高等代数第八章-λ-矩阵(北大版)ppt课件

变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/30数学与应用数学2 2 矩阵矩阵矩阵矩阵的标准的标准的标准的标准形形形形3 3 不变因子不变因子不变因子不变因子1 1 矩阵矩阵矩阵矩阵4 4 矩阵相似的矩阵相似的矩阵相似的矩阵相似的条件条件条件条件6 6 若当若当若当若当(Jordan)(Jordan)标准标准标准标准形的理论推导形的理论推导形的理论推导形的理论推导5 5 初等因子初等因子初等因子初等因子小结与习题小结与习题小结与习题小结与习题第八章第八章 矩阵矩阵2023/7/31数学与应用数学2 矩阵的标准形1变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.18.1 矩阵矩阵矩阵矩阵数学与应用数学一、一、矩阵的概念矩阵的概念二、二、矩阵的秩矩阵的秩8.1 矩阵矩阵三、三、可逆可逆矩阵矩阵2023/7/318.1 矩阵数学与应用数学一、2变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.18.1 矩阵矩阵矩阵矩阵数学与应用数学定义定义：若矩阵若矩阵A的元素是的元素是 的多项式，即的多项式，即 的元素，则的元素，则设设P P是一个数域，是一个文字，是多项式环，是一个数域，是一个文字，是多项式环，称称A为为 矩阵矩阵，并把，并把A写成写成 一、一、矩阵的概念矩阵的概念注：注：数域数域P上的矩阵上的矩阵数字矩阵也数字矩阵也是是 矩阵矩阵.2023/7/318.1 矩阵数学与应用数学定义：若3变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.18.1 矩阵矩阵矩阵矩阵数学与应用数学其定义与运算规律与数字矩阵相同其定义与运算规律与数字矩阵相同.对于对于 的的 矩阵，同样有行列式矩阵，同样有行列式 它是一个它是一个 的多项式，且有的多项式，且有这里这里 为同级为同级 矩阵矩阵.与数字矩阵一样，与数字矩阵一样，矩阵也有子式的概念矩阵也有子式的概念.矩阵的各级子式是矩阵的各级子式是 的多项式的多项式.矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，2023/7/318.1 矩阵数学与应用数学其定义与4变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.18.1 矩阵矩阵矩阵矩阵数学与应用数学若若矩阵矩阵 中有一个中有一个 级子式不为零，级子式不为零，而所有而所有 级的子式（若有的话）皆为零，则称级的子式（若有的话）皆为零，则称的的秩为秩为r.二、二、矩阵的秩矩阵的秩定义定义：零矩阵的秩规定为零矩阵的秩规定为0.2023/7/318.1 矩阵数学与应用数学若矩5变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.18.1 矩阵矩阵矩阵矩阵数学与应用数学三、可逆三、可逆矩阵矩阵一个一个 的的 矩阵矩阵 称为称为可逆的可逆的，如果有一，如果有一 一个一个 的的矩阵矩阵 ，使，使定义定义：这里这里E是是n级单位矩阵级单位矩阵.称称 为为 的逆矩阵的逆矩阵(它是唯一的它是唯一的)，记作，记作2023/7/318.1 矩阵数学与应用数学三、可逆6变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.18.1 矩阵矩阵矩阵矩阵数学与应用数学（定理定理1）一个一个 的的矩阵矩阵 可逆可逆是一个非零常数是一个非零常数.证证:“”若若 可逆，则有可逆，则有 ，使，使两边取行列式，得两边取行列式，得都是零次多项式，即为非零常数都是零次多项式，即为非零常数.判定判定：2023/7/318.1 矩阵数学与应用数学（定理17变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.18.1 矩阵矩阵矩阵矩阵数学与应用数学“”设设 是一个非零常数是一个非零常数.为的伴随矩阵，则为的伴随矩阵，则 可逆可逆.2023/7/318.1 矩阵数学与应用数学“8变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学一、一、矩阵的初等变换矩阵的初等变换二、二、矩阵的初等矩阵矩阵的初等矩阵8.2 矩阵的标准形矩阵的标准形三、三、等价等价矩阵矩阵四、四、矩阵的对角化矩阵的对角化2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学9变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学矩阵的矩阵的初等变换初等变换是指下面三种变换是指下面三种变换:矩阵两行矩阵两行（列）（列）互换位置；互换位置；矩阵的某一行（列）乘以非零常数矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c；是一个多项式是一个多项式.矩阵的某一行矩阵的某一行（列）（列）加另一行加另一行（列）（列）的的 倍，倍，一、一、矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义：2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学10变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学代表第代表第 行乘以非零数行乘以非零数 c；代表把第代表把第 行行(列列)的的 倍加到第倍加到第为了书写的方便，我们采用以下记号为了书写的方便，我们采用以下记号代表代表 两行两行(列列)互换；互换；注：注：行行(列列).).2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学11变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学将单位矩阵进行一次将单位矩阵进行一次矩阵的初等变换所得的矩阵的初等变换所得的 矩阵称为矩阵称为 矩阵的矩阵的初等矩阵初等矩阵.二、二、矩阵的初等矩阵矩阵的初等矩阵定义定义：注：注：全部初等矩阵有三类：全部初等矩阵有三类：i行行 j行行 2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学12变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学i 行行 j行行 i 行行2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学13变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学 初等矩阵皆可逆初等矩阵皆可逆.对一个对一个 的的 矩阵矩阵 作一次初等行变换作一次初等行变换 就相当于在就相当于在 在的左边乘上相应的在的左边乘上相应的 的初等矩的初等矩 阵；对阵；对 作一次初等列变换就相当于在作一次初等列变换就相当于在 的右的右边乘上相应的边乘上相应的 的初等矩阵的初等矩阵.2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学14变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学为矩阵为矩阵 ，则称，则称 与与 等价等价.矩阵矩阵 若能经过一系列初等变换化若能经过一系列初等变换化1)矩阵的等价关系具有矩阵的等价关系具有:反身性反身性:与自身等价与自身等价.对称性对称性:与与 等价等价 与与 等价等价.传递性传递性:与与 等价等价,与与 等价等价与与 等价等价.