结构力学静定梁的内力分析

结构力学结构力学 静定梁的内力静定梁的内力分析分析静定梁有单跨静定梁和多跨静定梁。静定梁是基本的结构形式。本节通过单跨静定梁，复习杆系结构内力概念及内力计算基本方法；通过多跨静定梁，了解静定结构几何组成对内力计算的影响，掌握静定结构内力分析的基本途径和方法。第一节单跨静定梁单跨静定梁 伸臂梁伸臂梁 简支梁简支梁 悬臂梁悬臂梁 单跨静定梁 (a)(b)(c)(d)1.结构的内力概念结构的内力概念结构的内力反映其受力后结构内部的响应状态（产生应变及相应的应力）。杆件结构的内力为杆件（垂直杆轴的）横截面上分布的应力，可以用一个合力来表示。在杆系结构的内力分析中，将这个合力分解成作用在横截面中性轴处的三个分量即轴力、剪力和弯矩。典型杆件截面上的内力典型杆件截面上的内力 1.1.轴力（轴力（FN）3.3.弯矩弯矩（M）2.2.剪力（剪力（FQ）轴力轴力(FN)横截面上应力在截面法线（杆轴）横截面上应力在截面法线（杆轴）方向上的投影（或横截面方向上的投影（或横截面上正应上正应力）的代数和称为轴力。轴力使力）的代数和称为轴力。轴力使隔离体受拉为正（与截面法线方隔离体受拉为正（与截面法线方向相同）。向相同）。剪力（剪力（FQ）横截面上应力在截面切线（垂直于横截面上应力在截面切线（垂直于杆轴）方向上的投影（或杆轴）方向上的投影（或横截面上横截面上切应力）的代数和称为剪力。剪力切应力）的代数和称为剪力。剪力使隔离体顺时针转动为正（左上、使隔离体顺时针转动为正（左上、右下）。右下）。横截面上应力（或横截面上正横截面上应力（或横截面上正应力）对截面中性轴的力矩代应力）对截面中性轴的力矩代数和称为弯矩。规定弯矩的竖数和称为弯矩。规定弯矩的竖标画在受拉侧。标画在受拉侧。弯矩（弯矩（M）杆件截面上的杆件截面上的内力定义图内力定义图 静定结构内力计算基本方静定结构内力计算基本方法和步骤：法和步骤：静定结构的内力计算可归纳为，静定结构的内力计算可归纳为，选隔离体、建立隔离体的静力平选隔离体、建立隔离体的静力平衡方程，和求解方程三部分主要衡方程，和求解方程三部分主要工作。内力计算基本方法为截面工作。内力计算基本方法为截面法。法。内力计算的一般步骤内力计算的一般步骤 1.1.计算结构的支座反力和约束计算结构的支座反力和约束 取结构整体（切断结构与大地的约取结构整体（切断结构与大地的约束）、或取结构的一部分（切开结束）、或取结构的一部分（切开结构的某些约束）为隔离体，建立平构的某些约束）为隔离体，建立平衡方程衡方程(2)(2)计算控制截面的内力计算控制截面的内力（指定截面的内力）（指定截面的内力）用假想的平面垂直于杆轴切开指定用假想的平面垂直于杆轴切开指定截面，取截面的任意一侧为隔离体截面，取截面的任意一侧为隔离体并在其暴露的横截面上代以相应的并在其暴露的横截面上代以相应的内力（按正方向标出），建立平衡内力（按正方向标出），建立平衡方程并求解方程并求解(3)(3)绘制结构的内绘制结构的内力图力图(a)(a)弯矩图弯矩图(b)(b)剪力图剪力图(c)(c)轴力图轴力图 在静定结构的受力分析中，正在静定结构的受力分析中，正确有序地选取隔离体是解题的确有序地选取隔离体是解题的关键。关键。取隔离体的要点是，要保证隔取隔离体的要点是，要保证隔离体的完全隔离，即隔离体与离体的完全隔离，即隔离体与结构其他部分的所有联系都要结构其他部分的所有联系都要切断。切断。12隔离体上原有的已知力（荷载隔离体上原有的已知力（荷载和已求出未知力）要保留，不和已求出未知力）要保留，不能有遗漏。能有遗漏。隔离体上与其他部分联系的截隔离体上与其他部分联系的截断处，只标舍去的其他部分对断处，只标舍去的其他部分对隔离体的作用力。隔离体的作用力。34例例3-1-1 3-1-1 用截面法，求图(a)所示伸臂梁截面1上的内力。(a)(b)解解1)1)求支座反力求支座反力 去掉支座约束，取整体为隔离体，见图(b)。建立隔离体的平衡方程并解之：（箭头标出实际方向）()箭头标出实际方向()由可校核所得支座反力。