最牛材料力学5 弯曲内力

第五章第五章 弯曲内力弯曲内力材料力学(一一)、弯曲实例、弯曲实例桥式起重机大梁：桥式起重机大梁：一一 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例FF材料力学火车的轮轴：火车的轮轴：FFFF材料力学楼房的横梁：楼房的横梁：阳台的挑梁：阳台的挑梁：材料力学受力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线。变形特点变形特点杆轴线由杆轴线由直线直线变为一条平面的变为一条平面的曲线曲线。主要产生弯曲变形的杆主要产生弯曲变形的杆-梁梁。三、平面弯曲的概念：三、平面弯曲的概念：二、弯曲的概念：二、弯曲的概念：材料力学变形特点变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。面曲线。纵向对称面纵向对称面MF1F2q平面弯曲平面弯曲受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴平面梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴平面 且过弯曲中心）且过弯曲中心）。材料力学 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1.1.构件本身的简化构件本身的简化构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。通常取梁的轴线来代替梁。通常取梁的轴线来代替梁。通常取梁的轴线来代替梁。2.2.载荷简化载荷简化载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。集中力、集中力偶和分布载荷。集中力、集中力偶和分布载荷。集中力、集中力偶和分布载荷。3.3.支座简化支座简化支座简化支座简化二、梁的计算简图二、梁的计算简图材料力学固定铰支座固定铰支座固定铰支座固定铰支座 2 2个约束，个约束，个约束，个约束，1 1个自由度。个自由度。个自由度。个自由度。如：桥梁下的固定支座，止如：桥梁下的固定支座，止如：桥梁下的固定支座，止如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。推滚珠轴承等。推滚珠轴承等。推滚珠轴承等。楼房的横梁：楼房的横梁：材料力学可动铰支座可动铰支座可动铰支座可动铰支座 1 1个约束，个约束，个约束，个约束，2 2个自由度。个自由度。个自由度。个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚如：桥梁下的辊轴支座，滚如：桥梁下的辊轴支座，滚如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。珠轴承等。珠轴承等。珠轴承等。固定端固定端固定端固定端 3 3个约束，个约束，个约束，个约束，0 0个自由度。个自由度。个自由度。个自由度。如：游泳池的跳水板支座，如：游泳池的跳水板支座，如：游泳池的跳水板支座，如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。木桩下端的支座等。木桩下端的支座等。木桩下端的支座等。材料力学车床的割刀及刀架车床的割刀及刀架车床的割刀及刀架车床的割刀及刀架材料力学弯曲内力弯曲内力/引引 言言4 4 静定梁的分类静定梁的分类M 集中力偶集中力偶q(x)分布力分布力1 1、悬臂梁：、悬臂梁：2 2、简支梁：、简支梁：3 3、外伸梁：、外伸梁：集中力集中力Fq 均布力均布力LLLL（L称为梁的跨长）称为梁的跨长）材料力学（4）静定组合梁）静定组合梁中间铰中间铰中间铰中间铰材料力学5、静不定梁静不定梁支座反力不能由静力平衡方程完全支座反力不能由静力平衡方程完全 确定的梁。确定的梁。弯曲内力弯曲内力/引引 言言材料力学二、剪力和弯矩二、剪力和弯矩求求弯曲内力（剪力和弯矩）的基本方法弯曲内力（剪力和弯矩）的基本方法截面法截面法弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学 设有一简支梁设有一简支梁AB，受集中力受集中力F作用。现分析距作用。现分析距A端端为为x处的横截面处的横截面m-m上的内力。上的内力。x解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力2、截取、截取m-m截面左段。截面左段。AxmmM剪力剪力 使截面不产生移动使截面不产生移动弯矩弯矩M 使截面不产生转动使截面不产生转动得到：得到：oALBFabmm弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学得到：得到：如截取如截取m-m截面右段梁截面右段梁:L-xBFbmmM由作用力与反作用力，得由作用力与反作用力，得3、根据变形规定内力符号：、根据变形规定内力符号：同同一一位位置置处处左左、右右侧侧截截面面上上内内力力分分量量必必须须具具有有相相同同的的正负号。正负号。内力正负号规则：内力正负号规则：AxmmMo弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学剪力剪力 ：弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩对脱离体内一点产生顺时针力矩的剪力为正，对脱离体内一点产生顺时针力矩的剪力为正，反之为负；反之为负；材料力学弯矩弯矩M：使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。压压拉拉弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩“Happy”Beam is “Sad”Beam is 材料力学AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力例例5-1 一外伸梁受力如图所示。试求一外伸梁受力如图所示。试求C截面、截面、截面和截面和 上上的内力。的内力。弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学C截面截面:A1m1mq=2KN/mEC得到：得到：（弯矩（弯矩 Mc的实际方向与假设方向相反，为负弯矩）的实际方向与假设方向相反，为负弯矩）（剪力（剪力 的实际方向与假设方的实际方向与假设方向相同）向相同）2、求指定横截面上的剪力和弯矩、求指定横截面上的剪力和弯矩材料力学如以右侧梁作为研究对象，则：如以右侧梁作为研究对象，则：B1m1m2mq=2KN/mP=2KNCDF为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。