三、等价三、等价矩阵矩阵定义定义：性质性质：2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学15变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学2)与与 等价等价 存在一系列初等矩阵存在一系列初等矩阵 使使1.（引理引理引理引理）设设 矩阵矩阵 的左上角元素的左上角元素 且且 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与可以找到一个与 等价的矩阵等价的矩阵 ，它的左上它的左上角元素角元素 ，且且 .四、四、矩阵的对角化矩阵的对角化2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学16变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学证：根据证：根据 中不能被中不能被 除尽的元素所在的除尽的元素所在的位置，分三种情形来讨论位置，分三种情形来讨论:i)若在若在 的第一列中有一个元素的第一列中有一个元素 不能被不能被 除尽，除尽，其中余式其中余式 ，且且对对 作下列初等行变换作下列初等行变换:则有则有 2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学17变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学的左上角元素的左上角元素 符合引理的要求符合引理的要求，故故 为所求的矩阵为所求的矩阵.ii)在在 的第一行中有一个元素的第一行中有一个元素 不能被不能被 除尽除尽，这种情况的证明这种情况的证明i)与类似与类似.iii)的第一行与第一列中的元素都可以被的第一行与第一列中的元素都可以被 除尽，但除尽，但 中有另一个元素中有另一个元素 2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学18变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学被被 除尽除尽.对对 作下述初等行变换作下述初等行变换:我们设我们设2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学19变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学矩阵矩阵 的第一行中，有一个元素：的第一行中，有一个元素：不能被左上角元素不能被左上角元素 除尽，转为情形除尽，转为情形 ii).证毕证毕.2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学20变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学2.（定理定理定理定理2 2）任意一个非零的任意一个非零的 的的 一矩阵一矩阵都等价于下列形式的矩阵都等价于下列形式的矩阵 其中其中 是首项系数为是首项系数为1的的多项式，且多项式，且称之称之为为的的标准标准形形.2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学21变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学证证:经行列调动之后，可使经行列调动之后，可使 的左上角元素的左上角元素若若 不能除尽不能除尽 的全部元素，的全部元素，由引理，可以找到与由引理，可以找到与 等价的等价的 ，且，且 由引理，又可以找到与由引理，又可以找到与 等价的等价的 ，且，且如此下去，将得到一系列彼此等价的如此下去，将得到一系列彼此等价的 矩阵：矩阵：左上角元素左上角元素 ，若若 还不能除尽还不能除尽 的全部元素，的全部元素，左上角元素左上角元素 ，2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学22变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学但次数是非负整数，不可能无止境地降低但次数是非负整数，不可能无止境地降低.因此在有限步以后，将终止于一个因此在有限步以后，将终止于一个矩阵矩阵它的左上角元素它的左上角元素 ，而且可以除尽而且可以除尽 的全部元素的全部元素 即即对对 作初等变换作初等变换:它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学23变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学中的全部元素都是可以被中的全部元素都是可以被 除尽的，除尽的，因为它们都是因为它们都是 中元素的组合中元素的组合.如果如果 ，则对于则对于 可以重复上述过程，可以重复上述过程，进而把矩阵化成进而把矩阵化成 2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学24变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学其中其中 与与 都是首都是首1多项式多项式(与与 只差一个常数倍数），而且只差一个常数倍数），而且能除尽能除尽 的全部元素的全部元素.如此下去，如此下去，最后就化成了标准形最后就化成了标准形.2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学25变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学例例 用初等变换化用初等变换化矩阵为标准形矩阵为标准形.解：解：2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学26变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学27变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.28.2 矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形数学与应用数学即为即为 的标准形的标准形.2023/7/318.2 矩阵的标准形数学与应用数学28变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学一、行列式因子一、行列式因子二、二、不变因子不变因子8.3 不变因子不变因子2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学一、行列29变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学1.定义定义：一、一、行列式因子行列式因子注：注：阶阶行列式因子行列式因子.的首项系数为的首项系数为1的最大公因式的最大公因式 称为称为 的的 中必有非零的中必有非零的 级子式，级子式，中全部中全部 级子式级子式设矩阵设矩阵 的秩为的秩为 ，对于正整数，对于正整数 ，若若 秩秩 ，则，则 有有 个行列式因子个行列式因子.2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学1.定30变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学行列式因子行列式因子.1)（定理（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级等价矩阵具有相同的秩与相同的各级（即初等变换不改变（即初等变换不改变 矩阵的秩与行列式因子）矩阵的秩与行列式因子）证：只需证，证：只需证，矩阵经过一次初等变换，秩与行矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的列式因子是不变的2.