箭头标出 实际方向()截开截面1，取右侧为隔离体，见图（c），建立平衡方程并解之：2)2)求截面求截面1 1处的内力处的内力(c)(d)用文字写明受拉侧取截面1右侧为隔离体计算可得同样结果3.3.直接法求指定直接法求指定截面的内力截面的内力由例3-1-1内力计算结果分析，指定截面的内力可用该截面一侧的外力直接表示，即：轴力（轴力（FN）截面一侧所有外力在指定截面一侧所有外力在指定截面法线方向投影的代数截面法线方向投影的代数和，以与截面外法线方向和，以与截面外法线方向相反为正。相反为正。剪力（剪力（FQ）截面一侧所有外力在指定截面一侧所有外力在指定截面切线方向投影的代数截面切线方向投影的代数和，左上、右下为正。和，左上、右下为正。弯矩弯矩（M）截面一侧所有外力对截面一侧所有外力对指定截面形心力矩的指定截面形心力矩的代数和。代数和。例例3-1-2 3-1-2 用直接法，求例3-1-1图(a)所示伸臂梁截面2上的内力。(a)解解支座反力计算同例3-1-1。内力可由右图所示受力图直接计算：取截面2左侧：用文字写明受拉侧 取截面2右侧：用文字写明受拉侧4.4.荷载与内力的关系荷载与内力的关系(未考虑未考虑沿杆件轴向的荷载作用沿杆件轴向的荷载作用)图3-1-3 对于直杆段上，见图3-1-3,荷载与内力之间有下列关系：图3-1-4(a)(1)(1)微分关系微分关系在图3-1-3所示杆件的连续分布荷载段截取微段dx，见图3-1-4(a),建立微段的平衡方程：(a)(a)(b)(b)由(a)、(b)两式得:(c(c)以上三式，为荷载与内力的微分关系。式(b)忽略了二阶微量。微分关系的几何意义微分关系的几何意义若直杆段上无荷载作用，则剪力若直杆段上无荷载作用，则剪力图是与轴线平行的一条直线，弯图是与轴线平行的一条直线，弯矩图是一条斜直线矩图是一条斜直线；若直杆段上作用均布荷载，则若直杆段上作用均布荷载，则剪力图为一条斜直线，弯矩图剪力图为一条斜直线，弯矩图为抛物线为抛物线 若直杆段上作用三角形分布荷若直杆段上作用三角形分布荷载，则剪力图为抛物线，弯矩载，则剪力图为抛物线，弯矩图为三次曲线；图为三次曲线；以此类推以此类推(2)(2)荷载与内力的增量关系荷载与内力的增量关系 在图3-1-3所示杆件上，取含有集中力和集中力偶在内的微段dx，见图 3-1-4(b)，建立微段平衡方程：图3-1-4(b)(d(d)以上两式，为荷载与内力的增量关系。式(e)忽略了一阶微量。(e(e)增量关系的几增量关系的几何意义何意义 在集中力作用点（集中力垂直在集中力作用点（集中力垂直与杆轴或有垂直于杆轴的分量）与杆轴或有垂直于杆轴的分量）两侧截面，剪力有突变，突变两侧截面，剪力有突变，突变值即为该集中力或垂直于杆轴值即为该集中力或垂直于杆轴的分量；弯矩相同。的分量；弯矩相同。在集中力偶作用截面两侧，弯矩在集中力偶作用截面两侧，弯矩有突变，突变值即为该集中力偶；有突变，突变值即为该集中力偶；剪力相同。剪力相同。(3)(3)荷载与内力的积分关系荷载与内力的积分关系 取图3-1-3所示杆件的连续分布荷载段（AB段），见图3-1-5，建立平衡方程并求解：图3-1-5 (f)(f)(g)(g)即即以上两式，为荷载与内力的积分关系。注：式(g)原式等号右侧的第二、三项可写成：(f)、(g)两式又可又前述微分关系得出 积分关系的几何积分关系的几何意义意义 有连续分布荷载（荷载垂直于杆有连续分布荷载（荷载垂直于杆轴）的直杆段轴）的直杆段ABAB，B B端的剪力等端的剪力等于于A A端的剪力减去该段分布荷载端的剪力减去该段分布荷载图的面积。图的面积。B B端的弯矩等于端的弯矩等于A A端的端的弯矩减去该段剪力图的面积。弯矩减去该段剪力图的面积。5.5.区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图叠加法的基本含义是，若结构在线弹性阶段且为小变形时，若干荷载作用下结构的内力或位移，可由各荷载单独作用下的内力或位移叠加求得。