第六讲贝利相位ppt课件

Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 2011-4-25 第第 四四 讲讲 贝贝 利利 相相 位位 Berry Phase物理专业物理专业2008级级4/29/20241 2011-4-25 第 2 Dirac说说：“如果有人问，量子力学的主要特征如果有人问，量子力学的主要特征是什么？现在我倾向于说，量子力学的主要特征并是什么？现在我倾向于说，量子力学的主要特征并不是不对易代数，而是不是不对易代数，而是概率幅概率幅的存在。后者是全部的存在。后者是全部原子过程的基础。概率幅是与实验相联系的，但这原子过程的基础。概率幅是与实验相联系的，但这只是问题的一部分。概率幅的模方是我们能观测的只是问题的一部分。概率幅的模方是我们能观测的某种量，即实验者所观测到的概率。但除此以外，某种量，即实验者所观测到的概率。但除此以外，还有相位，它是模为还有相位，它是模为1的数，它的变化不影响模方。的数，它的变化不影响模方。但这个但这个相位相位是极其重要的，因为它是所有干涉现象是极其重要的，因为它是所有干涉现象的根源，其物理意义是极其隐晦难解的。的根源，其物理意义是极其隐晦难解的。”引引 言言 1984年贝利从理论上指出了一种新的相位年贝利从理论上指出了一种新的相位，即，即贝利相位贝利相位，随后得到了实验的证实随后得到了实验的证实。4/29/2024 Dirac说：“如果有人问，量子力学的主要特3一一、贝贝利利相相位位的的引引入入 设量子体系的哈密顿算符设量子体系的哈密顿算符 是一组参量是一组参量 的函数的函数而而 随时间作周期性变化随时间作周期性变化例如周期变化的磁场的矢势例如周期变化的磁场的矢势 可作为可作为 的周期变化在参量空间定义了一条闭合曲线的周期变化在参量空间定义了一条闭合曲线 （1）瞬时本征函数满足的正交归一化条件瞬时本征函数满足的正交归一化条件 若假定周期若假定周期 足够大，以致哈密顿算符随时间足够大，以致哈密顿算符随时间的变化很缓慢的变化很缓慢(此称为绝热变化过程此称为绝热变化过程)，致使系统在，致使系统在每一瞬间都是准静止的，于是对于某一瞬时每一瞬间都是准静止的，于是对于某一瞬时 ，瞬，瞬时定态薛定谔方程成立时定态薛定谔方程成立4/29/2024一、贝利相位的引入 设量子体系的哈密顿算符 是一组4（2）绝热条件下，瞬时本征波函数的含时薛定谔方程绝热条件下，瞬时本征波函数的含时薛定谔方程称为称为动力学相位动力学相位瞬时本征态瞬时本征态（3）其中其中（4）（5）用用 左乘上式，并利用（左乘上式，并利用（2）式，则）式，则有有（6）4/29/2024（2）绝热条件下，瞬时本征波函数的含时薛定谔方程称为动力学相5考虑一般含时薛定谔方程考虑一般含时薛定谔方程（7）可用可用 展展开，即开，即（8）（8）式代入（）式代入（7）式得）式得由（由（4）式）式（9）4/29/2024考虑一般含时薛定谔方程（7）可用 6左乘上式，可得左乘上式，可得在绝热近似条件下，利用（在绝热近似条件下，利用（6）式，上式可简化为）式，上式可简化为（10）（11）积分得到积分得到（12）其中初始条件其中初始条件式（式（2）对时间求导）对时间求导（13）即即（14）4/29/2024左乘上式，可得在绝热近似条件下，利用（6）式，上式可简化为（7可见（可见（12）式指数中被积函数为纯虚数，若记）式指数中被积函数为纯虚数，若记（15）则（则（12）式可写成）式可写成（16）于是，绝热近似下，方程（于是，绝热近似下，方程（7）的解（）的解（8）可写为）可写为由（由（15）式所给出的）式所给出的 称为称为贝利相位贝利相位，是实，是实的。