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专题3天体运动的常见模型考点一双星及多星模型1.模型特征(1)多星系统的条件:各星彼此相距较近,离其他星体很远(忽略其他星体的影响);各星绕同一圆心做匀速圆周运动。(2)双星及多星模型示例类型双星模型三星模型四星模型结构图向心力来源两星之间的万有引力提供各星做匀速圆周运动的向心力,故两星的向心力大小相等每颗星运行所需的向心力都由其余星对其的万有引力的合力提供运动参量各星转动的周期、角速度相等2.解题思路例(多选)(2018课标,20,6分)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星() A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度答案BC本题考查万有引力定律的应用等知识。双星系统由彼此间万有引力提供向心力,得Gm1m2L2=m112r1,Gm1m2L2=m222r2,且T=2,两颗星的周期及角速度相同,即T1=T2=T,1=2=,两颗星的轨道半径r1+r2=L,解得m1m2=r2r1,m1+m2=42L3GT2,因为r2r1未知,故m1与m2之积不能求出,则选项A错误,B正确。各自的自转角速度不可求,选项D错误。速率之和v1+v2=r1+r2=L,故C项正确。考向1宇宙双星模型1.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示,某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动,它们的轨道半径之比rArB=12,则两颗天体的()A.质量之比mAmB=21B.角速度之比AB=12C.线速度大小之比vAvB=21D.向心力大小之比FAFB=21答案AA、B绕O点做匀速圆周运动,它们的角速度相等、周期相等,两者之间的万有引力提供向心力,F=mA2rA=mB2rB,所以mAmB=21,选项A正确,B、D错误;由v=r可知,线速度大小之比vAvB=12,选项C错误。考向2宇宙三星模型2.(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图):一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M,并设两种系统的运动周期相同,引力常量为G,则()A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B.直线三星系统的运动周期T=4RR5GMC.三角形三星系统中星体间的距离L=3125RD.三角形三星系统的线速度大小为125GMR答案BC直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同,方向相反,选项A错误;对直线三星系统由牛顿第二定律有GM2R2+GM2(2R)2=M42T2R,解得T=4RR5GM,选项B正确;对三角形三星系统由牛顿第二定律得2GM2L2 cos 30=M42T2L2cos30,解得L=3125R,选项C正确;三角形三星系统的线速度大小为v=2rT=2L2cos30T=3631255GMR,选项D错误。考向3宇宙四星模型3.(2019湖南湖北八市二调)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m,半径均为R,四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于四星系统,下列说法错误的是(忽略星体自转)()A.四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B.四颗星的轨道半径均为a2C.四颗星表面的重力加速度均为GmR2D.四颗星的周期均为2a2a(4+2)Gm答案B任一星体在其他三个星体的万有引力作用下,围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,故A正确;四颗星的轨道半径r=22a,故B错误;根据万有引力等于重力有GmmR2=mg,则g=GmR2,故C正确;根据万有引力提供向心力有Gm2(2a)2+2Gm2a2 cos 45=m22a2T2,解得T=2a2a(4+2)Gm,故D正确。考点二“黑洞”模型暗物质和黑洞是当前宇宙探测的热点,对于暗物质和黑洞的相关问题,可以依据万有引力定律和天体运动规律进行解答。1.(2019吉林长春四模)北京时间2019年4月10日21点整,全球六地(比利时布鲁塞尔、智利圣地亚哥、中国上海和台北、日本东京和美国华盛顿)同步召开全球新闻发布会。“事件视界望远镜”(Event Horizon Telescope)发布了位于超巨椭圆星系M87星系中心的黑洞照片,引起了全球对黑洞的关注。若宇宙中有一半径约45 km的黑洞,其质量M和半径R的关系满足2GM=c2R(其中G为引力常量;c为光速,大小为3108 m/s),则该黑洞表面重力加速度的数量级为() A.108 m/s2B.1010 m/s2C.1012 m/s2D.1014 m/s2答案C黑洞实际为一天体,天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力,对黑洞表面的某一质量为m物体有GMmR2=mg,又有MR=c22G,联立解得g=c22R,代入数据得重力加速度的数量级为1012 m/s2,故C正确,A、B、D错误。2.(多选)(2019湖南长沙期末)暗物质是二十一世纪物理学之谜,对该问题的研究可能带来一场物理学的革命。