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测试信号分析与处理课程 第二章 连续时间信号分析 第一节周期信号分析第二节非周期信号的频域分析第三节周期信号的傅里叶变换第四节采样信号分析 介绍周期信号的分解和傅立叶级数，从频域来描述和分析连续时间信号。测试信号分析与处理课程 第二章 连续时间信号分析 第第一节 周期信号分析如何求解复杂信号作用于线性系统后的响应？由如何求解复杂信号作用于线性系统后的响应？由此分析，要解决什么样的关键问题？此分析，要解决什么样的关键问题？-信号分解。信号分解。信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信号的研究往往是在一个周期内进行。号的研究往往是在一个周期内进行。第一节 周期信号分析如何求解复杂信号作用于线性系统后的响应？第一节 周期信号分析一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在各基函数中的分量；各基函数中的分量；一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则是是正交函数集正交函数集 。从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在定义域里用某个正交函数集来表示。定义域里用某个正交函数集来表示。若此函数集不仅是若此函数集不仅是正交而且完备正交而且完备，则用他来表示，则用他来表示信号时将没有误差。信号时将没有误差。第一节 周期信号分析一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号第一节 周期信号分析（一）用完备正交实变函数集来分解信号函数f(t)与g(t)在区间 上正交的条件是例例2-12-1在 内，与 是正交的。两个函数是否正交，必须指明在什么区间内。第一节 周期信号分析（一）用完备正交实变函数集来分解信号第一节 周期信号分析（二）用完备正交复变函数集来分解信号复变函数集 ,r=1,2,.,n在区间 上是正交函数集的条件是例例2-2若 ，在 内，指数函数集 是正交函数集。证明：三角函数集三角函数集和指数函数集指数函数集是应用最广的完备正交集。第一节 周期信号分析（二）用完备正交复变函数集来分解信号第一节 周期信号分析一、三角函数形式的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数 用完备正交函数集对周期信号分解，即可得到周期信号的傅里叶展开式。进行傅立叶展开的周期函数进行傅立叶展开的周期函数f(t)f(t)必须满足必须满足狄里赫利狄里赫利（DirichletDirichlet）条件）条件，即即在周期 内，函数f(t)1）若有间断点存在，则间断点数目必须有限；2）极大值和极小值数目应该是有限个；3）应是绝对可积的，即 在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条件。第一节 周期信号分析一、三角函数形式的傅里叶级数 第一节 周期信号分析周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展开式其中，第一节 周期信号分析周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展结论：任何周期信号，可以分解为直流分量和无穷多个弦波分量的叠加。幅度谱相位谱周期信号幅度谱和相位谱的特点结论：第一节 周期信号分析例例2-3 2-3 周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间内的数学表达式为 第一节 周期信号分析例2-3 周期矩形脉冲信号，如图所示。他第一节 周期信号分析二、指数函数形式的傅里叶级数二、指数函数形式的傅里叶级数在在 内可以用指数函数集来表示周期信号内可以用指数函数集来表示周期信号f(t)f(t)。式中式中 第一节 周期信号分析二、指数函数形式的傅里叶级数第一节 周期信号分析例例2-4 2-4 周期对称方波如图所示。它在一个周期内的表达式为第一节 周期信号分析例2-4 周期对称方波如图所示。它在一个第一节 周期信号分析三、三、周期信号的功率谱周期信号的功率谱信号能量信号能量能量有限信号能量有限信号：平均功率：平均功率：功率有限信号：信号功率有限信号：信号f(t)f(t)在时间（在时间（-,+）上的平）上的平均功率均功率 0 F x(a t)for a 0F x(a t)That is ,如果 a=-1,有x(-t)X(-)3.尺度变换性质(Scaling Transform Pr 尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频谱函数的扩展与压缩。若要压缩信号持续时间，提高通信速率，则不得不以展宽频带作代价例如 尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频若 x(t)X()则其中“t0”为实常数。证明：F x(t t0)4.时移性质(Timeshifting Property)时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移 。若 x(t)X()则其中“t0”为实常数。证若 x(t)X()则证明：其中“0”为实常数。F e j0t x(t)=X(-0)end5.