有关结论有关结论设设 经过一次初等变换变成经过一次初等变换变成 ，与与分别是分别是 与与 的的 k 级行列式因子级行列式因子下证下证 ，分三种情形：，分三种情形：2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学行列式因31变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学 级子式反号级子式反号.公因式，公因式，此时此时 的每个的每个 级子式或级子式或者等于者等于 的某个的某个 级子式，级子式，或者与或者与 的某个的某个因此，因此，是是 的的 级子式的级子式的从而从而 级子式的级子式的 c 倍倍.者等于者等于 的某个的某个 级子式，或者等于级子式，或者等于 的某个的某个此时此时 的每个的每个 级子式或级子式或因此，因此，是是 的的 级子式的级子式的公因式，公因式，从而从而 2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学 级子32变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学此时此时 中包含中包含 两行两行级子式相等；级子式相等；的和不包含的和不包含 行的那些行的那些 级子式与级子式与 中对应的中对应的中包含中包含 行但不包含行但不包含 行的行的 级级子式，按子式，按 行分成行分成 的一个的一个 级子式与另一个级子式与另一个级子式的级子式的 倍的和，倍的和，即为即为 的两个的两个 级子式级子式从而从而 的组合，的组合，因此因此 是是 的的 级子式的公因式，级子式的公因式，同理可得，同理可得，2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学此时 33变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学2）若若 矩阵矩阵 的标准形为的标准形为其中其中 为首为首1多项式，且多项式，且则则 的的 级行列式因子为级行列式因子为2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学2）若 34变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学证：证：与与 等价，等价，完全相同，则这个完全相同，则这个 级子式为零级子式为零.在在 中，若一个中，若一个 级子式包含的行、列指标不级子式包含的行、列指标不与与 有相的秩与行列式因子有相的秩与行列式因子.级子式级子式所以只需考虑由所以只需考虑由 行与行与 列组成的列组成的即即而这种而这种 级子式的最大公因式为级子式的最大公因式为所以，所以，的的 级行列式因子级行列式因子2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学证：35变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学证：设证：设 矩阵矩阵 的标准形为的标准形为 3）（定理（定理4）矩阵的标准形是唯一的矩阵的标准形是唯一的.其中其中 为首为首1多项式，且多项式，且2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学证：设 36变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学于是于是 即由即由 的行列式因子所唯一确定的行列式因子所唯一确定.由由2），），的的 级行列式因子为级行列式因子为4）秩为秩为 的的 矩阵的矩阵的 个行列式因子满足：个行列式因子满足：所以所以 的标准形唯一的标准形唯一.2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学于是 即37变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学1.定义定义：二、二、不变因子不变因子 矩阵矩阵 的标准形的标准形称为称为 的的不变因子不变因子.的主对角线上的非零元素的主对角线上的非零元素2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学1.定38变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学有相同的标准形，有相同的标准形，1)（定理定理5）矩阵矩阵 、等价等价、有相同的不变因子有相同的不变因子.证：必要性显然证：必要性显然.只证充分性只证充分性.2.有关结论有关结论所以所以 与与 等价等价.若若 与与 有相同的行列式因子，则有相同的行列式因子，则与与 也有相同的不变因子，也有相同的不变因子，、有相同的行列因子有相同的行列因子.从而从而 与与2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学有相同的39变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学则则 ，为一非零常数为一非零常数.的第的第n个行列式因子个行列式因子 证；若证；若 可逆，可逆，因子全部为因子全部为1，的标准形为单位矩阵的标准形为单位矩阵 ，即，即与与 等价等价.2）若若 的的 矩阵矩阵 可逆，则可逆，则 的不变的不变又又 的的n个行列式因子满足个行列式因子满足:2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学则 40变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学从而不变因子从而不变因子 所以，所以，的标准形为的标准形为 矩阵的乘积矩阵的乘积.注注：可逆可逆 与与 等价等价.3)（定理（定理6）可逆可逆 可表成一些初等可表成一些初等2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学从而不变41变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学证：证：可逆可逆 与与 等价等价存在初等矩阵存在初等矩阵使使存在一个存在一个 可逆矩阵可逆矩阵 与一个与一个 可逆可逆推论推论：两个：两个 的的 矩阵矩阵 、等价等价 矩阵矩阵 ，使，使 2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学证：42变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学例例、求、求 矩阵的不变因子矩阵的不变因子 2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学例、求 43变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学的非零二级子式为的非零二级子式为:解：解：1）的非零的非零1级子式为级子式为:2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学的非零二44变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学又又 所以，所以，的不变因子为的不变因子为：2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学又 所以45变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学2）又又 而而 的不变因子为的不变因子为 2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学2）又46变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子数学与应用数学练习：求练习：求 的不变因子的不变因子答案答案:2023/7/318.3 不变因子数学与应用数学练习：求47变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学8.4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件定理：定理：数字矩阵数字矩阵 相似相似 与等价与等价.2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学8.48变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学设设P为数域为数域 若有若有 ，则则A与与B相似相似.