群同态基本定理

群同态基本定理群同态基本定理例例1，f：CR，f(z)=|z|，zC 则 f 是同态映射，并求ker f解：f(z1z2)=|z1z2|=|z1|z2|=f(z1)f(z2)定理定理1 设 f：GH是一个群同态映射，则（1）kerf是G的不变子群。（2）Im f 是H的子群（留作作业）证（1）a,b kerf，f(a)=f(b)=eH 则 f(ab)=f(a)f(b)=eHeH=eH f(a-1)f(a)=f(eG)=eH ab kerf，f(a-1)=(f(a)-1=kerf 为子群 f(g-1ag)=f(g-1)f(a)f(g)=f(g-1)f(g)=f(g-1g)=f(eG)=eH g-1ag kerf，于是kerf是不变子群定理定理2 设H是群G的不变子群，规定f:GG/H,则 f 是GG/H的满同态映射且kerf=H证明：证明：H是不变子群，G/H是一个群 （1）满射 （2）同态 （3）kerf=H：G/H中的单位元定理定理3 设f是GH的群同态映射（1）f 是单同态当且仅当kerf=eG（2）除了eG和G本身外，没有其他不变子群，则 f 是单同态或零同态证明：(1)必要性：f是单射，f(eG)=eH ,，f(a)eH kerf=eG 充分性：kerf=eG，若f(g1)=f(g2)，则 f(g1g2-1)=f(g1)f(g2-1)=f(g1)(f(g2)-1=f(g1)(f(g1)-1=eH 即g1g2-1 kerf=eG，g1g2-1=eGg1=g2,f 单 （2）由定理1 kerf是G的不变子群，G的不变子群只有eG和G kerf=eG 则 f单同态 kerf=G 则f零同态定理定理4 (群同态基本定理)设 f 是GH的群同态，令K=kerf，则G/KImf证明：G/KImf，(Kg)=f(g)(1)是映射 设Kg1=Kg2 g1 g2-1 K=kerf f(g1 g2-1)=f(g1)(f(g2)-1=eH f(g1)=f(g2)(Kg1)=f(g1)=f(g2)=(Kg2)(2)同态 (Kg1Kg2)=(Kg1g2)=f(g1g2)=f(g1)f(g2)=(Kg1)(Kg2)(3)是单射设(Kg)=eH f(g)=eH gkerf=K Kg=Kker =K(G/K的单位元)，由定理3 是单射(4)是满射 使f(a)=b，Ka G/K，而(Ka)=f(a)=b 是满射 G/K Imf推论推论1 设f是G H的一个群满同态，则有G/kerf H例例2 G=(a)=e，a，a2，a11 H=(b)=e，b，b2，b5f:G H，f(an)=b2n 则 f 是群同态，kerf=e，a3，a6，a9G/kerf Imf=e，b2，b4定理定理5 设G和H是两个群，且存在一个G H的满同态f，则在 f 之下(1)G的一个子群G1的像H1是H的子群(2)G的一个不变子群G2的像H2是H的不变子群(3)H的一个子群H3的逆像G3是G的子群(4)H的一个不变子群H4的逆像G4是G的不变子群证明：(1)，使h1=f(g1)h2=f(g2)(2)H2是不变子群(3)(4)同态满射下，子群和不变子群的性质不变因此定理1是定理5的特例例3，设G，H分别是阶数为m，n的循环群 证明：存在GH的一个满同态 n|m证明：设 f 是GH的满同态，同定理4，G/ker f H|G/kerf|=|H|=n由于|G/kerf|=反之，若n|m，G=(a)，H=(b)定义 f:GH，f(ak)=bk,则 f 是GH的满射，且 同态 满态例4 如果G和H都是有限群，其阶互素，则只存在一个GH的同态映射证明：设 f 是GH的同态映射，令k=kerf 由同态基本定理知:例例7 G是循环，N是G的子群。则G/N也是循环群。证明：G是交换群，N是不变子群 设G=(a)NgG/N (Ng)是G/N的子群作业作业