自然弯矩图（剪力图、轴力图）也可按叠加法得到根据叠加法的基本含义，下图(a)右所示简支梁在两端力偶和均布荷载所用下，其总弯矩图（图(a)右）等于，两端力偶、均布荷载分别单独作下弯矩图（图(b)右、图(c)右）的叠加。(见下页)(1)(1)简支梁的弯矩叠加法简支梁的弯矩叠加法图3-1-6(a)图3-1-6(c)图3-1-6(b)将先分别计算和绘制各荷载单独作用下的弯矩图后再叠加的过程在总弯矩图上一次完成，其步骤是:梁的轴线为原始基线，将梁两梁的轴线为原始基线，将梁两端的弯矩竖标连以直线。端的弯矩竖标连以直线。12上一步所作的直线为新的基线，上一步所作的直线为新的基线，叠加梁中部荷载作用下的弯矩叠加梁中部荷载作用下的弯矩图图。简支梁在两支座端有外力偶作用时，梁两端截面有等于该端力偶的弯矩，无外力偶在端部作用时端部截面的弯矩为零。所以简支梁两端支座处的弯矩值竖标可直接绘出。注注 1 1）图的叠加是弯矩竖标的叠）图的叠加是弯矩竖标的叠加，而不是图形的简单叠加。加，而不是图形的简单叠加。2)2)每叠加一个弯矩图，都以紧每叠加一个弯矩图，都以紧前一次弯矩图外包线为新基线，前一次弯矩图外包线为新基线，并由此基线为所叠加的弯矩图并由此基线为所叠加的弯矩图的拉压分界线。见图的拉压分界线。见图3-1-63-1-6。（2 2）区段叠加法作弯）区段叠加法作弯矩图矩图 指结构的任意一段直杆段的指结构的任意一段直杆段的弯矩图叠加方法。弯矩图叠加方法。见下图3-1-7图(a)上所示一刚架结构，要绘制直杆AB区段的弯矩图。图图3-1-7(a)3-1-7(a)将直杆段AB取出，见图(a)右，两端截开截面上的弯矩MAB、MBA已求出（其它杆端内力也可求出）。另做一与区段AB等长的简支梁，见图(b)左，其上作用有杆端力偶MA、MB和与刚架相同的均布荷载q。图图3-1-7(b)3-1-7(b)比较(a)右、(b)右两受力图若简支梁的杆端外力偶分别等于区段AB两端的弯矩，即，MA=MAB,MB=MBA,容易看出，区段AB两端的剪力与简支梁的支座反力将相等，即，FQAB=FAy,FQBA=FBy 又由于区段AB两端的轴力在弯曲小变形的假设下对弯矩不产生影响从弯矩图的角度说，(a)右、(b)右两受力图是相同的。所以区段AB的弯矩图可以利用与简支梁相同的叠加法制作。其步骤相类似：求求出出直直杆杆区区段段两两端端的的弯弯矩矩值值，在在杆杆轴轴原原始始基基线线相相应应位位置置上上画画出出竖竖标标，并并将将两两端端弯弯矩矩竖竖标标连连直线。直线。1 在新的基线上叠加相应简支在新的基线上叠加相应简支梁与区段相同荷载的弯矩图。梁与区段相同荷载的弯矩图。（相应简支梁，指与所考虑（相应简支梁，指与所考虑区段等长且其上荷载也相同区段等长且其上荷载也相同的，相应于该区的段简支梁）的，相应于该区的段简支梁）上述方法既为直杆区段弯矩上述方法既为直杆区段弯矩图的叠加法。图的叠加法。2 2例例3-1-3计算图示简支梁，并作弯矩图和剪力图。解 去掉支座约束，以整体为隔离体，由静力平衡条件 得1)求支座反力()()(a)2)计算控制截面弯矩值(下侧受拉)取D截面以左取C截面以右(下侧受拉)3)作内力图弯矩图：见图(b)（下页），以梁轴线为基线，画出控制截面弯矩竖标并连以直线；分段叠加各段相应简支梁的弯矩图，并计算各段中点的弯矩值。AD段中点：DC段中点：(b)M图(c)FQ图 剪力图：见图(c)，按图(a)外力从梁的任意一端开始逐段绘制。注意剪力正负号的确定。例例3-1-4计算图示伸臂梁，并作弯矩图和剪力图。解解 1)求支座反力（略）(a)2)求控制截面弯矩值取截面C以右：上侧受拉3)作内力图各区段中点弯矩值：AC段中点：上侧受拉CB段中点：D左：D右：上侧受拉上侧受拉弯矩图：见图(b)，剪力图：见图(c)。(b)M图(c)FQ图 说说 明明 区段叠加法作弯矩图时，需要熟练计算简支梁的内力，并应熟记简支梁在单一荷载形式下的弯矩图，如下图3-1-8所示。1 1 图图3-1-83-1-8(a)(a)(b)(b)图图3-1-8(c)3-1-8(c)在均布荷载所用下，简支梁跨中弯矩为 。12集中力在跨中，简支梁跨中弯矩为 。集中力偶作用点两侧截面的弯矩竖标异侧，绝对值之和等于该集中力偶（突变值）。