第三节平面坐标系圆周运动

第三节平面坐标系圆周运动第1页，共28页。第三节 自然坐标系，圆周运动第2页，共28页。自然坐标系自然坐标系 (1)(1)坐标单位矢坐标单位矢：方向通常指向前进方向，方向通常指向前进方向，方向指向曲线凹侧方向指向曲线凹侧 一、曲线运动的一、曲线运动的自然坐标系自然坐标系描述描述 质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为一维坐标的轴线质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为一维坐标的轴线自然坐标。自然坐标。从从O/点起，点起，p点的弧长为点的弧长为S 弧坐标弧坐标(2)位置表示法位置表示法(3)元位移元位移 第3页，共28页。2、切向加速度和法向加速度质点在圆周上各点处的速率随时间变化取D点第4页，共28页。a、切向加速度切向加速度 b、法向加速度法向加速度 第5页，共28页。求求a:将将a向不同的坐标向不同的坐标 轴中投影轴中投影加速度大小：加速度大小：引入曲率、曲率半径引入曲率、曲率半径第6页，共28页。例例:以速度为以速度为v0平抛一球，不计空气阻力，平抛一球，不计空气阻力，t时刻小球的切向加速度量时刻小球的切向加速度量值值 a ；法向加速度量值；法向加速度量值an 。解：由图可知解：由图可知 第7页，共28页。二、圆周运动的描述二、圆周运动的描述速度 加速度 匀速圆周运动：元位移 1圆周运动的线量描述圆周运动的线量描述第8页，共28页。2圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 角位置角位置角位移角位移 角速度角速度角加速度角加速度1根本知识根本知识9第9页，共28页。例：一质点作匀变速圆周运动即角加速度例：一质点作匀变速圆周运动即角加速度 =常量常量t=0时，时，0,0,求运动规律求运动规律 解解 从从两式中消去两式中消去 t 可得可得 10第10页，共28页。2匀变速圆周运动：匀变速圆周运动：请与匀速圆周运动区别请与匀速圆周运动区别 当我们用平面极坐标描述圆周运动时，只有一个变量当我们用平面极坐标描述圆周运动时，只有一个变量，故其，故其可与匀变速直线运动类比。可与匀变速直线运动类比。匀匀变速直速直线运运动匀匀变速速圆周运周运动11第11页，共28页。3线量与角量的关系：线量与角量的关系：同一种运动的两种描述方法，二者必有联系。同一种运动的两种描述方法，二者必有联系。角速度矢量的方向：角速度矢量的方向：由右手螺旋法规确定。由右手螺旋法规确定。角速度矢量与线速度的关系。角速度矢量与线速度的关系。0rvv12第12页，共28页。变速圆周运动一般曲线运动根本公式第13页，共28页。例：例：列车自列车自O进入圆弧轨道，其半径为进入圆弧轨道，其半径为 R500m。t=0时，列车在时，列车在O点，点，之后其运动规律为之后其运动规律为S30t t 3长度以长度以m为单位，时间以为单位，时间以s 为单位。试求为单位。试求 t=1s时列车的速度和加速度大小。时列车的速度和加速度大小。解：弧坐标解：弧坐标 S=30t t3由速度公式由速度公式t=1 s 时时 v1=3031227ms-1S第14页，共28页。t=1 s 时时故加速度大小故加速度大小15第15页，共28页。例：例：一质点沿半径的圆周运动，其运动方程一质点沿半径的圆周运动，其运动方程=2+4t3,那么那么t=2s时其时其切向加速度切向加速度a=-，法向加速度，法向加速度an=-，当，当a=a2时，时，=-。解：解：第16页，共28页。例：例：半径为半径为R的圆盘绕它的几何中心轴转动，要使其边线上一点的切向的圆盘绕它的几何中心轴转动，要使其边线上一点的切向加速度方向与加速度方向之间的夹角加速度方向与加速度方向之间的夹角保持不变，求它的转动角速度保持不变，求它的转动角速度随随时间时间t变化的规律。初角速为变化的规律。初角速为0。解：由题知，加速度与切向加速度间的夹角不变，亦即法向加速解：由题知，加速度与切向加速度间的夹角不变，亦即法向加速度与切向加速度的比值为常数。即有度与切向加速度的比值为常数。即有 别离变量别离变量 积分得积分得 于是于是随随t变化的规律为变化的规律为 第17页，共28页。变速圆周运动一般曲线运动小结角速度角速度角加速度角加速度一般曲线运动角速度角速度第18页，共28页。ere reP单单位矢量位矢量规规定：自极定：自极轴轴逆逆时针时针转转至位矢的至位矢的极角极角为正正,反反之之为负为负.OP为为位置矢量位置矢量,位置矢量与极位置矢量与极轴轴的的夹夹角角，称，称为为极角极角.rx简简介介 平面极坐极坐标标系系极坐极坐标标系：坐系：坐标标原点原点为为 O,自自O点的点的射射线线Ox，称称为为极极轴轴.径向径向单单位矢量位矢量.e 横向横向单单位矢量位矢量，指向，指向 增加的增加的方向方向.点P位置可用(r,)来表示,这两个量就称为点P的极坐标。点P的极径极径,用r表示；O第19页，共28页。ree rxP(r ere 的方向随的方向随质质点位置的点位置的变变化而化而变变化化.ijk直角坐直角坐标标系中，系中，单单位矢量的方向不位矢量的方向不变变 .xyzOO注注意意质质点的坐点的坐标标 (r r：OP，质质点到坐点到坐标标原点的距离，叫做原点的距离，叫做质质点的矢径点的矢径.re e第20页，共28页。P的位置矢量表示为 是极径方向的单位矢量，长度为1，沿r 增大的方向。随着质点的运动，点P 的极角在改变，方向也相应改变，的方向是时间的函数，写为式中是单位矢量的方向随时间的变化率。ere PrxO那么那么质点的速度：点的速度：第21页，共28页。22dtdt(r d)2 v(dr )2v速度大小vr第22页，共28页。质点直线运动时，取该直线为极径，极角为常量质点圆周运动时，极径是圆周的半径，为常量v d d t圆周运动角速度dtdtdt d d ds v横向速度是质点v沿圆周切向速度dtv d,v 0dt dv 0,v第23页，共28页。极坐极坐标标系中系中质质点的加速度点的加速度第24页，共28页。质点圆周运动：极径r是圆周半径，为常量，有质点直线运动：取该直线为极径，极角为常量，有第25页，共28页。继续推算前一项为哪一项圆周运动的向心加速度,负号表示 此加速度的方向，指向极点，即圆心；后一项 称为切向加速度,沿圆周的切线方向。22d1 dv 2)a ()(dtdtd 2dddva 2()dtdtdtdt d d2dtdt 2a 引入角加速度,定义为a 2,第26页，共28页。谢谢谢谢欣欣欣欣赏赏第27页，共28页。人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。第28页，共28页。