曲率半径[1]1

第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径一系大地测量教研室一系大地测量教研室一系大地测量教研室一系大地测量教研室椭球大地测量学椭球大地测量学 上节课内容回顾上节课内容回顾 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面基本几何元素及其相互关系椭球面基本几何元素及其相互关系辅助函数辅助函数O参考椭球参考椭球abNSWE上节课内容回顾上节课内容回顾 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径重要结论重要结论构成直角三角形构成直角三角形OBKPP P点的法线点的法线QNSWE椭球面上一点的法线，界于椭球面和短轴间的长度等于椭球面上一点的法线，界于椭球面和短轴间的长度等于N，在赤道面，在赤道面上侧的长度等于上侧的长度等于N（1-e2），在赤道面下侧的长度等于，在赤道面下侧的长度等于Ne2。本节课主要内容本节课主要内容 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径 任意方向法截线曲率半径。任意方向法截线曲率半径。子午圈和卯酉圈曲率半径。子午圈和卯酉圈曲率半径。曲率半径变化规律。曲率半径变化规律。平均曲率半径。平均曲率半径。一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径（Normal transversal curvature radius at random directions)1 1、法截面、法截线的概念、法截面、法截线的概念法截面：包含椭球面某点法线的平面（如平面法截面：包含椭球面某点法线的平面（如平面P P1 1PPPP2 2）。）。法截线：法截面与椭球面的交线，（如曲线法截线：法截面与椭球面的交线，（如曲线P P1 1PPPP2 2 ），是），是一平面曲线。一平面曲线。第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径3 3、基本思路、基本思路 2 2、法截线的作用、法截线的作用 YZXP2POP1BK椭球面方程椭球面方程一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)4 4、新坐标系、新坐标系P-xyzP-xyz的定义的定义 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径坐标原点：与坐标原点：与P P点重合；点重合；z z轴：与轴：与P P点法线点法线PKPK重合；重合；x x轴：为法截线轴：为法截线P P1 1PPPP2 2在在P P 点处的切线方向；点处的切线方向；y y轴：与轴：与P P点的法截面垂直，点的法截面垂直，使坐标系使坐标系P-xyzP-xyz成成右手系右手系OZYBP1XP2KPxyzP-xyz中法截面方程中法截面方程一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)5 5、求任意方向法截线曲率半径基本步骤、求任意方向法截线曲率半径基本步骤 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径求P-xyzP-xyz中的椭球面方程求任意方向法截线方程求任意方向法截线曲率半径OZYBP1XP2KPxyz一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推导、公式推导 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(1)(1)P-xyzP-xyz中的椭球面方程中的椭球面方程ZXYOXPZPBKPP P1 1P P2 2P P点坐标点坐标P点在O-XYZ中的坐标两坐标系原点的位置关系：一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推导、公式推导 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(1)(1)P-xyzP-xyz中的椭球面方程中的椭球面方程移轴：将原点O移至P点得坐标系P-XP-X Y Y Z ZZXYOBKP移轴移轴YZX一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推导、公式推导 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(1)(1)P-xyzP-xyz中的椭球面方程中的椭球面方程转轴：使两坐标系各轴重合 （两次转轴)第一次转轴：第一次转轴：P-XP-XY YZ Z绕绕Y Y顺时针旋转顺时针旋转(90(90+B)+B)，使，使Z Z轴与轴与P P 点的椭球面法线重合，点的椭球面法线重合，得坐标系得坐标系P-XP-XY YZ ZKZXOX”Z”Y”YP PBO第一次转轴第一次转轴90+B一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推导、公式推导 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(1)(1)P-xyzP-xyz中的椭球面方程中的椭球面方程KZXOX”Z”Y”YP PBO第一次转轴第一次转轴转换关系为一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推导、公式推导 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(1)(1)P-xyzP-xyz中的椭球面方程中的椭球面方程转轴：使两坐标系各轴重合（两次转轴)第二次转轴：第二次转轴：P-XYZ绕绕Z Z轴，顺时轴，顺时针旋转角针旋转角A A（A A为为P P点处法截线点处法截线方位角），得坐标系方位角），得坐标系P-xyzO第二次转轴第二次转轴X”KZ”Y”P PBOzxy yA一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推导、公式推导 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(1)(1)P-xyzP-xyz中的椭球面方程中的椭球面方程O第二次转轴第二次转轴X”KZ”Y”P PBOzxy yA转换关系为第二次转轴一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推导、公式推导 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(1)(1)P-xyzP-xyz中的椭球面方程中的椭球面方程O第二次转轴第二次转轴X”KZ”Y”P PBOzxy yA综合一次移轴和两次转轴得 