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第 八 章多元函数 n1.1.空间解析几何简介；空间解析几何简介；n2.2.多元函数的微分学；多元函数的微分学；n3.3.多元函数积分学多元函数积分学.4/13/20243 8.1 空间解析几何简介主要内容n1.1.空间直角坐标系；空间直角坐标系；n2.2.空间两点之间的距离公式；空间两点之间的距离公式；n3.3.曲面与方程；曲面与方程；n4.4.空间曲线与方程；空间曲线与方程；n5.5.空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影.正方向符合右手系正方向符合右手系.空间的点空间的点有序数组有序数组相同的长度单位相同的长度单位;相同的原点相同的原点;特殊点的坐标表示特殊点的坐标表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点三个坐标轴三个坐标轴两两垂直两两垂直;一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地特殊地,若两点分别为若两点分别为二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离解解:故结论成立故结论成立.解：解：设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为三、空间曲面与方程三、空间曲面与方程 曲面方程的定义：曲面方程的定义：两个基本问题两个基本问题:(1)已知曲面求方程已知曲面求方程;(2)已知方程求曲面已知方程求曲面.步骤：立标步骤：立标,立式立式,代入代入,化简化简,验证验证.根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解：解：例例3 3例例4 4解：解：平面的一般方程平面的一般方程几种常几种常见曲面见曲面1.平面平面 平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.例例5 5解：解：平面重合于平面重合于 坐标面；坐标面；解：解：根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2.球面球面 例例6 6 求球心为点求球心为点 ,半径为半径为R的球面方程的球面方程.球面的标准方程球面的标准方程球面的一般方程球面的一般方程空间中，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫球面空间中，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫球面.3.柱面柱面 观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:空间中，由平行于定直线且与一条定曲线相交的一族空间中，由平行于定直线且与一条定曲线相交的一族直线所生成的曲面称为直线所生成的曲面称为柱面柱面.定曲线叫柱面的定曲线叫柱面的准线准线，一族直线中的每一条都叫柱面的，一族直线中的每一条都叫柱面的母线母线.母线母线准准线线母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程可以证明：在空间直角坐标系下可以证明：在空间直角坐标系下 椭圆柱面椭圆柱面xyzO双曲柱面双曲柱面抛物柱面抛物柱面.旋转曲面旋转曲面 空间中，一条曲线绕着一条定直线旋转一周所产生的曲面空间中，一条曲线绕着一条定直线旋转一周所产生的曲面称为称为旋转曲面旋转曲面或称或称回旋曲面回旋曲面.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的旋转轴旋转轴 这条曲线叫旋转曲面的这条曲线叫旋转曲面的母线母线例如：例如：yoz面上的一条面上的一条曲线曲线C绕绕z轴轴旋转一周旋转一周得一旋转曲面得一旋转曲面S（如图）（如图）求该求该旋转曲面的方程旋转曲面的方程 Cy zoxf(y1,z1)=0M(x,y,z)SNzP SM(x,y,z)(在坐标面内的方程在坐标面内的方程)对于其它坐标面的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，对于其它坐标面的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其方程可以类似的求出。其方程可以类似的求出。于是有以下规律：于是有以下规律：当坐标平面内的曲线绕此坐标平面内的一个坐标轴旋转时，当坐标平面内的曲线绕此坐标平面内的一个坐标轴旋转时，为了求得这样的旋转曲面的方程为了求得这样的旋转曲面的方程,只要将曲线在坐标面内的方程只要将曲线在坐标面内的方程保留和旋转轴同名的坐标保留和旋转轴同名的坐标,而以其它两个坐标平方和的平方根来而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一个坐标代替方程中的另一个坐标.例例7 7 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的 方程方程旋转抛物面旋转抛物面xyzoxyzo旋旋转转椭椭球球面面xyzxyz双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面yzoxyzox xyoz xyoz单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面5.二次曲面二次曲面 截痕法截痕法用用z=h截曲面截曲面用用y=m截曲面截曲面用用x=n截曲面截曲面abcyx zo（1 1）椭球面）椭球面（2 2）椭圆抛物面）椭圆抛物面xzy0.截痕法截痕法xzy0（）双曲抛物面（马鞍面）（）双曲抛物面（马鞍面）截痕法截痕法.xzy0（）双曲抛物面（马鞍面）（）双曲抛物面（马鞍面）截痕法截痕法.xzy0（）双曲抛物面（马鞍面）（）双曲抛物面（马鞍面）截痕法截痕法xyzo（）单叶双曲面（）单叶双曲面截痕法截痕法 xyoz（）双叶双曲面（）双叶双曲面截痕法截痕法xyoz四、空间曲线与方程四、空间曲线与方程 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个不在曲线上的点不能同时满足两个方程方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：1.1.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程例例 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解：解：表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，表示圆柱面和平面的交线表示圆柱面和平面的交线-椭圆椭圆.解解:上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.例例9 9 方程组方程组表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？2.2.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出发，点出发，经过经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t t为参数，为参数，解：解：螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 面的面的投影柱面投影柱面设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：求其在求其在xOy面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程.五、空间曲线在坐标面内的投影五、空间曲线在坐标面内的投影 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的面上的投影曲线投影曲线:面上的面上的投影曲线投影曲线:空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线:设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：(投影柱面投影柱面)(投影柱面投影柱面)(投影柱面投影柱面)截线方程为截线方程为解解:例例11例例1212解：解：半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为圆周圆周,圆圆.
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