第五章 间接平差

绵阳师范学院 第五章第五章 间接平差间接平差绵阳师范学院 一、原理一、原理 选定选定t t个独立未知量作为参数，个独立未知量作为参数，将每个观测值分别表达成这将每个观测值分别表达成这t t个参数的函个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，求自由极值的方法解出参数的最或然值，进而求得各观测值的平差值。进而求得各观测值的平差值。间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 以确定三角形形状为例，观测了 的内角L1、L2、L3，以L1、L2为参数，建立如下的函数模型：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 将观测值的平差值以观测值和改正数的形式代入，即令得观测值方程：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 经移项变换可以得到：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 将平差参数以近似值及改正数的形式代入，即令得误差方程：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 根据最小二乘准则，要求：即：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 按数学上求函数自由极值的方法，即 间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 最后得到角度观测值的平差值为：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 一般地：有n个观测值间接平差的函数模型：对参数取近似值，令：误差方程的形式为：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 间接平差的随机模型为：平差的准则为：间接平差就是在最小二乘准则下求出误差方程中的待定参数 ，在数学中是求多元函数的极值问题。间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 设有n个观测值 ，必要观测个数为t，选定t个独立参数 ，近似值取为 ，得到观测值方程：令：得：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 将观测值以近似值及改正数的形式代入，即：并且令：则得到误差方程为：在最小二乘原则要求下，即：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 按数学上求函数自由极值的方法，即对自变量x求导，令一阶导数为0，得：转置后得：由于以下两式中的待求量是n个V和t个 ，而方程个数也是n+t个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 将基础方程第一式代入第二式，得：令：则有：上式称间接平差的法方程，其解为：或 间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 将求出的 代入误差方程，即可求得改正数V，从而平差结果为：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 二、按间接平差法求平差值的计算步骤：二、按间接平差法求平差值的计算步骤：1 1根据平差问题的性质，选择根据平差问题的性质，选择t t个独立量作为参数；个独立量作为参数；2 2将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，列出误差方程，若函数为非线性，则要将其线性数，列出误差方程，若函数为非线性，则要将其线性化；化；3 3由误差方程系数由误差方程系数B B和常数阵和常数阵 l l 组成法方程；组成法方程；4 4解算法方程，求出参数的改正数，并计算参数的平解算法方程，求出参数的改正数，并计算参数的平差值；差值；5 5由误差方程计算由误差方程计算V V，并计算出观测量的平差值。，并计算出观测量的平差值。间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 平差的关键：函数模型的建立。平差的关键：函数模型的建立。一、参数的确定：一、参数的确定：间接平差中，待定参数间接平差中，待定参数X X的个数必须等的个数必须等于必要观测的个数于必要观测的个数t t，而且要求这，而且要求这t t个参数个参数必须是函数独立的。必须是函数独立的。1 1、参数个数的确定：、参数个数的确定：2 2、参数的选择：、参数的选择：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 参数的选取参数的选取高程控制网：待定点的高程平面控制网：待定点的二维坐标三维控制网：待定点的三维坐标 间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 例：如下图所示水准网中，已知A、B、C三点高程值分别为1m、1.5m、2m，h1-h4四段观测高差分别为1.003m、0.501m、0.503m、0.505m，四段水准路线长度分别为0.5km、1km、1km、0.5km，求P1、P2两点高程平差值。间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 1.1.