电阻电路的等效变换

电阻电路的等效变换电阻电路的等效变换重点：重点：2.电阻的串、并阻的串、并联；4.电压源和源和电流源的等效流源的等效变换；3.电阻的阻的Y变换;1.电路等效的概念；路等效的概念；电阻阻电路路仅由直流由直流电源和源和线性性电阻构成的阻构成的电路。路。等效等效变换等效等效变换的方法的方法,也称化也称化简的方的方法，将复法，将复杂电路等效路等效变换成成简单电路。路。2.1 引言引言电阻电路进行等效变换的基本概念：电阻电路进行等效变换的基本概念：1 1、目目的的：用于简化电路计算，突出某段电路的分析 求解；2 2、类型：、类型：无源电阻网络和有源电阻网络3 3、简化的条件：、简化的条件：端口处的伏安关系（VAR）始终相等；4 4、变换的程度：、变换的程度：依分析求解的要求而定，没有统一规定；5 5、等效的范围：、等效的范围：等效变换只是对外等效对外等效，对内不等效。1.二端二端电路（网路（网络）2.2 电路的等效变换电路的等效变换N0-无源二端网无源二端网络Ns-含源二端网含源二端网络ii+-uN 如果一个电路（网络）向外引出一对端钮，如果一个电路（网络）向外引出一对端钮，这对端钮可以作为测量用，也可以用来与外部的电这对端钮可以作为测量用，也可以用来与外部的电源或其他电路连接用。这类具有一对端钮的电路称源或其他电路连接用。这类具有一对端钮的电路称为一端口电路（网络）或二端电路（网络）。为一端口电路（网络）或二端电路（网络）。若两个二端网络若两个二端网络N1和和N2与同一个外部相连，当与同一个外部相连，当相接端钮处的电压、电流关系完全相同时，称相接端钮处的电压、电流关系完全相同时，称N1和和N2互为等效的二端网络。互为等效的二端网络。ii+-uii+-u2.等效二端等效二端电路（网路（网络）N1N2Ib100VU1090+_+_aIU9010+10AabIRsIRsU=90V,I=1A I=1A，U=90V等效仅对外电路成立！等效仅对外电路成立！IRS=1APRS=10W IRS=9APRS=810W2.3电阻的串阻的串联和并和并联1）串联电路的特征）串联电路的特征1.电阻串阻串联各各电阻阻顺序序连接，流接，流过同一同一电流流（判断（判断电路是否路是否为串串联的依据）的依据）+_R1R n+_u ki+_u1+_unuRk 由由KVL和和VAR得：得：等效等效串串联电路的路的总电阻等于各分阻等于各分电阻之和，且大于各分阻之和，且大于各分电阻。阻。2）等效电阻）等效电阻+_R1R n+_u ki+_u1+_unuRk+_Reqiu等效电阻：等效电阻：3）分压公式）分压公式 电压与与电阻成正比，因此串阻成正比，因此串联电阻阻电路可作分路可作分压电路。路。例例两个电阻的分压：两个电阻的分压：+_uR1R2+-u1+-u2i4）功率功率总功率总功率电阻串联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比；电阻串联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比；等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功率的总和。等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功率的总和。表明2.电阻并阻并联1）并联电路的特征）并联电路的特征 各电阻两端各电阻两端承受承受同一电压同一电压；（判断（判断电路是否路是否为并并联的依据）的依据）inR1R2RkRni+ui1i2ik_2）等效电阻等效电阻等效等效inR1R2RkRni+ui1i2ik_+u_iReq 由由KCL和和VAR得：得：故：故：等效等效电导等于并等于并联的各的各电导之和。之和。3）并）并联电阻的分流阻的分流即：即：例例两电阻的分流：两电阻的分流：R1R2i+ui1i2_三个电阻并联呢三个电阻并联呢？