极限运算法则07903

会计学1极限运算法则极限运算法则0790309 四月 20242定理 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。证明：g(x)有界，故存在M，使对于对于当故当设g(x)在某定义域内有界，推论:（）常量与无穷小的积仍是无穷小；（）有限个无穷小量的积仍是无穷小。第1页/共22页09 四月 20243例例例例1.1.1.1.求求求求解:利用定理2可知说明 :y=0 是如：的一条水平渐近线线第2页/共22页09 四月 20244二、二、二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理定理 3.若第3页/共22页09 四月 20245推论推论推论推论:若若若若且则(P45 定理定理 5)利用保号性定理证明.说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令第4页/共22页09 四月 20246定理定理定理定理4.4.4.4.若若若若则有提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论 1.(C 为常数)推论推论 2.(n 为正整数)例例2.设 n 次多项式试证证:第5页/共22页09 四月 20247为无穷小(详见详见P44)定理定理定理定理5 5.若若若若且 B0,则有证:因有其中设无穷小无穷小有界有界因此由极限与无穷小关系定理得为无穷小,第6页/共22页09 四月 20248定理定理定理定理6 6 .若若若若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理3,4,5 直接得出结论.第7页/共22页09 四月 20249注2：对法则，b不为；法则、只 适用于有限个函数。注：在同一变化趋势下，极限都要 在，否则不能用上述法则。则 一定不存在；注3：若 ,其中只有一个存在，则则 不一定不存在；不一定不存在；注4：若 ，两个极限都不存在，比如：第8页/共22页09 四月 202410三、求极限举例三、求极限举例例例1 例例2解 原式解 原式第9页/共22页09 四月 202411 x=3 时分母为 0 结论：结论：结论：结论：设分式函数设分式函数设分式函数设分式函数其中都是多项式若,则:说明:若不能直接用商的运算法则.例例3.注：当 f(x)为初等函数时，x0为定义域内的点，则第10页/共22页09 四月 202412例例例例4.4.求求求求解:x=1 时分母=0,分子0,但因第11页/共22页09 四月 202413例例例例5 5 .求求求求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式第12页/共22页09 四月 202414一般有如下结果：一般有如下结果：一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)(如如P47 例例5)(如如P47 例例6)(如如P47 例例7)第13页/共22页09 四月 202415复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7.7.设且 x 满足时,又 则有 证证:当时,有当时,有对上述取则当时故因此式成立.第14页/共22页09 四月 202416定理定理7.设且x 满足时,又则有 说明:若定理中则类似可得第15页/共22页09 四月 202417例例例例6.6.求求求求解:令已知(见见 P46 例例3)原式=(见见 P33 例例5)第16页/共22页09 四月 202418例例例例7.7.求求求求解:方法 1则令 原式方法 2第17页/共22页09 四月 202419另例（1）（2）=0注：sin x 有界。第18页/共22页09 四月 202420另例解先变形再求极限.注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小。另例第19页/共22页09 四月 202421四、小结与思考练习题四、小结与思考练习题四、小结与思考练习题四、小结与思考练习题极限求法：(1)多项式与分式函数代入法求极限;(2)消去零因子法求极限;（0/0型）（因式分解、有理化）(3)利用无穷小运算性质求极限;(4)利用通分方法求极限;（-型）(5)分子分母同除最大项。（/型）第20页/共22页09 四月 202422思考及练习思考及练习思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.问作业：作业：P48 1P48 1（1 1、3 3、8 8、1212）、）、2 2（1 1）、）、3 3（1 1）第21页/共22页