根据平差问题的性质，选择根据平差问题的性质，选择t t个独立个独立量作为参数；量作为参数；根据水准网参数的选择方法，以待求点高程根据水准网参数的选择方法，以待求点高程值为参数，则本例中选择值为参数，则本例中选择P1P1、P2P2两点高程值两点高程值为平差参数，分别设其高程值为为平差参数，分别设其高程值为 、。间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 2.2.将每一个观测量的平差值分别表达成将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，列出误差方程所选参数的函数，列出误差方程2.1 2.1 函数模型函数模型 间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 2.2 2.2 将函数模型中观测值平差值以观测将函数模型中观测值平差值以观测值及改正数的形式代入，得观测值方程：值及改正数的形式代入，得观测值方程：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 2.3 2.3 计算参数的近似值，将参数以近似计算参数的近似值，将参数以近似值及改正数的形式代入。值及改正数的形式代入。近似值用近似值带入后，得误差方程为：常数项单位为mm 间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 将误差方程写为矩阵形式为：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 3.3.由误差方程系数由误差方程系数B B和常数阵和常数阵 l l 组成法方程组成法方程3.13.1观测高差权值的确定，取观测高差权值的确定，取1km1km观测高差为单位权观测观测高差为单位权观测得到观测值的权阵：得到观测值的权阵：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 3.2 3.2 组成法方程组成法方程得法方程：得法方程：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 4.4.解算法方程，求出参数的改正数，并解算法方程，求出参数的改正数，并计算参数的平差值；计算参数的平差值；解法方程：求改正数：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 参数平差值：间接平差原理间接平差原理绵阳师范学院 误差方程误差方程 本节介绍间接平差函数模型的建立本节介绍间接平差函数模型的建立方法，即误差方程的组成。方法，即误差方程的组成。误差方程个数等于观测值的个数误差方程个数等于观测值的个数n；所设参数的个数必须等于必要观测所设参数的个数必须等于必要观测的个数的个数t；t个参数必须是独立的，即所选参数个参数必须是独立的，即所选参数之间不存在函数关系。之间不存在函数关系。概述：概述：绵阳师范学院 误差方程误差方程主要内容：主要内容：本节介绍几种间接平差的函数模型，本节介绍几种间接平差的函数模型，这些模型都是以方向、角度和边长为观这些模型都是以方向、角度和边长为观测值的平差模型。测值的平差模型。绵阳师范学院 1、水准路线的误差方程、水准路线的误差方程ijXiXjhij当i点已知时：当j点已知时：误差方程误差方程绵阳师范学院 误差方程误差方程2、方向的误差方程、方向的误差方程设j、k的坐标为未知参数：零方向的方位角 （测站定向角)N零方向jkljk的方位角为：绵阳师范学院 误差方程误差方程方向观测的观测值方程：方向观测的误差方程：此时，函数模型非线性形式，所以要对其进行线性化。绵阳师范学院 误差方程误差方程对上式在初始近似值 、处进行台劳级数展开，略去二次以及二次以上项：绵阳师范学院 误差方程误差方程绵阳师范学院 误差方程误差方程绵阳师范学院 误差方程误差方程绵阳师范学院 误差方程误差方程绵阳师范学院 误差方程误差方程绵阳师范学院 误差方程误差方程 整理后得误差方程：整理后得误差方程：绵阳师范学院 当j点已知时：误差方程误差方程绵阳师范学院 当k点已知时：绵阳师范学院 3、距离的误差方程jk设j、k的坐标为未知参数：jk的距离为：误差方程误差方程绵阳师范学院 为非线性函数，要进行线性化。对上式在初始近似值 、处进行台劳级数展开，略去二次以及二次以上项：绵阳师范学院 绵阳师范学院 绵阳师范学院 绵阳师范学院 当j点已知时：当k点已知时：绵阳师范学院 精度评定精度评定 一、单位权中误差 单位权方差单位权方差 的估值的估值:中误差估值中误差估值:绵阳师范学院 协协因数阵因数阵设设 ，则，则Z Z的协因数阵为的协因数阵为式式中中,对角线上子矩阵，就是各基本向量的自对角线上子矩阵，就是各基本向量的自协因数阵，非对角线上为两向量的互协因数协因数阵，非对角线上为两向量的互协因数阵。阵。精度评定精度评定绵阳师范学院 按协因数传播律得出：按协因数传播律得出：绵阳师范学院 绵阳师范学院 间接平差的协因数公式间接平差的协因数公式L V L Q 0V 000 由表可知，平差值由表可知，平差值 与改正数与改正数V V的互协因数阵为的互协因数阵为零，说明零，说明 ，统计不相关。统计不相关。绵阳师范学院 误差方程误差方程图中，图中，A A、B B、C C为已知点，今在其间加测一点为已知点，今在其间加测一点P P，其近，其近似坐标为似坐标为 （单位：（单位：m m）起算）起算数据和观测值如下，列出全部观测值的误差方程。数据和观测值如下，列出全部观测值的误差方程。