4 4）功率）功率总功率功率 电阻并联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比；电阻并联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比；等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消耗功率的总和等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消耗功率的总和表明对偶关系：对偶关系：对偶物理量对偶物理量对偶元件对偶元件对偶连接方式对偶连接方式电流源电流源电压源电压源串联串联并联并联 uiRG电阻元件的串、并联对偶记忆电阻元件的串、并联对偶记忆电阻元件电阻元件串联串联并联并联i相同u相同等效变换等效变换分压分压/分流分流公式公式功率比功率比三、电阻的混联三、电阻的混联串并联的判别方法：串并联的判别方法：看电路结构：看电路结构：两电阻首尾相连中间无分岔，是串联，两电阻首尾相连中间无分岔，是串联，两电阻首首相连，尾尾相连，是并联；两电阻首首相连，尾尾相连，是并联；看电流、电压关系：看电流、电压关系：流过两电阻是同一个电流，是串联，流过两电阻是同一个电流，是串联，承受同一个电压，是并联；承受同一个电压，是并联；对电路作等效变形：对电路作等效变形：即对电路作扭动变形。即对电路作扭动变形。电路中有路中有电阻的串阻的串联，又有，又有电阻的并阻的并联，这种种连接方式称接方式称电阻的串并阻的串并联(混混联)。R1R2R3R1R2R3例例1：求下图二端网络的等效电阻：求下图二端网络的等效电阻Req例例2：求下图所示各电路：求下图所示各电路ab端的等效电阻端的等效电阻Rabab18 9 15 4（a）（b）9 9 9 9 abb9 9 9 9 ab18 15 9 4 a60 100 50 10 ba40 80 20 60 100 60 ba120 20 40 100 60 ba20 100 100 ba20（c）缩短无短无电阻支路阻支路15 20 ba5 6 6 7 15 20 ba5 6 6 7 15 ba4 3 7 15 ba4 10 例例3计算算图示示电路中各支路的路中各支路的电压和和电流流i1+-i2i3i4i518 6 5 4 12 165Vi1+-i2i318 9 5 165V6 解解:i1+-i2i3i4i518 6 5 4 12 165V+-u2u3u4例例4解解用分流方法做用分流方法做用分用分压方法做方法做求求：I1,I4,U4+_2R2R2R2RRRI1I2I3I412V_U4+_U2+_U1+从以上例从以上例题可得求解串、并可得求解串、并联电路的一般步路的一般步骤：求出等效求出等效电阻或等效阻或等效电导；应用欧姆定律求出用欧姆定律求出总电压或或总电流；流；应用欧姆定律或分用欧姆定律或分压、分流公式求各、分流公式求各电阻上的阻上的电流和流和电压以上的关以上的关键在于在于识别各各电阻的串阻的串联、并、并联关系！关系！电桥电路电桥电路电桥电路是一个复杂电路，如图所示：电桥电路中的电阻电桥电路中的电阻R1、R2、R3、R4称为电桥电路的称为电桥电路的4个桥臂，个桥臂，RL构成了桥构成了桥支路，接在支路，接在a、b两结点之间；电源接两结点之间；电源接在在c、d两个结点之间。两个结点之间。一般情况下，一般情况下，a、b两点的电位不相等，两点的电位不相等，RL所在的所在的桥支路有电流通过。若调整桥支路有电流通过。若调整R1、R2、R3和和R4的数值的数值满足对臂电阻的乘积相等时，满足对臂电阻的乘积相等时，a、b两点就会等电位两点就会等电位，则则桥支路中无电流通过，这时我们称电桥达到桥支路中无电流通过，这时我们称电桥达到“平平衡衡”，平衡电桥如图所示：，平衡电桥如图所示：abR3R4RLR1R2+-UScd 实际应用中，常常利用平衡实际应用中，常常利用平衡电桥测量电阻。惠斯通电桥就是电桥测量电阻。惠斯通电桥就是应用实例。应用实例。桥臂中有一个为待测电阻桥臂中有一个为待测电阻R Rx x，其，其余三个桥臂中有两个数值已知，组余三个桥臂中有两个数值已知，组成成比率臂比率臂，另一个和待求电阻，另一个和待求电阻R Rx x构构成另一对桥臂。桥支路接一检流计，成另一对桥臂。桥支路接一检流计，接电源后，调整桥臂数值，让检流接电源后，调整桥臂数值，让检流计的计数为零，此时再根据其余三计的计数为零，此时再根据其余三个桥臂的数值算出个桥臂的数值算出R Rx x的数值：的数值：abR3R4RLR1R2+-UScd桥式电路：桥式电路：具有具有4个结点个结点（两个内结点，两个外结点）；（两个内结点，两个外结点）；每个结点与三条支路相联。