两坐标系的关系一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推导、公式推导 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(1)(1)P-xyzP-xyz中的椭球面方程中的椭球面方程将P-xyz与O-XYZ的关系代入得 (2)(2)任意方向法截线方程任意方向法截线方程将法截面方程 y=0 代入上式得 一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推导、公式推导 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(3)(3)任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径平面曲线曲率半径公式平面曲线曲率半径公式根据高等数学，平面曲线z=f(x)上某点P处的曲率半径为Pzx一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径对法截线方程求二阶导数代入曲率半径公式可得公式说明 RA与L无关 RA与所在的纬度B、法截线方位角A有关 N为P点沿法线方向至椭球短轴的距离PK A为法截线方位角；e为第二偏心率6 6、公式推导、公式推导(3)(3)任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径一一.任意方向法截线曲率半径任意方向法截线曲率半径(Normal transversal curvature radius at random directions)第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径K任意方向任意方向法截线法截线卯酉圈卯酉圈A子午圈子午圈卯酉圈曲率半径PB子午圈曲率半径两个特殊方向的曲率半径两个特殊方向的曲率半径任意方向法截线 曲率半径二二.子午圈曲率半径子午圈曲率半径（Curvature radius of meridian）第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(1)形成(2)公式当A=0或180时，子午圈曲率半径，用M表示将A=0代入任意方向法截线曲率半径公式得二二.子午圈曲率半径子午圈曲率半径（Curvature radius of meridian）第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径化简具体表达式二二.子午圈曲率半径子午圈曲率半径（Curvature radius of meridian）第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(3)分析M的变化规律（M是B的增函数）BW、VM说明在赤道上，M小于赤道半径。逐渐减小M随纬度的升高而增大，其值介于a(1-e2)和c之间在极点处，M为极曲率半径c。三三.卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径（Curvature radius of vertical circle）第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(1)形成(2)公式 重要结论：重要结论：重要结论：重要结论：椭球面上某点的卯酉圈曲率半径，恰好等于 该点沿法线介于椭球面与短轴间的距离。当A=90或270时，卯酉圈曲率半径，用N表示将A=90代入任意方向法截线曲率半径公式得三三.卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径（Curvature radius of vertical circle）第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径化简具体表达式三三.卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径（Curvature radius of vertical circle）第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(3)分析N的变化规律（N是B的增函数）BW、VN说明在赤道上，卯酉圈是赤道，此时N为赤道半径逐渐减小N随纬度的升高而增大，其值介于a和c之间在极点处卯酉圈是子午圈曲率半径N为极曲率半径c四四.M、N与与RA的关系的关系（Relations of M、N and RA）第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(1)RA的最大值与最小值(2)RA随A的变化当当A=0（或（或A=180）时，）时，RA=M，最小值；，最小值；当当A=90（或（或A=270A=270）时，）时，RA=N，最大值，最大值当当A由由0趋于趋于90时，时，RA逐渐增大由逐渐增大由M趋于趋于N变化变化当当A由由90趋于趋于180时，时，RA逐渐减小由逐渐减小由N趋于趋于M变化变化RA随随A的变化是以的变化是以180为周期的，且对称于为周期的，且对称于M、N而变化而变化A180-A180+A360-A子子午午圈圈卯酉圈卯酉圈1432四四.M、N与与RA的关系的关系（Relations of M、N and RA）第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(3)M、N与RA的数学关系欧拉定理五.平均曲率半径（Average curvature radius）第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(1)意义(2)定义椭球面上一点所有方向法截线曲率半径的平均值。(3)方法用积分的方法。五.平均曲率半径（Average curvature radius）第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径(4)平均曲率半径公式 根据积分中值定理 由于RA随A变化的对称性，可仅在第一象限积分 积分得五.平均曲率半径（Average curvature radius）第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径三种曲率半径公式比较记忆MRN关系：六.本课小结（Brief summary）第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径任意方向法截线曲率半径三者关系平均曲率半径卯酉圈曲率半径子午圈曲率半径思考题 第四讲第四讲第四讲第四讲 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径根据子午圈曲率半径与卯酉圈曲率半径随纬度的变化规律，试画出子午圈曲率半径与卯酉圈曲率半径的端点随纬度变化的轨迹OKPNSWEK提示：提示：本节课到此结束本节课到此结束