格林公式及其应用课件

第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用1.格林（格林（Green）公式公式2.四个等价结论四个等价结论1/23格林公式及其应用一、格林公式一、格林公式边界曲线边界曲线L的正向的正向:当当观察者沿边界行走时，观察者沿边界行走时，区域区域D总在左边。总在左边。2/23格林公式及其应用格林公式及其应用例例1.设设 L 是一条分段光滑的闭曲线是一条分段光滑的闭曲线,证明证明证证:令令则则利用格林公式利用格林公式,得得格林公式及其应用例例2.2.解解6/23格林公式及其应用例例3.3.解解5/23格林公式及其应用解解xyOL20/23格林公式及其应用yxO(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)21/23格林公式及其应用格林公式格林公式格林公式及其应用例如例如,椭圆椭圆所围面积所围面积格林公式及其应用二、四个等价结论二、四个等价结论 如果平面区域如果平面区域D内任一闭曲线所围成的部分都在内任一闭曲线所围成的部分都在D内内，则称则称D为为单连通单连通区域；区域；否则称为否则称为复连通复连通区域。区域。复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD1 1、平面区域连通性的分类、平面区域连通性的分类7/23格林公式及其应用推论推论2 2、用格林公式导出的四个等价结论、用格林公式导出的四个等价结论8/23格林公式及其应用说明说明:积分与路径无关时积分与路径无关时,曲线积分可记为曲线积分可记为 格林公式及其应用说明说明:若在某区域若在某区域D内内则则2)求曲线积分时求曲线积分时,可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求可用积分法求d u=P dx+Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:及动点及动点或或则原函数为则原函数为若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线,可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1)计算曲线积分时计算曲线积分时,可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;格林公式及其应用4)若已知若已知 d u=P dx+Q dy,则对则对D内任一分段光滑曲内任一分段光滑曲线线 AB,有有注注:此式称为此式称为曲线积分的基本公式曲线积分的基本公式(P211定理定理4).它类似于微积分基本公式它类似于微积分基本公式:格林公式及其应用例例5.验证验证在右半平面在右半平面(x 0)内存在原函内存在原函数数,并求出它并求出它.证证:令令则则所以存在原函数所以存在原函数格林公式及其应用或或格林公式及其应用判别判别:P,Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:方法方法1 凑微分法凑微分法;方法方法2 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.1.求原函数求原函数 u(x,y)2.由由 d u=0 知通解为知通解为 u(x,y)=C.*三、全微分方程三、全微分方程则称则称为为全微分方程全微分方程.格林公式及其应用例例6.求解求解解解:因为因为故这是全微分方程故这是全微分方程.则有则有因此方程的通解为因此方程的通解为法法1格林公式及其应用法法2 此全微分方程的通解为此全微分方程的通解为,则有则有两边对两边对 y 求导得求导得由由得得与与比较得比较得因此方程的通解为因此方程的通解为格林公式及其应用例例7.求解求解解解:这是一个全微分方程这是一个全微分方程.用凑微分法求通解用凑微分法求通解.将方程改写为将方程改写为即即故原方程的通解为故原方程的通解为或格林公式及其应用思考思考:如何解方程如何解方程这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程,就化成例就化成例7 的方程的方程.使使为全微分方程为全微分方程,在简单情况下在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得可凭观察和经验根据微分倒推式得到到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘注注:若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.格林公式及其应用内容小结内容小结1.格林公式格林公式2.等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.在在 D 内有内有对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有在在 D 内有内有设设 P,Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则有则有为全微分方程为全微分方程格林公式及其应用作 业习题11-1 格林公式及其应用 若区域若区域 如图如图为复连通域，试描为复连通域，试描述格林公式中曲线述格林公式中曲线积分中积分中L的方向。的方向。思考题思考题23/23格林公式及其应用 备用题备用题 1.设设 C 为沿为沿从点从点依逆时针依逆时针的半圆的半圆,计算计算解解:添加辅助线如图添加辅助线如图,利用格林公式利用格林公式.原式原式=到点到点格林公式及其应用