平面向量的背景及其基本概念

2.12.1平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念第二章第二章 平面向量平面向量问题提出问题提出 1.1.在物理中，位移与距离是同一个概在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？念吗？为什么？2.2.现实世界中有各种各样的量，如年现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引进向量的概念区分这些量，我们引进向量的概念.探究（一）：探究（一）：向量的物理背景与概念向量的物理背景与概念 思考思考1 1：在物理中，怎样区分作用于同一在物理中，怎样区分作用于同一点的两个力？点的两个力？力的大小和力的方向力的大小和力的方向思考思考2 2：物体受到的重力、物体在液体中物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别如何？受力的大受到的浮力的方向分别如何？受力的大小分别与哪些因素有关？小分别与哪些因素有关？G GF思考思考3 3：在如图所示的弹簧中，被拉长或在如图所示的弹簧中，被拉长或压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内，弹力的大小与什么因素有关？度内，弹力的大小与什么因素有关？思考思考4 4：力既有大小，又有方向，在物理力既有大小，又有方向，在物理学中称为学中称为矢量矢量，你还能指出哪些物理量，你还能指出哪些物理量是矢量吗？是矢量吗？思考思考5 5：数学中，把既有大小，又有方向数学中，把既有大小，又有方向的量叫做的量叫做向量向量，把只有大小，没有方向，把只有大小，没有方向的量称为的量称为数量数量.那么年龄、身高、体重、那么年龄、身高、体重、面积、体积、温度、时间、路程、数轴面积、体积、温度、时间、路程、数轴等是向量吗？等是向量吗？探究（二）：探究（二）：向量的几何表示向量的几何表示 思考思考1 1：一条小船从一条小船从A A地出发，向西北方地出发，向西北方向航行向航行15km15km到达到达B B地，可以用什么方式表地，可以用什么方式表示小船的位移？示小船的位移？B BA A东东北北思考思考2 2：对于一个实数，可以用数轴上的对于一个实数，可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切，可以用三角函数线表示；对于一个切，可以用三角函数线表示；对于一个二次函数，可以用一条抛物线表示二次函数，可以用一条抛物线表示.数数学中有许多量都可以用几何方式表示，学中有许多量都可以用几何方式表示，你认为如何用几何方式表示向量最合适你认为如何用几何方式表示向量最合适？思考思考3 3：如图，以如图，以A A为起点、为起点、B B为终点的有为终点的有向线段记作向线段记作 ，一条有向线段由哪几，一条有向线段由哪几个基本要素所确定？个基本要素所确定？A A（起点）（起点）B B（终点）（终点）思考思考4 4：用有向线段用有向线段 表示向量，向量表示向量，向量的大小和方向是如何反映出来的？的大小和方向是如何反映出来的？起点、长度、方向起点、长度、方向思考思考5 5：有向线段有向线段 的长度就是指线段的长度就是指线段ABAB的长度，也称为向量的长度，也称为向量 的长度或模，的长度或模，它表示向量它表示向量 的大小，记作的大小，记作|，两个，两个不同的向量可以比较大小吗？不同的向量可以比较大小吗？思考思考6 6：如果表示向量的有向线段没有标如果表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可以用黑体注起点和终点字母，向量也可以用黑体字母字母a，b，c，或或 表表示，如图示，如图.此时向量的模怎样表示？此时向量的模怎样表示？a思考思考7 7：向量的模可以为向量的模可以为0 0吗？可以为吗？可以为1 1吗吗？可以为负数吗？可以为负数吗？思考思考8 8：模为模为0 0的向量叫做的向量叫做零向量零向量，记作，记作 ；模为；模为1 1个单位的向量叫做个单位的向量叫做单位向量单位向量.怎样理解零向量的方向？怎样理解向怎样理解零向量的方向？怎样理解向量量？例例1 1 已知飞机从已知飞机从A A地按北偏东地按北偏东3030方向方向飞行飞行2000km2000km到达到达B B地，再从地，再从B B地按南偏地按南偏东东3030方向飞行方向飞行2000km2000km到达到达C C地，再从地，再从C C地按西南方向飞行地按西南方向飞行1000 km1000 km到达到达D D地地.（1 1）画图表示向量；）画图表示向量；（2 2）求飞机从）求飞机从A A地到达地到达D D地的位移所对地的位移所对应的向量的模和方向应的向量的模和方向.B BA A东东北北C CD D 例例2 2 如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，BCEBCE为等腰直角三角形为等腰直角三角形.以图中各点为以图中各点为起点和终点，写出与向量起点和终点，写出与向量 模相等的模相等的所有向量所有向量.A AB BC CD DE E探究（一）：探究（一）：相等向量与相反向量相等向量与相反向量 思考思考1 1：向量由其模和方向所确定向量由其模和方向所确定.对于对于两个向量两个向量a、b，就其模等与不等，方向，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？