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突破点13直线与圆提炼1圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.(2)圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径的圆.提炼2求解直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理(2)两个公式：点到直线的距离公式d，弦长公式|AB|2(弦心距d).提炼3求距离最值问题的本质(1)圆外一点P到圆C上的点距离的最大值为|PC|r，最小值为|PC|r，其中r为圆的半径(2)圆上的点到直线的最大距离是dr，最小距离是dr，其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦回访1圆的方程1(2015全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_2y2由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则解得所以圆的标准方程为2y2.2(2014山东高考)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_(x2)2(y1)24设圆C的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.回访2直线与圆的相关问题3(2016全国甲卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()ABC. D2A由圆x2y22x8y130，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线axy10的距离d1，解得a.4(2016全国乙卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_4圆C：x2y22ay20化为标准方程是C：x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r，|AB|2，点C到直线yx2a即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.热点题型1圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法.(1)(2016黄山一模)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为12，则圆C的方程为_(2)(2016郑州二模)已知M的圆心在第一象限，过原点O被x轴截得的弦长为6，且与直线3xy0相切，则圆M的标准方程为_(1)x22(2)(x3)2(y1)210(1)因为圆C关于y轴对称，所以圆C的圆心C在y轴上，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2(yb)2r2.依题意，得解得所以圆C的方程为x22.(2)法一：设M的方程为(xa)2(yb)2r2(a0，b0，r0)，由题意知解得故M的方程为(x3)2(y1)210.法二：因为圆M过原点，故可设方程为x2y2DxEy0，又被x轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则232，故D6，与3xy0相切，则，即ED2，因此所求方程为x2y26x2y0.故M的标准方程为(x3)2(y1)210.求圆的方程的两种方法1几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程2代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数变式训练1(1)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2xy40相切，则圆M的方程为()A(x1)2y24B(x1)2y24Cx2(y1)24 Dx2(y1)24(2)(2016长春一模)抛物线y24x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为_(1)B(2)(x1)2y24(1)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a2，半径为r，得解得满足条件的一组解为所以圆M的方程为(x1)2y24.故选B.(2)由题意知，A(1,2)，B(1，2)，M(1,0)，AMB是以点M为直角顶点的直角三角形，则线段AB是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x1)2y24.热点题型2直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法.(1)(2016全国丙卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.4由直线l：mxy3m0知其过定点(3，)，圆心O到直线l的距离为d.由|AB|2得2()212，解得m.又直线l的斜率为m，所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CEBD，则DCE.在RtCDE中，可得|CD|24.(2)(2016开封一模)如图131，已知圆G：(x2)2y2r2是椭圆y21的内接ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点(1)求圆G的半径r；(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切图131解(1)设B(2r，y0)，过圆心G作GDAB于D，BC交长轴于H.由得，即y0，2分而B(2r，y0)在椭圆上，y1，3分由式得15r28r120，解得r或r(舍去).5分(2)证明：设过点M(0,1)与圆(x2)2y2相切的直线方程为ykx1，则，即32k236k50，解得k1，k2.将代入y21得(16k21)x232kx0，则异于零的解为x.8分设F(x1，k1x11)，E(x2，k2x21)，则x1，x2，9分则直线FE的斜率为kEF，于是直线FE的方程为y1.即yx，则圆心(2,0)到直线FE的距离d，故结论成立.12分1直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算2弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)(2)根据公式：l|x1x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解变式训练2(1)(2016哈尔滨一模)设直线l：ykx1被圆C：x2y22x30截得的弦最短，则直线l的方程为_. 【导学号：85952047】yx1直线l恒过定点M(0,1)，圆C的标准方程为(x1)2y24，易知点M(0,1)在圆C的内部，依题意当lCM时直线l被圆C截得的弦最短，于是k1，解得k1，所以直线l的方程为yx1.(2)(2016泉州一模)已知点M(1,0)，N(1,0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N距离的倍求曲线E的方程；已知m0，设直线l1：xmy10交曲线E于A，C两点，直线l2：mxym0交曲线E于B，D两点C，D两点均在x轴下方当CD的斜率为1时，求线段AB的长解设曲线E上任意一点坐标为(x，y)，由题意，2分整理得x2y24x10，即(x2)2y23为所求.4分由题知l1l2，且两条直线均恒过点N(1,0)，设曲线E的圆心为E，则E(2,0)，线段CD的中点为P，则直线EP：yx2，设直线CD：yxt，由解得点P.7分由圆的几何性质，|NP|CD|，而|NP|222，|ED|23，|EP|22，2232，解得t0或t3，又C，D两点均在x轴下方，直线CD：yx.由解得或9分设C，D，由消去y得：(u21)x22(u22)xu210，(*)方程(*)的两根之积为1，所以点A的横坐标xA2，又因为点C在直线l1：xmy10上，解得m1，11分直线l1：y(1)(x1)，所以A(2，1)，同理可得，B(2，1)，所以线段AB的长为2.12分
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