为了探测暗物质,我国在2015年12月17日成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星。已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动,经过时间t(t小于其运动周期),运动的弧长为s,与地球中心连线扫过的角度为(弧度),引力常量为G,则下列说法中正确的是()A.“悟空”的线速度大于第一宇宙速度B.“悟空”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度C.“悟空”的环绕周期为2tD.“悟空”的质量为s3Gt2答案BC“悟空”的线速度小于第一宇宙速度,A错误。向心加速度a=GMr2,因r悟空a同,B正确。由=t=2T,得“悟空”的环绕周期T=2t,C项正确。由题给条件不能求出“悟空”的质量,D错误。A组基础过关1.(2019河北冀州月考)双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两颗星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两颗星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两颗星总质量变为原来的k倍,两颗星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为()A.n3k2TB.n3kTC.n2kTD.nkT1.答案B双星系统中两恒星的位置如图所示,设两恒星的质量分别为M1和M2,轨道半径分别为r1和r2。根据两恒星间的万有引力提供它们做匀速圆周运动的向心力,可得GM1M2r2=M12T2r1=M22T2r2,解得G(M1+M2)r2=2T2(r1+r2),即GM总r3=2T2,当两星的总质量变为原来的k倍,它们之间的距离变为原来的n倍时,有GkM总(nr)3=2T2,联立两式可得T=n3kT,故B项正确。2.2016年2月11日,科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号,这是在爱因斯坦提出引力波概念100周年后,引力波被首次直接观测到。在两个黑洞合并过程中,由于彼此间的强大引力作用,会形成短时间的双星系统。如图所示,黑洞A、B可视为质点,它们围绕连线上O点做匀速圆周运动,且AO大于BO,不考虑其他天体的影响。下列说法正确的是()A.黑洞A的向心力大于B的向心力B.黑洞A的线速度大于B的线速度C.黑洞A的质量大于B的质量D.两黑洞之间的距离越大,A的周期越小2.答案B双星靠相互间的万有引力提供向心力,根据牛顿第三定律可知,A对B的作用力与B对A的作用力大小相等,方向相反,则黑洞A的向心力等于B的向心力,故A错误;双星具有相同的角速度,由题可知A的半径比较大,根据v=r可知,黑洞A的线速度大于B的线速度,故B正确;在匀速转动时的向心力大小关系为mA2rA=mB2rB,由于A的半径比较大,所以A的质量小,故C错误;由mA2rA=mB2rB,rA+rB=L,得rA=mBLmA+mB,L为二者之间的距离,双星靠相互间的万有引力提供向心力,所以得GmAmBL2=mA42T2mBLmA+mB,即T2=42L3G(mA+mB),则两黑洞之间的距离越小,A的周期越小,故D错误。3.如图,拉格朗日点L1位于地球和月球连线上,处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下,可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此,科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站,使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小,a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是()A.a2a3a1B.a2a1a3C.a3a1a2D.a3a2a13.答案D地球同步卫星受月球引力可以忽略不计,表明地球同步卫星距离月球要比空间站距离月球更远,则地球同步卫星轨道半径r3、空间站轨道半径r1、月球轨道半径r2之间的关系为r2r1r3,由GMmr2=ma知,a3=GMr32,a2=GMr22,所以a3a2;由题意知空间站与月球周期相等,由ma=m2T2r知,a1=2T2r1,a2=2T2r2,所以a2a1。因此a3a2a1,D正确。4.(2019重庆西南名校联盟)2019年2月14日,中国科学技术大学潘建伟教授领衔的“墨子号”量子科学实验卫星科研团队被授予“2018年度克利夫兰奖”,以表彰该团队实现千公里级的星地双向量子纠缠分发。已知“墨子号”卫星最后定轨在离地面500 km的圆轨道上,地球的半径为6 400 km,同步卫星距离地面的高度约为36 000 km,G=6.6710-11 Nm2/kg2,地球表面的重力加速度g=9.8 m/s2,忽略地球自转。下列说法正确的是()A.“墨子号”卫星的线速度小于地球同步通信卫星的线速度B.“墨子号”卫星的向心加速度与地面的重力加速度相同C.由以上数据不能算出地球的质量D.由以上数据可以算出“墨子号”环绕地球运行的线速度大小4.答案D根据v=GMr可知,“墨子号”卫星的线速度大于地球同步通信卫星的线速度,故A错误;根据a=GMr2可知“墨子号”卫星的向心加速度小于地面的重力加速度,故B错误;根据GMmr2=m2T2r,知道同步卫星的周期T=24 h、半径r=h+R,可求解地球的质量,故C错误;根据v=GMr,由C可知可算得地球的质量M,又“墨子号”卫星的轨道半径r=R+h,可求解“墨子号”环绕地球运行的线速度大小,故D正确。