4,X与Y的相关系数r=-0.5 由契比 雪夫不等式所能确定的最小正数c为何值(其中c满 足不等式 P|X+Y|6c )解：E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2r =1+4+2(-0.5)12=3 P|(X+Y)-E(X+Y)|6D(X+Y)/62 P|X+Y|63/62=1/12 c=1/12十一、设nB(n,p).(0p1,n=1,2,)则对任意实数x，有解：十二、(习题5-2)设服从几何分布 P(=k)=pqk (k=0,1,2,0p0,P(B)0,定义随机变量为 试证：若的相关系数 r=0，则必相互独立。十六、设是相互独立的随机变量,其概率密度分别为 又知随机变量 ，求w的分布律及其分布函数。解：w的分布律为：w的分布函数：w01P十七十七 设随机变量和独立同分布,且 P(=k)=1/3,k=1,2,3 又设X=max(,),Y=min(,).试(1)写出(X,Y)的 联合分布律；(2)求E(X)解:(1)由于=1,2,3,=1,2,3 所以，X=1,2,3;Y=1,2,3 当ij时，P(X=i,Y=j)=P(max(,)=i,min(,)=j)=P(=i,=j)+P(=j,=i)=P(=i)P(=j)+P(=j)P(=i)=(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9 当i=j时，P(X=i,Y=j)=P(max(,)=i,min(,)=j)=P(=i,=i)=P(=i)P(=i)=(1/3)(1/3)=1/9 当ij时，P(X=i,Y=j)=P(max(,)=i,min(,)=j)=0(X,Y)的联合概率分布律：(2)X Y12311/90022/91/9032/92/91/9十八十八、设某班车起点站上人数X服从参数为的泊松分布，且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数。试求 (1)(X,Y)的联合分布律；(2)求Y的分布律解:(1)XP(),当X=n时，YB(n,p)P(Y=k|X=n)=Cnkpk(1-p)n-k k=0,1,2,n 当nk时，P(X=n,Y=k)=0 当nk时，P(X=n,Y=k)=P(X=n)P(Y=k|X=n)(X,Y)的联合分布律为：X=n=0,1,2,3,Y=k=0,1,2,3,(2)二十二十