同与不同而言，有哪几种可能情形？模相等，方向相同；模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；模不相等，方向不相同；思考思考2 2：两个向量不能比较大小，只有两个向量不能比较大小，只有“相等相等”与与“不相等不相等”的区别，你认为如的区别，你认为如何规定两个向量相等？何规定两个向量相等？长度相等且方向相同的向量叫做长度相等且方向相同的向量叫做相等向量相等向量.向量向量a与与b相等，记作：相等，记作：a=b.思考思考3 3：用有向线段表示非零向量用有向线段表示非零向量 和和 ，如果，如果 ，那么，那么A A、B B、C C、D D四点四点的位置关系有哪几种可能情形？的位置关系有哪几种可能情形？A AB BC CD DA AB BC CD D思考思考4 4：对于非零向量对于非零向量 和和 ，如果，如果 ，通过平移使起点，通过平移使起点A A与与C C重合，那么终点重合，那么终点B B与与D D的位置关系如何？的位置关系如何？长度相等且方向相反的向量叫做长度相等且方向相反的向量叫做相相反向量反向量.思考思考5 5：非零向量非零向量 与与 称为相反向称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？量，一般地，如何定义相反向量？D DC CB BA AB BA A思考思考6 6：如果非零向量如果非零向量 与与 是相反是相反向量，通过平移使起点向量，通过平移使起点A A与与C C重合，那么重合，那么终点终点B B与与D D的位置关系如何？的位置关系如何？D DC CB BA AB BA A探究（二）：探究（二）：平行向量与共线向量平行向量与共线向量 思考思考1 1：如果两个向量所在的直线互相平如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系行，那么这两个向量的方向有什么关系？思考思考2 2：方向相同或相反方向相同或相反的非零向量叫做的非零向量叫做平行向量平行向量，向量，向量 与与 平行记作平行记作 ，那，那么平行向量所在的直线一定互相平行么平行向量所在的直线一定互相平行吗吗？方向相同或相反方向相同或相反思考思考3 3：零向量零向量 与向量与向量 平行吗？平行吗？规定：零向量与任一向量平行规定：零向量与任一向量平行.思考思考4 4：将向量平移，不会改变其长度和将向量平移，不会改变其长度和方向方向.如图，设如图，设a、b、c是一组平行向量，是一组平行向量，任作一条与向量任作一条与向量a所在直线平行的直线所在直线平行的直线l，在，在l上任取一点上任取一点O O，分别，分别 ，那么点，那么点A A、B B、C C的位置的位置关系如何？关系如何？A AB BC CO Olabc思考思考5 5：上述分析表明，任一组平行向上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做行向量也叫做共线向量共线向量.如果非零向量如果非零向量 与与 是共线向量，那么点是共线向量，那么点A A、B B、C C、D D是否一定共线？是否一定共线？思考思考6 6：若向量若向量 与与 平行（或共线），平行（或共线），则向量则向量 与与 相等或相反吗？反之，若相等或相反吗？反之，若向量向量 与与 相等或相反，则向量相等或相反，则向量 与与 平行（或共线）吗？平行（或共线）吗？思考思考7 7：对于向量对于向量a、b、c，若，若a/b，b/c，那么，那么a/c吗？吗？思考思考8 8：对于向量对于向量a、b、c，若，若a=b，b=c，那么，那么a=c吗？吗？例例1 1 判断下列命题是否正确：判断下列命题是否正确：（1 1）若两个单位向量共线，则这两个向）若两个单位向量共线，则这两个向量相等；量相等；（）（2 2）不相等的两个向量一定不共线；）不相等的两个向量一定不共线；（）（3 3）在四边形）在四边形ABCDABCD中，若向量与共线，中，若向量与共线，则该四边形是梯形；则该四边形是梯形；（）（4 4）对于不同三点）对于不同三点O O、A A、B B，向量与一，向量与一定不共线定不共线.（）理论迁移理论迁移 例例2 2 如图，设如图，设O O为正六边形为正六边形ABCDEFABCDEF的的中心，分别写出与中心，分别写出与 、相等的向量相等的向量.A AB BC CD DE EF FO O 例例3 3 如图，在如图，在ABCABC中，中，D D、E E、F F分分别是别是ABAB、BCBC、CACA边上的点，已知边上的点，已知 求证：求证：.A AB BCD DE EF F小结作业小结作业1.1.相等向量与相反向量是并列概念，平相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念量（相反向量）与平行向量是包含概念.2.2.任意两个相等的非零向量，都可用同任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关起点无关.3.3.向量的平行、共线与平面几何中线段向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线行也可以共线.4.4.平行向量不具有传递性，但非零平行平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性向量和相等向量都具有传递性.