5.两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是()A.质量大的天体线速度较大B.质量小的天体角速度较大C.两个天体的向心力大小相等D.若在圆心处放一个质点,它受到的合力为零5.答案C双星系统做匀速圆周运动的角速度相等,选项B错误。两个天体之间的万有引力提供向心力,所以两个天体的向心力大小相等,选项C正确。由万有引力定律及牛顿运动定律得Gm1m2L2=m12r1=m22r2,其中r1+r2=L,故r1=m2m1+m2L,r2=m1m1+m2L,则v1v2=r1r2=m2m1,故质量大的天体线速度小,故A错误。若在圆心处放一个质量为m的质点,质量为m1的天体对它的万有引力F1=Gmm1r12,质量为m2的天体对它的万有引力F2=Gmm2r22,由A项分析知m1r1=m2r2,则F2=Gmm1r1r23,显然,F2F1,即圆心处放的质点受到的合力不为零,选项D错误。6.(2019湖南岳阳模拟)近日,顶级权威杂志自然刊发了中国科学院院士罗俊团队的最新科研成果,该团队历时30年,将G值的测量精度提高到了12 ppm(1 ppm=百万分之一),是目前世界最为精确的G值。设最新的G值是原来G值的k倍,下列说法正确的是()A.根据新G值和月球绕地球公转的半径r和周期T计算的地球质量M是原来的1kB.根据新G值、选项A中的M值和极地g值计算的地球半径R是原来的1kC.根据新G值和选项A中的M值计算的地球同步卫星的轨道半径是原来的k倍D.根据选项B中的R值和极地g值计算的地球第一宇宙速度是原来的k倍6.答案A月球绕地球运动,根据万有引力提供向心力得GMm1r2=m142T2r,M=42r3GT2,最新的G值是原来G值的k倍,根据新G值和月球绕地球公转的半径r和周期T计算的地球质量M将是原来的1k,故A正确;根据在地球表面附近万有引力等于重力得GMm2R2=m2g,R=GMg,所以根据新G值选项A中的M值和极地g值计算的地球半径不变,故B错误;根据万有引力提供卫星向心力得GMm3r2=m342T2r,r=3GMT242,所以根据新G值和选项A中的M值计算的地球同步卫星的轨道半径不变,故C错误;地球第一宇宙速度v=GMR=gR,所以根据选项B中R值和极地g值计算的地球第一宇宙速度不变,故D错误。7.(多选)2018年5月25日21时46分,探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继卫星成功实施近月制动,进入月球至地月拉格朗日L2点的转移轨道。当“鹊桥号”位于拉格朗日点(如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示,人们称为地月系统拉格朗日点)上时,会在月球与地球的共同引力作用下,几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动,下列说法正确的是(月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期)()A.“鹊桥号”位于L2点时,其绕地球运动的周期和月球的自转周期相等B.“鹊桥号”位于L2点时,其绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度C.L3和L2到地球中心的距离相等D.“鹊桥号”在L2点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大7.答案ABD“鹊桥号”位于L2点时,由于“鹊桥号”与月球同步绕地球做圆周运动,所以“鹊桥号”绕地球运动的周期和月球绕地球运动的周期相等,又月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期,故选项A正确;“鹊桥号”位于L2点时,由于“鹊桥号”与月球绕地球做圆周运动的周期相同,“鹊桥号”的轨道半径大,根据公式a=42T2r分析可知,“鹊桥号”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度,故选项B正确;如果L3和L2到地球中心的距离相等,则“鹊桥号”在L2点受到月球与地球引力的合力更大,加速度更大,所以周期更短,故L2到地球中心的距离大于L3到地球中心的距离,选项C错误;在5个点中,L2点离地球最远,所以在L2点“鹊桥号”所受合力最大,故选项D正确。8.北斗导航系统又被称为“双星定位系统”,具有导航、定位等功能。如图所示,北斗导航系统中的两颗工作卫星均绕地心做匀速圆周运动,且轨道半径均为r,某时刻工作卫星1、2分别位于轨道上的A、B两个位置,若两卫星均沿顺时针方向运行,地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,不计卫星间的相互作用力,下列判断错误的是()A.这两颗卫星的加速度大小相等,均为R2gr2B.卫星1由A位置运动到B位置所需的时间是r3RrgC.卫星1由A位置运动到B位置的过程中万有引力不做功D.卫星1向后喷气就一定能够追上卫星28.答案D根据F合=ma,对卫星有GMmr2=ma,可得a=GMr2,取地面一物体有GMmR2=mg,联立解得a=R2gr2,故A正确;根据GMmr2=m2T2r,得T=42r3GM,又t=16T,联立解得t=r3Rrg,故B正确;卫星1由位置A运动到位置B的过程中,由于万有引力方向始终与速度方向垂直,故万有引力不做功,C正确;若卫星1向后喷气,则其速度会增大,卫星1将做离心运动,所以卫星1不可能追上卫星2,D错误。