材料力学某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；FQ=截面一侧所有横向外力代数和截面一侧所有横向外力代数和MM=截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和规律规律A1m1mq=2KN/mECB1m1m2mq=2KN/mP=2KNCDF材料力学截面：截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学截面：截面：与与 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 ，故有：，故有：亦可取梁的右侧的外力简化，但必须亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。注意外力的符号变化。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学三、剪力方程和弯矩方程三、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材料力学在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即的函数，即称为称为剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF材料力学弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图各段的分界点各段的分界点:外力规律发生变化的截面外力规律发生变化的截面外力规律发生变化的截面外力规律发生变化的截面集中力、集中力偶作用点、集中力、集中力偶作用点、集中力、集中力偶作用点、集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。分布载荷的起点和终点处的横截面。分布载荷的起点和终点处的横截面。分布载荷的起点和终点处的横截面。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDFu注意：注意：不能用一个函数表达的要分段不能用一个函数表达的要分段材料力学xx(+)(+)(-)(-)剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。梁轴线的变化情况。注意：注意：必须标明控制必须标明控制截面截面(各段的分界点各段的分界点)上的内力值上的内力值弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材料力学例例5-2悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 和和 及其所及其所在截面位置。在截面位置。Pm=PaACBaa取取参考坐标系参考坐标系Axy。解：解：xy1、列出梁的剪力方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段段:弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图xx材料力学BC段段:Pm=PaACBaaxx2、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-PPa(+)(-)3、求、求 和和（在（在BC段的各截面）段的各截面）（在（在AB段的各截面）段的各截面）弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材料力学注意：注意：1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算可以从坐标原点算 起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围 （x的区间的区间）即可。即可。2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作 用处，用处，应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中 力偶作用处，力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。应为开区间，因在该处弯矩图有突变。3、若所得方程为、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计的二次或二次以上方程时，则在作图时除计 算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材料力学例例5-3外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a解：解：xy1、取参考坐标系、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力根据平衡条件求支座反力弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图xx材料力学2、列出梁的剪力方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程yABqF=qaCa2axCA段段:xAB段段:x弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材料力学yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-qa(-)(-)(+)(-)E(+)弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材料力学四、弯矩、剪力和分布荷四、弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系载集度之间的关系材料力学q(x)考察受任意载荷作用的梁。建立考察受任意载荷作用的梁。建立xy坐标系。坐标系。规定向上的规定向上的q(x)为正。为正。xy xdx弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学 考察考察dx微段的受力与平衡微段的受力与平衡弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学（4-4）由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相 应点处的载荷集度应点处的载荷集度q。弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学由此式知：剪力图曲由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于线上一点处的斜率等于梁上相应点处的载荷集梁上相应点处的载荷集度度q。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)材料力学略去二阶微量略去二阶微量 ，得：，得：（4-5）由此式知：由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等弯矩图曲线上一点的斜率等 于梁上相应截面处的剪力于梁上相应截面处的剪力 。弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学 由此式知：由此式知：弯矩图弯矩图曲线上一点的斜率等于曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力梁上相应截面处的剪力FQ。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)材料力学由此式知：由此式知：弯矩图曲线上某点处的凹凸方向由梁弯矩图曲线上某点处的凹凸方向由梁上相应点处的载荷集度上相应点处的载荷集度q的符号决定。的符号决定。弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学内力内力FQ、M 的变化规律的变化规律,归纳如下：归纳如下：载荷载荷F水平直线水平直线+-oror上斜上斜直线直线上凸上凸抛物线抛物线下凸下凸抛物线抛物线下斜直线下斜直线F(剪力图剪力图无突变无突变)F处有尖角处有尖角弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系斜直线斜直线材料力学例例5-4一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m2、由微分关系判断各段的、由微分关系判断各段的 形状。形状。载荷载荷CADBAD斜直线斜直线斜直线斜直线弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m3、作、作 -图。图。4、作、作M-图。图。CA段：段：(-)DA段：段：-3KN4.2KN-3.8KN(+)(-)DB段：段：-3KN.m(-)Ex-2.2KN.m(-)3.8KN.m(+)(+)弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学BaCAqaaD例例5-5 已知静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。已知静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。载荷载荷ABCDBC斜直线斜直线斜直线斜直线材料力学利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值定值 梁上任意两截面的剪力梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包差等于两截面间载荷图所包围的面积围的面积 梁上任意两截面的弯矩差梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的等于两截面间剪力图所包围的面积面积积分关系积分关系:材料力学五、平面刚架内力图五、平面刚架内力图材料力学平面刚架：平面刚架：轴线由同一平面折线组成的轴线由同一平面折线组成的 刚架。刚架。特点：特点：刚架各杆横截面上的内力有：刚架各杆横截面上的内力有：FQ、M、FN。刚架刚架用刚性接头连接的杆系结构用刚性接头连接的杆系结构刚性接头的特点刚性接头的特点：约束约束限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移 受力受力既可传力，也可传递力偶矩既可传力，也可传递力偶矩材料力学*内力分量的正负号与观察者位置的关系：内力分量的正负号与观察者位置的关系：内力分量的正负号与观察者位置的关系：内力分量的正负号与观察者位置的关系：无关无关FNFN面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量 轴力、剪力和弯矩轴力、剪力和弯矩。刚架内力的特点：刚架内力的特点：无关无关FQFQ有关有关弯曲内力弯曲内力/平面刚架内力图平面刚架内力图材料力学平面刚架内力图规定平面刚架内力图规定：弯矩图弯矩图：画在各杆的受画在各杆的受压压一侧，不注明正、负号。一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明正、负号。可画在刚架轴线的任一侧，但须注明正、负号。材料力学例例5-6 求作图示平面刚架的内力图。求作图示平面刚架的内力图。ABC解：解：1、根据平衡条件求得、根据平衡条件求得支座反力支座反力2、作内力图、作内力图轴力轴力立柱立柱CA：横梁横梁CB：作作轴力图。轴力图。FN弯曲内力弯曲内力/平面刚架内力图平面刚架内力图材料力学剪力剪力求求控制截面控制截面1、2、3、4上的剪力。上的剪力。1234Qqaqa/2FQ弯曲内力弯曲内力/平面刚架内力图平面刚架内力图材料力学1234弯矩弯矩立柱弯矩图为抛物线，左侧受压，立柱弯矩图为抛物线，左侧受压，1、2截面的弯矩值为截面的弯矩值为作弯矩图。作弯矩图。Mqa/2qa/2qa2/2Mqa/2qa/2qa2/2弯曲内力弯曲内力/平面刚架内力图平面刚架内力图材料力学节点处的平衡关系节点处的平衡关系MMFNFQFQFNFNFQFNFQMM弯曲内力弯曲内力/平面刚架内力图平面刚架内力图弯矩图特点：弯矩图特点：如刚性接头处如刚性接头处无外力偶，则无外力偶，则弯矩连续弯矩连续材料力学六六 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图二、叠加原理：二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个 载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一、前提条件一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内 力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即 在弹性范围内满足虎克定律。在弹性范围内满足虎克定律。材料力学 例例 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力，力F作用在梁作用在梁AB的中点处）。的中点处）。qFABFq=+AABB材料力学FLFFLLLLLLL0.5F0.5FF0例例 作下列图示梁的内力图作下列图示梁的内力图。材料力学2aaaqABCDE例例5-7 求作图示带中间铰的平面刚架的内力图。求作图示带中间铰的平面刚架的内力图。材料力学习题习题:一静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。一静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。AB2m3m8mCDq=5KN/m3mE材料力学习题习题:直角弯拐，直角弯拐，AB段为圆轴，材料的剪变模量为段为圆轴，材料的剪变模量为G。不计不计BC段变形，求段变形，求 (1)AB段的最大剪应力段的最大剪应力;(2)C点的铅垂位移。点的铅垂位移。材料力学