离散型随机变量的概率分布-精选

离散型随机变量的概率分离散型随机变量的概率分布布-精选精选说明说明 一、概率分布律及分布函数一、概率分布律及分布函数定义定义离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为解解则有则有例例分布函数分布函数分布律分布律离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布律与分布函数的关系显然，这时显然，这时F(x)是一个跳跃函数，它在每个是一个跳跃函数，它在每个xi处处有跳跃度有跳跃度p(xi).例例 一袋中装有同质的一袋中装有同质的3个白球和个白球和2个黑球，个黑球，X表示表示从中任取从中任取2个球中的白球数，试写出个球中的白球数，试写出X的概率分布律的概率分布律及分布函数及分布函数.二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只取常数只取常数a，即，即PX=a=1则称则称 X 服从服从 a处的退化分布处的退化分布.1.退化退化分布分布 设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值,它的分它的分布律为布律为则称则称 X 服从服从(01)分布分布或或两点分布两点分布.2.两点分布（两点分布（Bernoulli分布分布)实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情况观察正、反两面情况.随机变量随机变量 X 服从服从(01)分布分布.其分布律为其分布律为实例实例2 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,那么那么,若规定若规定取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点都属于两点分布分布.说明说明将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次,若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果,则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的,或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.(1)重复独立试验重复独立试验3.二项分布二项分布(2)n 重重伯努利试验伯努利试验 伯努利资料伯努利资料实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否“出现出现 1 点点”,就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.(3)二项概率公式二项概率公式且两两互不相容且两两互不相容.称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为二项分布二项分布两点分布两点分布二项分布的图形二项分布的图形例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率为 0.6,则击中目标的次则击中目标的次数数 X 服从服从 b(5,0.6)的二项分布的二项分布.分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例例解解图示概率分布图示概率分布解解因此因此例例 使得使得b(k;n,p)取到最大值的取到最大值的m为二项分布随机变量的最可为二项分布随机变量的最可能值或称为最大可能成功值能值或称为最大可能成功值.m=(n+1)p注：当注：当(n+1)p为整数时，为整数时，b(m;n,p)=b(m-1;n,p)同时达同时达到最大值。到最大值。例例 保险公司为一单位保险公司为一单位500名员工办理了一年期名员工办理了一年期医疗保险，每张保单最多理赔一次。假设员工医疗保险，每张保单最多理赔一次。假设员工是否发生医疗费用是相互独立的，理赔概率为是否发生医疗费用是相互独立的，理赔概率为0.01，问保险期内最可能发生几次理赔，并求，问保险期内最可能发生几次理赔，并求相应的概率。相应的概率。4.泊松分布泊松分布 泊松资料泊松资料泊松分布的图形泊松分布的图形泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他他们做了们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布.在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水泊松定理：泊松定理：二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X,则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算所求概率为所求概率为解解例例 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?例例 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作,需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人(工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生配备少了又要影响生产产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于0.01?解解所需解决的问题所需解决的问题使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题由泊松定理得由泊松定理得故有故有即即个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8例例 设有设有80台同类型设备台同类型设备,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的发生故障的概率都是发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由且一台设备的故障能由一个人处理一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法考虑两种配备维修工人的方法,其一其一是由四人维护是由四人维护,每人负责每人负责20台台;其二是由其二是由3人共同维人共同维护台护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小及时维修的概率的大小.解解 按第一种方法按第一种方法发生故障时不能及时维修发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率为而不能及时维修的概率为则知则知80台中发生故障台中发生故障故有故有即有即有 按第二种方法按第二种方法故故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为5.几何分布几何分布 引例引例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有对该批产品做有放回的抽样检查放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品那么所抽到的产品数数 X 是一个随机变量是一个随机变量,求求X 的分布律的分布律.解解若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从服从几何分布几何分布,记为记为Xg(p).几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.说明说明1 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.说明说明2 几何分布具有无记忆性几何分布具有无记忆性:引例引例：某班有学生：某班有学生20名，其中有名，其中有5名女同学，今名女同学，今从班上任选从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女同名学生去参观展览，被选到的女同学人数学人数X是一个随机变量，求是一个随机变量，求X的概率分布的概率分布.6.超超几何分布几何分布 一般地，如果有一般地，如果有N个元素分为两大类，第一类个元素分为两大类，第一类有有M个元素，第二类有个元素，第二类有N-M个元素，采用不重复个元素，采用不重复抽样，从抽样，从N个元素中取出个元素中取出n个元素，那么所取到的个元素，那么所取到的第一类元素的个数第一类元素的个数X的分布称为超几何分布的分布称为超几何分布.若随机变量若随机变量 X 的概率分布为的概率分布为则称则称 X 服从服从超几何分布超几何分布.超超几几何何分分布布产产生生于于不不放放回回抽抽样样，而而二二项项分分布布产产生于有放回抽生于有放回抽样样。在在实实际际工工作作中中，抽抽样样一一般般都都采采用用不不放放回回方方式式，因因此此计计算算时时应应该该用用超超几几何何分分布布。但但是是，当当N较较大大时时，超超几几何何分分布布计计算算较较繁繁琐琐。若若产产品品总总数数N很很大大，而而抽抽样样的的次次数数n相相对对于于N很很小小时时，超超几几何何分分布布可可以以用用二二项项分布来近似，即有以下定理：分布来近似，即有以下定理：定理定理 对于任意固定的对于任意固定的n(1)1)，当，当N充分大时，则有充分大时，则有:定定理理在在直直观观上上还还是是比比较较容容易易理理解解的的。因因为为当当产产品品总总数数N很很大大而而抽抽样样的的次次数数n相相对对于于N很很小小时时，可可以以认认为为不不放放回回抽抽样样与与有有放放回回抽抽样样的的差差别别应应该该是是很很小小的的，即即超超几几何何分分布布可可以以用用二二项项分分布布来来近近似似。在在实实际际计计算算中中，一般当一般当n0.10.1N 时，就可以运用以上的近似公式。时，就可以运用以上的近似公式。离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布三、小结三、小结超几何分布超几何分布作业：作业：p68-6933、35、38Jacob BernoulliBorn:27 Dec 1654 in Basel,SwitzerlandDied:16 Aug 1705 in Basel,Switzerland伯努利资料伯努利资料泊松资料泊松资料Born:21 June 1781 in Pithiviers,FranceDied:25 April 1840 in Sceaux(near Paris),FranceSimon Poisson结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！52