平面向量的数量积（一）

平面向量的数量积广西蒙山中学张文军如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:表示力F的方向与位移S的方向的夹角。位移SOA问题情境FFSW=FW=FS SCOSCOS平面向量的数量积学习目标：1、掌握平面向量的数量积的定义及几何意义2、掌握平面向量数量积的性质下面请同学们看课本并思考如下问题：看课本116117页并思考如下问题：1、向量的夹角是如何定义（规定）的？2、向量的数量积如何定义，它与物理中力做功有什么联系？3、向量的数量积是向量吗？向量在方向上的投影是向量吗？4、平面向量的数量积有什么样的几何意义？1、向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，作OA=a,OB=b,则 叫做向量a与b的夹角(1)中OA与OB的夹角为（2）中OA与OB的夹角为（3）中OA与OB的夹角为（当 时，a与b；当 时，a与b；当 时，a与b，记作）（4）中OA与OB的夹角为反向同向垂直指出下列图中两向量的夹角AOABBBB.AAOOO.（2）（4）（3）（1）思考1：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。（这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）2、数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们把数量叫做向量a与b的数量积（或内积）记作即 并规定 b bCOSCOS叫做向量b在向量a上的投影。（1）思考2：在下列各图中作出b bCOSCOS的几何图形，并说明它的几何意义是什么？OAB（2）abOAB（3）ababAO过b的终点B作OAa的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得 =b bCOSCOS投影是向量吗投影是一个数值（实数），当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值。时时b bCOSCOS时时b bCOSCOS时时b bCOSCOSb bb b0数量积ab等于a的长度aa与b在a的方向上的投影b bCOSCOS的积ab的几何意义：3、向量数量积的几何意义ab=aab bCOSCOSa ab bOBOB b bCOSCOS4、向量数量积的性质设a a,b b都是非零向量，e e是与b b的方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则 (1)e ea a=_;a ae e=_ (2)a ab b_a ab b=0(3)当a a与b b同向时，a ab b=_ 当a a与b b异向时，a ab b=_ a aa a=_(4)a ab _b _ aab b(5)cos _a aCOSCOSa aCOSCOSaab b-a-ab bab=aab bCOSCOSe ea a=a ae e=a aCOSCOS性质4ab=aab bCOSCOS（1）若a=0a=0，则对任意向量b b，有ab=ab=0（）（2）若a 0a 0，则对任意非零向量b b，有a b a b 0 ()（3）若a 0a 0，且abab=0，则b=0 0 （）（4）若a ab b=0，则a=0a=0或b=0b=0 （）（5）对任意向量a a有 （）（6）若a 0a 0，且a ab=ab=ac c，则b=c b=c （）5、反馈练习:判断正误a a=|a|=|a|向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的6 6、典型例题分析、典型例题分析ab=aab bCOSCOS例题例题进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角ab=aab bCOSCOS24135钝角直角020ab=aab bCOSCOS7、课时作业：1、已知|p p|8，|q q|6，p p和q q的夹角是60，求p pq q2、设|a a|12，|b b|9，a ab b ，求a a和b b的夹角3、已知 中，ABa a，ACb b 当a ab b0时，是三角形；当a ab b=0时，是三角形4、已知|a a|6，e e为单位向量，当它们的夹角分别为 45、90、135时，求出a a在e e方向上的投影5、已知 中a5，b8，C60，求BCCA作业58 8、总结提炼、总结提炼（1 1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、几何意义及其性质几何意义及其性质（2 2）向量的数量积的物理模型是力做功）向量的数量积的物理模型是力做功（3 3）a ab b的结果是一个实数（标量）的结果是一个实数（标量）（4 4）利用）利用a ab=ab=ab bCOSCOS ，可以求两向量，可以求两向量 的夹角，尤其是判定垂直的夹角，尤其是判定垂直（5 5）两向量夹角的范围是）两向量夹角的范围是（6 6）五条基本性质要掌握）五条基本性质要掌握(7)(7)德育与美育的渗透德育与美育的渗透ab=aab bCOSCOS9、作业布置优化设计P82随堂训练1、4、6P83强化训练2、8谢谢大家！谢谢大家！ab=aab bCOSCOS证明向量数量积性质4(4)a ab b aab b因为ab=aab=ab bCOSCOS 所以ab ab=a=ab bCOSCOS又又COSCOS1 1所以 a ab b aab b思考：在什么情况下取等号？返回练习ab=aab bCOSCOS反馈练习（2）若a 0a 0，则对任意非零向量b b，有a b a b 0吗？分析：对两非零向量a、b，当它们的夹角时ab=ab=0返回练习反馈练习（6）若a 0a 0，且a ab=ab=ac c，则b=c(b=c()ab=aab bCOSCOS分析：由右图易知，虽然ab=acab=ac，但b bc ca ac cb b返回例题返回反馈练习课堂作业5已知 中a a5，b b8，C60，求BCCA解：BCCA a ab b=a ab bCOSCOS(180-60)=5 8 cos 120 =-20ACBab=aab bCOSCOS60120 a ab bD