证：由证：由 得得 即即引理引理1：使使 A与与B相似相似.2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学设P为49变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学对任意对任意 及任意及任意 -矩阵矩阵使使 一定存在一定存在 -矩阵矩阵 及及 引理引理2：2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学对任意50变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学证：证：这里这里 且且 设设 i)若若 则令则令 ii）若若 设设 这里这里 为待定矩阵为待定矩阵.于是于是2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学证：这51变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学要使要使式成立，只需取式成立，只需取 即即 即可即可.同理可证同理可证.2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学要使52变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学设设 ，则，则A与与B相似相似 特征矩阵特征矩阵 与与 等价等价.定理：定理：证：证：若若A与与B相似，则存在可逆矩阵相似，则存在可逆矩阵T，于是于是 由定理由定理6之推论，得之推论，得与与 等价等价.使使2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学设 53变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学若若 与与 等价，等价，则存在可逆则存在可逆 矩阵矩阵 ，使，使 及及 ，使，使存在存在 矩阵矩阵由引理由引理2，对于，对于A，2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学若 54变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学由由，有，有 即，即，比较两端，得比较两端，得 2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学由，55变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学下证下证T可逆可逆.由由有，有，即即 比较两端，得比较两端，得 2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学下证T56变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学故故T可逆可逆.由引理由引理1，A与与B相似相似.于是于是 推论推论:设设 则则 相似相似 特征矩阵特征矩阵 与与 有相同的不变因子有相同的不变因子.证证:相似相似与与 等价等价.与与 有相同的不变因子有相同的不变因子.2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学故T可57变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学矩阵矩阵A的不变因子的不变因子.推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量.注：注：因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子定义为此线性变换的不变因子定义为此线性变换的不变因子.矩阵矩阵A的特征矩阵的特征矩阵 的不变因子也称为的不变因子也称为 对对 有秩有秩 从而，从而，A有有n个不变因子，这个不变因子，这n个个不变因子的乘积不变因子的乘积 等于等于 即，即，2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学矩阵A58变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学例例1.证明：下列三个矩阵彼此都不相似证明：下列三个矩阵彼此都不相似.证：证：的不变因子是：的不变因子是：的不变因子是：的不变因子是：的不变因子是：的不变因子是：2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学例1.59变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.48.4 矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似数学与应用数学故故 的不变因子各不相同的不变因子各不相同.彼此不相似彼此不相似.2023/7/318.4 矩阵的相似数学与应用数学故 60变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学一、一、初等因子的定义初等因子的定义二、二、初等因子与不变因子的关系初等因子与不变因子的关系8.5 初等因子初等因子三、三、初等因子的求法初等因子的求法2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学一、初等61变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）把矩阵把矩阵 的每个次数大于零的不变因子的每个次数大于零的不变因子称为称为A的初等因子的初等因子.分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一、一、初等因子的定义初等因子的定义2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学一次因式62变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学9个个 则则A的初等因子有的初等因子有7个，它们是个，它们是例例1、若、若12级复矩阵级复矩阵A的不变因子是的不变因子是:2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学9个 则63变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学 设设n级矩阵级矩阵A的不变因子为已知：的不变因子为已知：将将 分解成互不相同的一次因式分解成互不相同的一次因式二、二、初等因子与不变因子的关系初等因子与不变因子的关系的方幂的乘积的方幂的乘积:分析分析:2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学 设64变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学则其中对应于则其中对应于 的那些方幂的那些方幂:就是就是A的全部初等因子的全部初等因子.