数学归纳法

解解:猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为验证验证:同理得同理得啊啊,有完有完没完啊没完啊?正整数正整数无数个无数个!提出问题：提出问题：对于数列，已知，对于数列，已知，（1）求出数列前）求出数列前4项项,你能得到什么猜你能得到什么猜想？想？（2）你的猜想一定是正确的吗？）你的猜想一定是正确的吗？?本题有没有行之有效本题有没有行之有效,步骤有限的方法呢步骤有限的方法呢?下面我们看看下列的情景对我们解决本题证明有下面我们看看下列的情景对我们解决本题证明有什么启示？什么启示？问题情景问题情景你见过多米诺骨牌游戏吗你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏一请欣赏一下那下那场景场景!1、第一块骨牌倒下、第一块骨牌倒下2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下后一块倒下条件（条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第就是假设第K块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第K+1块也倒下块也倒下请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件哪几个条件 数学归纳法数学归纳法.多多米米诺诺骨骨牌牌游游戏戏与与我我们们前前面面所所提提到到的的要要解解决决的的问问题题的的相相似似性。性。多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（2）若若第第k块块倒倒下下时时，则则相相邻邻的的第第k+1块块也也倒下。倒下。根根据据（1）和和（2），可可知知不不论论有有多多少少块块骨骨牌牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）当）当n=1时，猜想成立时，猜想成立根根据据（1）和和（2），可可知知对对任任意意的的正正整整数数n，猜猜想想都成立。都成立。通项公式为通项公式为 的证的证明方法明方法（2）若若当当n=k时时猜猜想想成成立，即立，即 ，则当，则当n=k+1时猜想也成立，时猜想也成立，即即 。对于数列，已知，对于数列，已知，写出数列前写出数列前4项项,并猜想其通项公式并猜想其通项公式 ;同学们同学们,你能验证你能验证你的猜想是不是正确的呢你的猜想是不是正确的呢?证明证明:(1)当当猜想成立。猜想成立。(2)那么那么,当当解解:猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为1nan=根据根据(1)和和(2)，猜想对于任何，猜想对于任何 都成立。都成立。证明：证明：（1）当）当n=1时，时，左边左边=12=1 右边右边=1 等式成立等式成立(2)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即那么那么,当当n=k+1时时即当即当n=k+1等式也成立等式也成立根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.凑出目标凑出目标用用到到假假设设例例 用数学归纳法证明用数学归纳法证明练习练习:用数学归纳法证明用数学归纳法证明错误！错误！错误原因：没有第一步错误原因：没有第一步n=1等式成立的证明等式成立的证明其实其实n=1等式等式并不成立并不成立，左边，左边=1，右边，右边=2试判断下列用试判断下列用数学归纳法证明过程数学归纳法证明过程是否正确是否正确那么，当那么，当n=k+1时时即当即当n=k+1时等式也成立时等式也成立可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.那么，当那么，当n=k+1时时证明证明:(1)当当n=1时时,左边左边=20=1,右边右边=21 1=1等式成立等式成立（2）假设）假设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即即当即当n=k+1时等式也成立时等式也成立根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.错误原因：由证明错误原因：由证明n=k+1等式成立时等式成立时没有用到没有用到n=k命题成立的命题成立的归纳假设归纳假设错误！错误！小结：小结：一种方法：一种用来证明某些“与正整数n有关的命题”的方法 数学归纳法二个注意：1、“二步一结论”缺一不可。2、第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”时一定要用到归纳假设思考思考已知数列已知数列 ，计算计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。的表达式，并用数学归纳法进行证明。