每个结点与三条支路相联。先判断电桥是否平衡，先判断电桥是否平衡，平衡条件平衡条件：相对桥臂上的电阻乘积相等：相对桥臂上的电阻乘积相等(R1R4=R2R3)，若若平衡平衡，将，将中间支路断开（中间支路断开（i=0）或者短接）或者短接(Uab=0)；若若不平衡不平衡，将采用，将采用Y-等效变换。等效变换。abR3R4RLR1R2+-UScdabR（c）RRRRabRRRRR桥式电路：桥式电路：RabRRRR i1 =i1Y,i2 =i2Y,i3 =i3Y,u12 =u12Y,u23 =u23Y,u31 =u31Y 2.4 电阻的电阻的Y 等效变换等效变换等效条件：等效条件：u23 i3 i2 i1+u12 u31 R12R31R23123i1Yi2Yi3Y+u12Yu23Yu31YR1R2R3123Y接接:用电流表示电压用电流表示电压u12Y=R1i1YR2i2Y 接接:用电压表示电流用电压表示电流i1Y+i2Y+i3Y=0 u31Y=R3i3Y R1i1Y u23Y=R2i2Y R3i3Y(1)u23 i3 i2 i1+u12 u31 R12R31R23123i1Yi2Yi3Y+u12Yu23Yu31YR1R2R3123i3 =u31 /R31 u23 /R23i2 =u23 /R23 u12 /R12i1 =u12 /R12 u31 /R31(2)u23 =u12 u31 等效变换等效变换方法一：方法一：由式由式(1)解得：解得：i3 =u31 /R31 u23 /R23i2 =u23 /R23 u12 /R12i1 =u12 /R12 u31 /R31(1)(3)根据等效条件，比较式根据等效条件，比较式(3)与式与式(1)，得，得Y的变换条件：的变换条件：根据等效条件，比较式根据等效条件，比较式(4)(4)与式与式(2)(2)，可得到由，可得到由Y Y的变换条件：的变换条件：u12Y=R1i1YR2i2Y u31Y=R3i3Y R1i1Y u23Y=R2i2Y R3i3Y(2)由式由式(2)解得：解得：(4)R12R31R23123R1R2R3123等效变换等效变换方法二：方法二：依据：经过等效变换后，与外电路相连的任意两个节点间的电阻阻值相等。可得到由可得到由Y Y的变换条件：的变换条件：R12R31R23123R1R2R3123可得到由可得到由Y Y的变换条件：的变换条件：特例：若三个电阻相等特例：若三个电阻相等(对称对称)，则有，则有R31R23R12R3R2R1外大内小外大内小150a150150150150bab505050150150无论是无论是Y Y电阻网络还是电阻网络还是 电阻网络，电阻网络，若若3 3个电阻的阻值相个电阻的阻值相同，其等效电阻网络中同，其等效电阻网络中3 3个电阻的阻值也相等，有个电阻的阻值也相等，有桥 T 电路路例例1 11k 1k 1k 1k RUs-+1/3k 1/3k 1k R1/3k+-1k 3k 3k RUs3k+-Us如如图所示所示电路，求路，求ab间的等效的等效电阻阻Rab例例2 2ab66666422ab66422222ab21284ab2184电桥平衡电桥平衡例例3用用Y 变换法求下图电路中的电流变换法求下图电路中的电流i和和i110+30V5 40 50 36 20-ii1i120 5 4 36+30V20-i5 解：将原电路进行以下等效变换：解：将原电路进行以下等效变换：例例4计算计算90 电阻吸收的功率电阻吸收的功率1 4 1+20V90 9 9 9 9-3 3 3 1 4 1+20V90 9-1 10+20V90-i1i解：将原电路进行以下等效变换：解：将原电路进行以下等效变换：或者：或者：例例5求负载电阻求负载电阻RL消耗的功率消耗的功率2A30 20 RL30 30 30 30 40 20 2A30 20 RL10 10 10 30 40 20 IL2A40 RL10 10 10 40 解：将原电路进行以下等效变换：解：将原电路进行以下等效变换：2.5 电压源、电流源的串联和并联电压源、电流源的串联和并联 1.理想理想电压源的串源的串联和并和并联1.1 串串联等效等效电路路当当usk的方向与的方向与us一一致致时，取，取“+”，否，否则取取“-”1.2 并并联 一般不使用一般不使用电压源并源并联，若使用，若使用时，必必须使用相同使用相同电压源源,电源中的源中的电流不确流不确定。