材料力学-平面图形的几何性质

第四章 平面图形的几何性质 为什么要研究平面图形的几何性质 材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截面的几何形状有关。第四章 平面图形的几何性质 课堂小实验 相同的材料、相同的截面积,截面的几何形状不同,承载能力差异很大。第四章 平面图形的几何性质 研究平面图形几何性质的方法:化特殊为一般实际杆件的横截面第四章 平面图形的几何性质 平面图形的几何性质包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、主惯性矩等4-1 4-1 概述概述4-2 4-2 静矩和形心静矩和形心4-3 4-3 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积4-4 4-4 平行移轴公式平行移轴公式第四章 平面图形的几何性质 第四章 平面图形的几何性质zcycyycdAzz04.2 静矩和形心1 静矩 2 形心4.1 概述 量纲量纲：长度3；单位：单位：m3、cm3、mm3。静矩是对轴而言静矩是对轴而言。表明：表明：平面图形对某一轴的平面图形对某一轴的静矩静矩等于图形面积等于图形面积乘以相应的乘以相应的形心坐标形心坐标。A A、静矩的值可以是正值、负值、或零。、静矩的值可以是正值、负值、或零。几点讨论：8 图形对图形对形心轴的静矩为零形心轴的静矩为零，反之图形对某轴的静，反之图形对某轴的静 矩为零，则此轴一定过图形的形心。矩为零，则此轴一定过图形的形心。图形对图形对对称轴的静矩一定为零对称轴的静矩一定为零。zydAdAz-zA1A2C C、形心确定的规律：、形心确定的规律：（1 1）、图形有对称轴时，）、图形有对称轴时，形心必在此对称轴上形心必在此对称轴上。（2 2）、图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。）、图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。B、静矩的几个规律：、静矩的几个规律：常见的一些组合图形常见的一些组合图形3 组合图形的静矩和形心 组合图形对某一轴的静矩等于各个简单图形对同一轴的静矩的代数和。组合图形对某一轴的静矩等于各个简单图形对同一轴的静矩的代数和。解：zybhc已知：矩形截面bh 求：sz和 sy11例例 试确定下图的形心。试确定下图的形心。801010图（a）c(19.7;39.7)zyC1C2解：解：1、图形分割及坐标如图（、图形分割及坐标如图（a）2、求形心、求形心yydAzz0A4.3 惯性矩和惯性积1 惯性矩 量纲：量纲：m4、mm4。惯性矩是对轴而言。惯性矩是对轴而言。惯性矩的取值恒为正值。惯性矩的取值恒为正值。yzydyhbc已知：矩形求：Iy和Iz解：yydAzz0A2 惯性半径3 极惯性矩2 空心圆dDdA0dDdA0d1圆圆和空心圆的极惯性矩计算:5 组合图形的惯性矩yydAzz0A4 惯性矩与极惯性积的关系zyDc已知：实心圆截面直径D,空心圆截面直径D、d.求：Iy和Iz。解：1 实心圆2 空心圆d6 惯性积惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。图形对y、z两轴的惯性积微元对 x,y 轴的惯性积为zyyzdA(1)y、z之一为图形对称轴则Iyz=0；zz-zy0dAdA(2)惯性积为零的一对坐标轴称为 惯性主轴；(3)通过形心的主轴称为形心主轴或形心惯性主轴；4.4 平行移轴公式 平行移轴公式是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。4.4 平行移轴公式yydAzz0Azcycczcycab图形对平行于形心轴的y、z轴的惯性矩和惯性积为：图形对形心轴的惯性矩和惯性积为：yydAzz0Azcycczcycab注意：注意：（1 1 1 1）两平行轴中，）两平行轴中，）两平行轴中，）两平行轴中，必须有一轴为形心轴必须有一轴为形心轴必须有一轴为形心轴必须有一轴为形心轴,截面对截面对截面对截面对任意任意任意任意两平行轴的惯性矩间的关系两平行轴的惯性矩间的关系两平行轴的惯性矩间的关系两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算应通过平行的形心轴惯性矩来换算应通过平行的形心轴惯性矩来换算应通过平行的形心轴惯性矩来换算;（2 2 2 2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中）截面图形对所有平行轴的惯性矩中）截面图形对所有平行轴的惯性矩中）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对以对以对以对形心轴的惯性矩最小形心轴的惯性矩最小形心轴的惯性矩最小形心轴的惯性矩最小.已知：T形截面。求：Izc1002014020cc1c2yc1yczyzc24db2dZ（矩形的对称轴）Y（对称轴）O解解：、建立坐标系如图建立坐标系如图。、求形心位置。求形心位置。、建立形心坐标系；求：建立形心坐标系；求：Iyc，Izc。z cy cz1例例 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形对形心轴的惯性矩。在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形对形心轴的惯性矩。（b=1.5d)2525db2dZ（矩形的对称轴）Y（对称轴）Oz cy cz1作业