注意到力偶作用点两侧的3弯矩图斜直线相互平行，由此几何关系可确定两侧截面上的实际弯矩值。当集中力偶在跨中时，梁中点两侧截面的弯矩值的绝对值相等，均为集中力偶的一半。2 2 当内力图完成后，注意用荷载与内力的微分和增量关系定性检查。并熟练掌握用叠加法坐直杆的弯矩图。第二节第二节多跨静定梁多跨静定梁概念 多跨静定梁可看作是由若干个单跨静定梁顺序首尾铰接构成的静定结构。常见于桥梁、屋面檩条等。多跨静定梁有两种基本的形式，即阶梯式和悬跨式(a)阶梯式 图图3-2-13-2-1(b)悬跨式 图图3-2-13-2-11 1多跨静定梁的组成特征多跨静定梁的组成特征 以阶梯式为例。见图3-2-1（a），这类形式的多跨静定梁的外在组成形式是，以一根与大地独立形成几何不变体的杆件开始，以后各杆件顺序首尾铰接，并每根杆 有一根落地支座链杆，逐一按两个刚片的规则（或依次加二元体的方式）组成。各单杆（单跨静定梁）之间有互为依赖关系，即，除与大地独立有三个支座链杆连接的梁外，按加二元体的顺序，后续的每根梁都以前面已形成的刚片为依托形成扩大的刚片。换句话说，若切断后续的杆件与紧前杆件的联系，或去掉前面任意一根梁或任意约束，则切断处剩下的部分便成为几何可变体系，见图3-2-2（下页）图图3-2-2-3-2-2-(a)(a)图图3-2-2-3-2-2-(b)(b)分析上图从受力的角度看，其中AB可独立承受荷载，并可承受其他部分由铰B传来的力，而其他部分则不能。由以上可定义:在多跨静定梁中，可独立承受多跨静定梁中，可独立承受荷载的部分，叫做基本部分荷载的部分，叫做基本部分；依赖于其他部分才能承受荷载依赖于其他部分才能承受荷载的部分，叫做附属部分。的部分，叫做附属部分。多跨静定梁的组成顺序是，先基本部分，后基础部分。用分层图表示见下图3-2-3，并容易看出，多跨静定梁的传力顺序是组成顺序的反方向，即，由附属部分传向基本部分。(a)(b)图图3-2-33-2-3图图3-2-33-2-3(c)2 2多跨静定梁的实用计算多跨静定梁的实用计算方法方法多跨静定梁的实用计算方法，是多跨静定梁的实用计算方法，是以各独立的杆件为隔离体，其计以各独立的杆件为隔离体，其计算顺序是：先附属部分，后基本算顺序是：先附属部分，后基本部分。部分。基本部分上的荷载对附属部分不产生影响，而附属部分上的荷载对其以下的基本和相对基本部分均产生影响。例3-2-1 计算图(a)所示多跨静定梁，并作内力图。(a)解 该多跨静定梁为阶梯式，分层图如图(b)(b)从最高层附属部分依次取单根杆件计算，见图(e)以从右向左的顺序计算。据此作内力图见图(c)、(d)。(c)M图(d)FQ图(d)由下图组成：例3-2-2 计算图示多跨静定梁，并作内力图。(a)计算见下图(b)(c)(d)(e)示：(b)(c)(d)M图(e)FQ图 说说 明明 本例为悬跨式多跨静定梁，见图(a)中CD（和AB）杆，该类杆没有直接与大地的联系，悬起用两单铰与两端的其他部分相连，称有这样的杆件的跨为悬跨。悬跨式多跨静定梁可以图(f)所示的刚片逐一由两个刚片的规则作几何组成分析。(f)图(f)中AB、CD杆是作为约束的，如果其上无荷载作用，可按图(g)所示隔离体由右向左顺序计算。(g)然而，AB、CD杆上一般是有荷载的，是受弯杆件。所以，截成单杆后的隔离体受力图如下图(h)所示。每个隔离体都有四个未知约束力，超出了平面一般力系只能列出三个独立的平衡方程方程。(h)从承受荷载、维持力的平衡的角度出发，两个竖向支座链杆既可满足平面平行力系的平衡。水平方向的约束，此时仅起维持体系几何不变的作用，且由于水平方向的约束力等于零，在受力分析中可略去。结论例3-2-3计算图(a)所示多跨静定梁，并作内力图。(a)解解 图(a)所示为混合式多跨静定梁，即CD部分为阶梯式，AB部分为悬跨式。同时有一斜向集中荷载作用，对悬跨部分的计算有影响。取各杆为隔离体并画受力图，见图(b)(b)（）杆AB、杆CD为同一层上的附属部分，分别计算后再计算杆BC。结果见下图：由整体平衡条件：(c)M图(d)FQ图