定。uSn+_+_uS1+_u+_uuS1+_+_iuS2+_u等效等效电路路+_us1.3 电压源与支路的串、并源与支路的串、并联等效等效对外等效！外等效！uS2+_+_uS1+_iuR1R2R串串联并并联+_uS+_iuRuS+_i任意任意元件元件u+_uS+_iu+_i12.理想电流源的串联并联理想电流源的串联并联 相同的理想相同的理想电流源才能串流源才能串联,每个每个电流源的端流源的端电压不能确定。不能确定。2.2 串串联2.1 并并联iS1iS2iSni等效等效电路路等效等效电路路iiS2iS1is当当isk的方向与的方向与is一致一致时，取，取“+”，否，否则取取“-”2.3 电流源与支路的串、并流源与支路的串、并联等效等效R2R1+_uiS1iS2i等效等效电路路等效等效电路路对外等效！外等效！iS任意任意元件元件u_+R并并联串串联u1_+iSu_+RiSiu_+2.6 电压源和电流源的等效变换电压源和电流源的等效变换 实际电压源、源、实际电流源两种模型可以流源两种模型可以进行等效行等效变换，所，所谓的等效是指端口的等效是指端口的的电压、电流在流在转换过程中保持不程中保持不变。u=uS RS ii=iS u/RSi=uS/RS u/RS iS=uS/RS 或或 us=RS iS RS=RS （内阻不变）（内阻不变）端口特性端口特性iRS+u_iSi+_uSRS+u_实际电流源模型流源模型实际电压源模型源模型互换条件：互换条件：u=RS iS RS i电压源源变换为电流源：流源：转换电流源流源变换为电压源：源：转换i+_uSRS+u_i+_uSRS+u_iRS+u_iSiRS+u_iS内阻不变改并联内阻不变改并联内阻不变改串联内阻不变改串联5.与理想与理想电压源并源并联的支路的支路对外等效可开路等效；外等效可开路等效；6.与理想与理想电流源串流源串联的支路的支路对外等效可短路等效。外等效可短路等效。注意注意1.两个互两个互换条件必条件必须同同时满足；足；2.等效互等效互换前后参考方向要保持一致，即前后参考方向要保持一致，即is的流向是从的流向是从us的的“-”指向指向“+”;3.等效是等效是对外部外部电路等效路等效，对内部内部电路是不等效的。路是不等效的。4.理想理想电压源和理想源和理想电流源不能互相流源不能互相转换。例例1 1：把把电路路转换成一个成一个电压源和一个源和一个电阻的串阻的串连70V10+_2A6V10 6A+_2.10V10 10V6A+_1.66V10+_利用利用电源源转换简化化电路路计算算例例2 2：I5A3 4 7 2AI？1.解：将原电路进行以下等效变换：解：将原电路进行以下等效变换：+15V_+8V7 7 _利用利用电源等效源等效变换法求下法求下图所示所示电路中的路中的电压U。例例3 35 5 6A6Au10V10V_ _+5 5+_ _ _10V10V解：将原电路进行以下等效变换：解：将原电路进行以下等效变换：5 5 6A6Au5 5+_ _2A2A5 5 u40V40V_ _+5 5+_ _u2.52.5+_ _8A8A或例例4 4：求下图所示电路中的电流：求下图所示电路中的电流I I1 1和和I I2 29 9 3 3 6A6AI I2 254V54V_ _+1818 I I1 19 9 6A6A54V54V_ _+1818 I I1 1I I2 254V54V1818 9 9 108V108V_ _+_ _I I1 19 9 6A6AI I2 21818 I I1 16A6A108V108V1818 9 9+_ _I I2 2解解1：解解2：例例5 5：求电路中的电流求电路中的电流I I40V40V1010 4 4 1010 2A2AI I2A2A6 6 30V30V_ _+_ _40V40V4 4 1010 2A2AI I6 6 30V30V_ _+_ _60V60V1010 1010 I I30V30V_ _+_ _解：将原电路进行以下等效变换：解：将原电路进行以下等效变换：利用利用电源等效源等效变换法求下法求下图所示所示电路中的路中的电流流I。例例6 62 2 4 4 3 3 6A6AI I12V12V_ _+6 6 24V24V+_ _解：将原电路进行以下等效变换：解：将原电路进行以下等效变换：2 2 4 4 2 2 3A3AI I4A4A4 4 2 2 I I2 2 _ _ _+12V12V8V8V思考：此处能否直接将两个电流源并联等效，两个电阻并联等效？