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7.1.17.1.1无穷级数的概念无穷级数的概念1.1.无穷级数的定义无穷级数的定义设有数列设有数列 un:u1,u2,un,为一个无穷级数为一个无穷级数,简称为级数简称为级数.称称 un 为级数的一般项或通项为级数的一般项或通项.则称表达则称表达式式下列各式均为常数项级数下列各式均为常数项级数例例12.2.级数的敛散性定义级数的敛散性定义无穷级数无穷级数的前的前 n 项之和：项之和：称为级数的部分和称为级数的部分和.若若存在存在,则称级数则称级数收敛收敛.S 称为级数的和：称为级数的和：若不存在(包括为),发散.则称级数当级数收敛于S时，称为级数的余项，且有讨论等比级数讨论等比级数的敛散性的敛散性.等比级数的部分和为：等比级数的部分和为：当公比当公比|r|1 时,当公比 r=1时,Sn=a,n为奇数0,n为偶数当公比当公比|r|1 时时,等比级数收敛；等比级数收敛；当公比 r=1时,当公比当公比|r|1 时时,等比级数发散等比级数发散.综上所述,讨论级数的敛散性.解解例3而故即该级数收敛,其和为例7.1.3 讨论级数的敛散性.解解所以，级数发散。7.1.2 7.1.2 常数项级数的性质常数项级数的性质 有相同的敛散性有相同的敛散性,若若 c 0 为常数为常数,则则与与1.性质性质 1且有且有证证的部分和为的部分和为故同时收敛或同时发散,即与且有2.性质性质 2证证的部分和为：故即 级数收敛,且 因为等比级数所以级数例7问 题 一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？是发散的问 题 两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？不一定 但对收敛级数来说,它的和将改变.在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.3.性质性质 3证证设级数的部分和为 Sn,去掉级数的前面 m 项后得到的级数的部分和为由于 Sm 当 m 固定时为一常数,所以故 级数与级数级数仍然收敛,且其和不变.对收敛的级数加括号后所得到的新 在级数运算中,不能随意加上或去掉括 号,因为这样做可能改变级数的敛散性.4.性质性质 4问 题 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？不一定问 题 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？不一定问 题 如果加括号后的级数仍发散,原级数是否也发散？原级数也发散加括号可引起收敛,去括号可引起发散.级数收敛的必要条件若级数收敛,则必有定理证证设由于故该级数发散.解解例4证明调和级数是发散的证明调和级数是发散的:调和级数的部分和有：调和级数的部分和有：证证 例例7.1.47.1.4由数学归纳法,得 k=0,1,2,而故 不存在,即调和级数发散.
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