的。二二、贝贝利利相相位位的的意意义义（17）式式1515）初看之下，初看之下，是绝对相因子，是绝对相因子，不不是可观测量，可观测量是可观测量，可观测量 中消去了中消去了 。但是。但是，1984年贝利指出，当年贝利指出，当（1515）式积分路径是式积分路径是 参数空间的闭合回路时，可观察到参数空间的闭合回路时，可观察到 的效果的效果，具有物理意义。具有物理意义。4/29/2024可见（12）式指数中被积函数为纯虚数，若记（15）则（12）8（18）当当（1515）式中积分路径是式中积分路径是 参数空间的闭合参数空间的闭合回路回路 时，时，引入引入 空间的空间的“矢势矢势”（19）于是，贝利相位可写成于是，贝利相位可写成（20）4/29/2024（18）当（15）式中积分路径是 参数空9其中其中（21）称为参数空间称为参数空间“磁场强度磁场强度”式（式（20）表明，贝利相位）表明，贝利相位 是参数空间是参数空间“磁场强度磁场强度”的磁通量的负值。与演化路径的几何的磁通量的负值。与演化路径的几何结构有关结构有关 因此，贝利相位又称为因此，贝利相位又称为几何相位几何相位。三三.参参数数空空间间“磁磁场场强强度度”的的计计算算为实数为实数为纯虚数为纯虚数4/29/2024其中（21）称为参数空间“磁场强度”式（20）表10两反平行矢两反平行矢量叉积为零量叉积为零（22）由瞬时定态薛定谔方程由瞬时定态薛定谔方程 取梯度取梯度用用 左乘上式左乘上式4/29/2024两反平行矢量叉积为零（22）由瞬时定态薛定谔方程 11（23）将（将（23）和（）和（24）代入（）代入（22）得）得（25）由（由（2）式取梯度有）式取梯度有（24）4/29/2024（23）将（23）和（24）代入（22）得（25）由（2）式12解：解：粒子磁矩为粒子磁矩为能量算符的本征方程能量算符的本征方程哈密顿量哈密顿量（1）即即（2）Ex.自旋自旋 的粒子在外磁场的粒子在外磁场 中运动，设粒子荷电为中运动，设粒子荷电为 ，试研究其，试研究其Berry相位。相位。4/29/2024解：粒子磁矩为能量算符的本征方程哈密顿量（1）即（2）Ex.13相应的能量久期方程为相应的能量久期方程为能量本征值：能量本征值：（3）（4）下面为了简化推导，我们假设下面为了简化推导，我们假设 沿沿 轴方向，轴方向，并设初态并设初态 瞬时本征态为瞬时本征态为 ，即自旋，即自旋与与 方向相反方向相反 。式中只有一项式中只有一项因而，在因而，在4/29/2024相应的能量久期方程为能量本征值：（3）（4）下面为了简14其中：其中：（5）4/29/2024其中：（5）7/31/202315（6）将此结果推广到一般的将此结果推广到一般的 ，则有，则有（7）同理当初态为同理当初态为 时，有时，有（8）贝利相位贝利相位将以上各结果代入（将以上各结果代入（5）式得）式得4/29/2024（6）将此结果推广到一般的 ，则有（7）同理当初态为16 是闭合曲线是闭合曲线 对参数空间原点对参数空间原点 所张立体角所张立体角.贝利指出上式表明在贝利指出上式表明在 处有处有强度为强度为 单位的单位的“磁单极磁单极”存在，这种奇异性存在，这种奇异性是由于能级的简并引起：是由于能级的简并引起：（9）式表示了贝利相位与曲线）式表示了贝利相位与曲线 所张立体角的所张立体角的关系，揭示出其几何性，故称贝利相位为几何相位。关系，揭示出其几何性，故称贝利相位为几何相位。（9）4/29/2024 是闭合曲线 对参数空间原