例例7 7、试用电源等效变换法求实际电压源等效电路试用电源等效变换法求实际电压源等效电路4 4 2 2 3A3Ai12V12V_ _+4 4+_ _ _4V4V6V6V电流源跨接电流源跨接-电流源的分电流源的分裂法裂法解：将原电路进行以下等效变换：解：将原电路进行以下等效变换：b4 4 2 2 3A3Ai12V12V_ _+4 4+_ _ _4V4V6V6V3A3Aaaba4 4 2 2 3A3Ai12V12V_ _+4 4+_ _4V4V3A3Ab4 4 2 2 i12V12V_ _+4 4+_ _4V4Vab4 4 2 2 i12V12V_ _+4 4+_ _4V4Vaba4 4 2 2 i16V16V_ _+4 4 b2 2 i4A4A2 2 ab4 4 i8V8V_ _+ab例例8 受控源和独立源一样可以进受控源和独立源一样可以进行电源转换；转换过程中注意不行电源转换；转换过程中注意不要丢失控制量。要丢失控制量。求电流求电流 i1注意注意+_US+_R3R2R1i1ri1解：将原电路进行以下等效变换：解：将原电路进行以下等效变换：US+_R1i1R2/R3ri1/R3+_US+_R2/R3R1i1r(R2/R3)i1/R31.输入入电阻阻2.计算方法算方法如果一端口内部如果一端口内部仅含含电阻，阻，则应用用电阻的串、并阻的串、并联和和Y变换等方法等方法求它的等效求它的等效电阻；阻；对含有受控源和含有受控源和电阻阻的二端的二端电路路，用外接用外接电源法源法求求输入入电阻，即在端口阻，即在端口加加电压源，求得源，求得电流，或在端口加流，或在端口加电流源，求得流源，求得电压，得其比，得其比值。2.7 输入电阻输入电阻i+-uN0注意该方程使用时，u与i的方向Rin计算时，所有独立源置零，即电压源短路；电流源开路。计算时，所有独立源置零，即电压源短路；电流源开路。例例1a计算下例一端口电路的输入电阻计算下例一端口电路的输入电阻62i1i113i+-u6i1131.53i1解：解：受控源的电阻性受控源的电阻性例例1b计算下例一端口电路的输入电阻计算下例一端口电路的输入电阻62i1i113i+-u6i113-1.5-i1解：解：受控源的电阻性受控源的电阻性例例2计算下例一端口电路的输入电阻计算下例一端口电路的输入电阻无源电无源电阻网络阻网络（等效（等效电阻方电阻方法求解）法求解）R2R3R1解：解：先把有源网络的独立源置零：电压源短路；电流源先把有源网络的独立源置零：电压源短路；电流源开路，再求输入电阻。开路，再求输入电阻。uS+_R3R2R1i1i2故原图变换成下图故原图变换成下图(a)(a)图图(a)(a)外加外加电压源源US+_3 i16+6i1例例3计算下例一端口电路的输入电阻计算下例一端口电路的输入电阻U+_3 i16+6i1i解：原图中的电压源短路，端解：原图中的电压源短路，端口处外接电压源，如下图所示：口处外接电压源，如下图所示：3 6 4 例例4计算下例一端口电路的输入电阻计算下例一端口电路的输入电阻Rin3 3 3 3 3 I1 ab2I解：方法一解：方法一 将图中所示虚线处断开，对右侧将图中所示虚线处断开，对右侧采用附加电压源法求右侧二端网络的输采用附加电压源法求右侧二端网络的输入电阻入电阻Rin,则有：则有：3 3 3 3 3 I1 ab2IU+_故：原图等效为：故：原图等效为：3 3 3 3 ab3 解：方法二解：方法二2I3 3 3 3 I1 ab3 3 3 3 I1 ab-1.5 受控电流源两端电压为：受控电流源两端电压为：U=3IU=3I，故：受控电流源等效的，故：受控电流源等效的电阻为：电阻为：U+_例例5计算下例一端口电路的输入电阻计算下例一端口电路的输入电阻Rab+_u1+_R3R1u1R2ab解：如下图所示在解：如下图所示在abab端口外接电端口外接电压源，由于压源，由于 两端开路，所以两端开路，所以 R R2 2无无电流流过。电流流过。由由KCL有：有：所以：所以：+_u1+_R3R1iu1R2_+ui1i3结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！68