行列式乘法法则

行列式乘法法则行列式乘法法则一、一、k 级子式与余子式、代数余子式级子式与余子式、代数余子式定义定义在一个在一个 n 级行列式行列式 D 中任意中任意选定定 k 行行 k 列列按照按照原来次序原来次序组成一个成一个 k 级行列式行列式 M，称，称为行列行列 ()，位于位于这些行和列的交些行和列的交叉点上的叉点上的 个元素个元素式式 D 的一个的一个 k 级子式级子式；在；在 D 中划去这中划去这 k 行行 k 列后列后 式式 ，称，称为 k 级子式子式 M 的的余子式余子式；余下的元素按照原来的次序组成的余下的元素按照原来的次序组成的 级级 行列行列 数学科学学院数学科学学院 李本星李本星若若 k 级子式级子式 M 在在 D 中所在的行、列指标分别是中所在的行、列指标分别是，则在在 M 的余子式的余子式前前后称之后称之为为 M 的的代数代数加上符号加上符号余子式余子式，记为 .注：注：k 级子式不是唯一的子式不是唯一的.（任一（任一 n 级行列式有级行列式有 个个 k 级子式）子式）时，D本身本身为一个一个n级子式子式时，D中每个元素都是一个中每个元素都是一个1级子式；子式；数学科学学院数学科学学院 李本星李本星二、二、拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理引理引理行列式行列式 D 的任一子式的任一子式 M 与它的代数余子式与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的展开式中的一项，而且符号也一致的一项，而且符号也一致数学科学学院数学科学学院 李本星李本星Laplace Laplace 定理定理由由这 k 行行元素所组成的一切元素所组成的一切k级子式与它们的级子式与它们的设在行列式在行列式 D 中任意取中任意取 k()行，行，代数余子式的乘积和等于代数余子式的乘积和等于 D即即若若 D 中取定中取定 k 行后，由行后，由这 k 行得到的行得到的 k 级子式子式则 .，它，它们对应的代数余子的代数余子式分别为式分别为为数学科学学院数学科学学院 李本星李本星 时，时，即为行列式即为行列式 D 按某行展开；按某行展开；注：注：为行列式为行列式 D 取定前取定前 k 行运用行运用Laplace 定理结果定理结果 数学科学学院数学科学学院 李本星李本星例例1：计算行列式：计算行列式 解解：,.它们的代数余子式为它们的代数余子式为数学科学学院数学科学学院 李本星李本星,.数学科学学院数学科学学院 李本星李本星三、行列式乘法法则三、行列式乘法法则设有两个有两个n 级行列式行列式其中其中则则数学科学学院数学科学学院 李本星李本星证：证：作一个作一个2n级的行列式级的行列式由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理 数学科学学院数学科学学院 李本星李本星又又对D作初等行作初等行变换：可得可得这里里数学科学学院数学科学学院 李本星李本星从而从而 数学科学学院数学科学学院 李本星李本星例例2：证明齐次性方程组：证明齐次性方程组只有零解其中只有零解其中 不全为不全为0数学科学学院数学科学学院 李本星李本星证：证：系数行列式系数行列式 数学科学学院数学科学学院 李本星李本星由由 不全不全为0，有，有即即 ，故方程，故方程组只有零解只有零解数学科学学院数学科学学院 李本星李本星 例例3 设设证明：证明：其中其中为元素为元素的代数余子式。的代数余子式。数学科学学院数学科学学院 李本星李本星