注意到不变因子注意到不变因子 满足满足从而有从而有因此有因此有,2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学则其中对65变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必出现在方次最高的必出现在 的分解式中，次高的必的分解式中，次高的必出现在出现在 的分解式中的分解式中.如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的唯一确定的.2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学即同一个66变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学 设级矩阵的全部初等因子为已知设级矩阵的全部初等因子为已知.在全部初等因子中，将同一个一次因式在全部初等因子中，将同一个一次因式 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初等因子的个数不足等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数个时，则在后面补上适当个数的的1，使其凑成，使其凑成n个，设所得排列为个，设所得排列为2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学 设67变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学于是令于是令则则就是就是A的不变因子的不变因子.2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学于是令则68变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学例例1、已知、已知3级矩阵级矩阵A的初等因子为：的初等因子为：求求A的不变因子的不变因子.解：作排列解：作排列得得A的不变因子为：的不变因子为：2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学例1、已69变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学结论结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；则它们就有相同的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有结论结论2、两个同级数字矩阵相似、两个同级数字矩阵相似可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.相同的不变因子相同的不变因子.它们有相同的初等因子它们有相同的初等因子.2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学结论1、70变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学1、(引理引理1)若多项式若多项式 都与都与 互素，则互素，则三、三、初等因子的求法初等因子的求法证：令证：令显然，显然，2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学1、(引71变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学由于由于故故 因而因而 另一方面，由于另一方面，由于可令可令其中其中又又由由又得又得2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学由于故 72变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学同理可得同理可得即即 故故2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学同理可得73变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学如果多项式如果多项式 都与都与 互素，互素，2、(引理引理2)设设则则 与与 等价等价.2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学如果多项74变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学证：首先，证：首先，从而从而 二阶行列式因子相同二阶行列式因子相同.其次，由引理其次，由引理1，有，有从而从而 的一阶行列式因子相同的一阶行列式因子相同.所以，所以，与与 等价等价.2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学证：首先75变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学3、(定理定理9)设设 将特征矩阵将特征矩阵 进行进行初等变换化成对角形初等变换化成对角形然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子的全部初等因子.2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学3、(定76变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学证：设证：设 经过初等变换化成对角形经过初等变换化成对角形其中其中 皆为首皆为首1多项式，多项式，将将 分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积:2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学证：设 77变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学下证，对于每个相同的一次因式的方幂下证，对于每个相同的一次因式的方幂在在 的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角矩阵矩阵 与与 等价等价.此时此时 就是就是 的的且所有不为且所有不为1的的 就是就是A的全部的全部初等因子初等因子.标准形，标准形，2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学下证，对78变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学为了方便起见，先对为了方便起见，先对 的方幂进行讨论的方幂进行讨论.于是于是 且每一个且每一个 都与都与 互素互素.如果相邻的一对指数如果相邻的一对指数 则在则在 中将中将 与与 对调位置，对调位置，而其余因式保持不动，而其余因式保持不动，令令由引理由引理22023/7/318.5 初等因子数学与应用数学为了方便79变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学与与 等价等价.2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学与 等价80变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初等因子初等因子初等因子数学与应用数学等价等价.然后对然后对 重复上述讨论重复上述讨论.从而从而 与对角矩阵与对角矩阵2023/7/318.5 初等因子数学与应用数学等价.81变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2024/4/302024/4/30 8.58.5 初等因子初