频移性质(Frequency Shifting Property)频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右移 单位，在时域就对应于其时间信号x(t)乘以 。若 x(t)X()则证明：其中“0”例1x(t)=ej3t X()=?Ans:1 2()ej3t 1 2(-3)例2x(t)=cos0t X()=?Ans:X()=(+0)+(-0)例1x(t)=ej3t X()=?Ans:例3Given that x(t)X()The modulated signal x(t)cos0t?Ans:例3Given that x(t)X()Th6.时域微分(Differentiation in time domain)证明：若 则 两边对t求导，得 所以 6.时域微分(Differentiation in timx(t)=1/t2?例1Ans:x(t)=1/t2?例1Ans:例 2Determine x(t)X()Ans:x”(t)=(t+2)2(t)+(t 2)X2()=F x”(t)=(j)2 X()=e j2 2+e j2=2cos(2)2 X()=例 2Determine x(t)X()Ans:7.卷积定理(Convolution Property)时域卷积（Convolution in time domain）：If x1(t)X1()，x2(t)X2()Then x1(t)*x2(t)X1()X2()频域卷积（Convolution in frequency domain）：If x1(t)X1()，x2(t)X2()Then x1(t)x2(t)X1()*X2()7.卷积定理(Convolution Property)证明：F x1(t)*x2(t)=利用时移性质，所以 F x1(t)*x2(t)=X1()X2()证明：F x1(t)*x2(t)=利用时移性质，所已知为矩形脉冲信号,求的傅里叶变换。根据时域卷积定理，有的傅里叶变换为门函数其实，y(t)是脉宽为2、脉高为的三角脉冲。例 1Ans:已知为矩形脉冲信号,求的傅里叶变换。根据时域卷积定理，有的傅例 2Ans:利用对偶性，例 2Ans:利用对偶性，例3调制解调例3调制解调第三节 周期信号的傅立叶变换周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个问题，我们可同样借助于复指数函数的傅里叶变换问题，我们可同样借助于复指数函数的傅里叶变换对。对。傅立叶级数展开式式中，两边傅立叶变换 第三节 周期信号的傅立叶变换周期信号是不满足绝对可积条件的，（1）周期信号的傅里叶变换是由冲激函数组成的冲激串。特点：（2 2）冲激串的频率间隔为1=2/T，冲激位于周期信 号的谐频处，冲激强度为Fn的2倍。Fn易求时F0(n1)易求时（1）周期信号的傅里叶变换是由冲激函数组成的冲激串。特点：（第三节 周期信号的傅立叶变换周期信号傅里叶变换所得到的是频谱密度函数，在这里它是冲激函数，它表示在无穷小频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱值，而不像傅里叶级数的相应系数所表示的是谐频分量的幅值。第三节 周期信号的傅立叶变换例2-5：周期为T的单位冲激周期函数T(t)=解：冲激周期函数的傅里叶系数例2-5：周期为T的单位冲激周期函数T(t)=解：冲激周周期信号如图，求其傅里叶变换。解：周期信号x(t)也可看作一时限非周期信号x0(t)的周期拓展。周期信号傅里叶级数的系数 周期信号如图，求其傅里叶变换。解：周期信号x(t)也可看作一第四节 采样信号分析 一、连续时间信号的采样过程 第四节 采样信号分析一、连续时间信号的采样过程 第四节 采样信号分析连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号 的频谱的频谱 的幅值将是连续时间信号频谱的幅值将是连续时间信号频谱 的的 倍，并倍，并 从开始，沿频率轴正、负方从开始，沿频率轴正、负方向，每隔一个采样频率向，每隔一个采样频率 重复一次。重复一次。第四节 采样信号分析连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号第四节 采样信号分析二、时域采样定理（香农采样定理）二、时域采样定理（香农采样定理）“频率混迭”现象 香农采样定理 要使采样信号的频谱不出现频率混迭就必须要求：连续时间信号必须是带限信号；采样器的采样频率必须满足 实际工程应用中，采样频率一般大于连续时间信号中最高频率的2倍，可选4倍10倍。第四节 采样信号分析二、时域采样定理（香农采样定理）第四节 采样信号分析三、采样信号的恢复三、采样信号的恢复 低通滤波器特性 采样信号频谱经过该理想滤波器后，就可以得到原连续时间信号的频谱。再由 恢复的连续时间信号 第四节 采样信号分析三、采样信号的恢复第四节 采样信号分析四、四、采样信号恢复的内插公式采样信号恢复的内插公式 第四节 采样信号分析四、采样信号恢复的内插公式第四节 采样信号分析采样内插公式特点：在采样点上，其函数值为1，而在其他采样点上函数值为零。用内插公式将采样信号恢复为连续时间信号虽然准确，但是却难以实现，因为在各点采样间的连续信号的值要靠无穷项求和得到。第四节 采样信号分析采样内插公式第四节 采样信号分析实际上，常用两种近似的内插方法来恢复原来的连续时间信号，这就是“零阶保持法”和“一阶保持法”。第四节 采样信号分析实际上，常用两种近似的内插方法来恢复原来
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