9.(多选)宇宙中有这样一种三星系统,系统由两个质量为m的小星体和一个质量为M的大星体组成,两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行,轨道半径为r。关于该三星系统的说法正确的是()A.在稳定运行的情况下,大星体提供两小星体做圆周运动的向心力B.在稳定运行的情况下,大星体应在小星体轨道中心,两小星体在大星体相对的两侧C.小星体运行的周期为T=4r32G(4M+m)D.大星体运行的周期为T=4r32G(4M+m)9.答案BC在稳定运行的情况下,对某一个环绕星体而言,受到其他两个星体的万有引力,两个万有引力的合力提供环绕星体做圆周运动的向心力,选项A错误;在稳定运行的情况下,大星体应在小星体轨道中心,两小星体在大星体相对的两侧,选项B正确;对某一个小星体有GMmr2+Gmm(2r)2=42rmT2,解得小星体运行的周期T=4r32G(4M+m),选项C正确;大星体相对静止,选项D错误。10.(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用,三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星做圆周运动,如图甲所示;另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m,且两种系统中各星间的距离已在图中标出,引力常量为G,则下列说法中正确的是()A.直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为GmLB.直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4L35GmC.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2L33GmD.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为3GmL210.答案BD在直线三星系统中,星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供,根据万有引力定律和牛顿第二定律,有GmmL2+Gmm(2L)2=mv2L,解得v=125GmL,A项错误;由周期T=2rv知,直线三星系统中星体做圆周运动的周期T=4L35Gm,B项正确。同理,对三角形三星系统中做圆周运动的星体,有2GmmL2 cos 30=m2L2cos30,解得=3GmL3,C项错误;由2GmmL2 cos 30=ma得a=3GmL2,D项正确。B组能力提升11.双星系统中两个星体A、B的质量都是m,相距L,它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0,且TT0=k(k1),于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星体C的影响,并认为C位于A、B的连线正中间,相对A、B静止,则A、B组成的双星系统周期理论值T0及C的质量分别为()A.2L32Gm,1+k24kmB.2L32Gm,1-k24kmC.22GmL3,1+k24kmD.2L32Gm,1-k24k2m11.答案D由题意知,A、B的运动周期相同,设轨道半径分别为r1、r2,对A有GmmL2=m2T02r1,对B有GmmL2=m2T02r2,且r1+r2=L,解得T0=2L32Gm;有C存在时,设C的质量为M,A、B与C之间的距离r1=r2=L2,则GmmL2+GMmr12=m2T2r1,Gm2L2+GMmr22=m2T2r2,解得T=2L32G(m+4M),TT0=mm+4M=k,得M=1-k24k2m。故D正确。12.(多选)(2019湖南怀化三模)2018年6月14日11时06分,探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星成为世界首颗成功进入地月拉格朗日L2点的Halo使命轨道的卫星,为地月信息联通搭建“天桥”。如图所示,该L2点位于地球与月球连线的延长线上,“鹊桥号”位于该点,在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动。已知地球、月球和“鹊桥”的质量分别为Me、Mm、m,地球和月球之间的距离为R,L2点离月球的距离为x,则()A.“鹊桥号”的线速度大于月球的线速度B.“鹊桥号”的向心加速度小于月球的向心加速度C.x满足Me(R+x)2+Mmx2=MeR3(R+x)D.x满足Me(R+x)2+Mmx2=mR3(R+x)12.答案AC线速度v=R,“鹊桥号”绕地球转动的半径比月球绕地球的半径大,“鹊桥号”同步绕地球做圆周运动,角速度相等,“鹊桥号”绕地球转动的线速度比月球绕地球转动的线速度大,故A正确;a=2R,“鹊桥号”绕地球转动的半径比月球绕地球的半径大,“鹊桥号”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度大,故B错误;“鹊桥号”的向心力由月球和地球引力的合力提供,则有GMem(R+x)2+GMmmx2=m2(R+x),对月球而言则有GMeMmR2=Mm2R,联立可解得Me(R+x)2+Mmx2=MeR3(R+x),故C正确,D错误。
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