时域有限差分法 II

时域有限差分法时域有限差分法 II2 2稳定性对时间间隔的要求要求即或定义数值增长因子稳定性对时间间隔的限制第1页/共80页3 33.2 Courant 稳定性条件齐次波动方程齐次波动方程 平面波的解 第2页/共80页4 4齐次波动方程差分近似可得第3页/共80页5 5Courant条件上式成立的充分条件是 时间间隔限制第4页/共80页6 6Courant稳定性条件 上式即 确定空间间隔后对时间步长的限制第5页/共80页7 7Courant条件几个特殊情况 设三维 二维 一维第6页/共80页8 83.3 数值色散对空间离散间隔的要求考虑一维情形下波动方程考虑一维情形下波动方程 对于平面波色散关系（解析式）为第7页/共80页9 9数值色散关系对空间离散间隔的限制离散后得到数值色散关系离散后得到数值色散关系要求数值色散关系和解析式相同，必须或对离散空间间隔的限制根据三角函数，当 时，第8页/共80页10103.4 差分近似后的各向异性特性波动方程波动方程对于平面波，差分近似后 第9页/共80页1111二维情况前式变为上式表明相速与平面波传播方向有关：数值各向异性 设第10页/共80页1212传播速度空间各向异性的图示各向异性可以忽略的条件:对空间间隔的限制图3-4-1给出了以/为参变量时相速与光速之比 v/c和平面波传播方向角之间的关系，即差分离散所带来的各向异性。第11页/共80页1313单向行波算子（Mur）吸收边界Berenger完全匹配层（PML）吸收边界单轴各向异性介质完全匹配层（UPML）吸收边界第四章 吸收边界条件第12页/共80页1414开域问题：散射问题第13页/共80页1515开域问题吸收边界的必要性从物理观点：只有在实验室墙壁上敷以吸波材料使波在此界面无反射，形成微波暗室。从计算观点：在截断边界上FDTD的E、H分量计算公式中，至少有一个环绕分量位于截断边界之外，需要特殊处理。第14页/共80页16164.1 Engquist-Majda吸收边界条件波动方程波动方程波动方程波动方程平面波的解：其中第15页/共80页1717左行波和右行波 左行波右行波 第16页/共80页1818波动微分算子改写波动方程为定义微分算子L因式分解 第17页/共80页1919左行波和右行波算子为了使截断界面处右行波，即反射波成分等于零，在截断边界处设置条件 对于左行波和右行波有即第18页/共80页2020单向行波吸收边界条件频域到时域算子过渡：以及左侧边界右侧边界得第19页/共80页21214.2 一阶近似吸收边界条件 左行波算子左行波算子利用Taylor级数展开（一阶）过渡导到时域第20页/共80页2222二阶近似吸收边界条件 二阶近似算子二阶近似算子左侧边界左侧边界时域形式时域形式第21页/共80页2323残留的反射波与入射波之比(反射系数)接近0度（垂直入射）时反射最小第22页/共80页24244.5 三维吸收边界条件二阶近似 离散后第23页/共80页2525二阶吸收边界条件所涉及的10个节点（三维）第24页/共80页2626一阶吸收边界条件涉及的2个节点一阶近似可以应用于三维、二维、一维问题第25页/共80页2727三维FDTD区的角顶区三维长方体区域有6个平面UPML区，12个棱边区和8个角顶区第26页/共80页2828三维截断边界上的场分量节点第27页/共80页2929三维截断边界区分三种情况6 6个截断边界面：面上个截断边界面：面上有有E E切向分量和切向分量和H H法向分法向分量节点；量节点；H H法向分量节法向分量节点不需要应用吸收边界点不需要应用吸收边界条件条件1212条棱边：边上只有条棱边：边上只有E E的切向分量节点的切向分量节点8 8个角顶点：无电磁场个角顶点：无电磁场分量节点分量节点第28页/共80页3030第五章 FDTD中常用激励源几种随时间变化的源几种随时间变化的源入射波的加入入射波的加入总场边总场边界条件界条件 第29页/共80页31315.1 几种随时间变化的源 时谐场源 或 开关函数或（升余弦函数）（升余弦函数）考虑到建立过程，在考虑到建立过程，在(5-1-1)式所示激励源情况下达到时谐场的稳态，通常需要式所示激励源情况下达到时谐场的稳态，通常需要35个个周期。当然，对于散射问题所需的周期数还与散射体大小及形状有关。例如，对于具有周期。当然，对于散射问题所需的周期数还与散射体大小及形状有关。例如，对于具有凹腔结构物体，凹腔结构物体，Taflove等指出，达到稳定状态所需经过的周期数大约等于所模拟散射等指出，达到稳定状态所需经过的周期数大约等于所模拟散射结构的结构的Q值。为了缩短稳态建立时间，减小冲击效应，可以引入开关函数，例如采用升值。为了缩短稳态建立时间，减小冲击效应，可以引入开关函数，例如采用升余弦函数余弦函数 第30页/共80页3232脉冲源高斯脉冲高斯脉冲微分高斯脉冲微分高斯脉冲调制高斯脉冲调制高斯脉冲升余弦脉冲升余弦脉冲 截断三余弦脉冲截断三余弦脉冲 截断三正弦脉冲截断三正弦脉冲 双指数脉冲双指数脉冲 第31页/共80页3333脉冲源:高斯脉冲 时域形式 频谱 其中为脉冲峰值出现时间 决定高斯脉冲的宽度 第32页/共80页3434n=1024;%逆傅立叶变换采样点df=10.24/n;%频率间隔10e-11dt=1./n/df;%逆傅立叶变换的dtEit(:,2)=ifft(Ei1(:,2);第33页/共80页3535不同频率时高斯脉冲的频谱值与最大值之比 f0.0432 0.0948 0.456通常可取 为高斯脉冲的频宽 第34页/共80页3636高斯脉冲的时域波形(带宽为08G)第35页/共80页3737高斯脉冲的频谱(带宽为08G)第36页/共80页3838脉冲源:微分高斯脉冲 时域形式 频谱 第37页/共80页3939微分高斯脉冲(频率上限为6G)时域波形第38页/共80页4040微分高斯脉冲(频率上限为6G)频域波形特点：无零频直流分量第39页/共80页4141脉冲源:调制高斯脉冲 时域形式 频谱 第40页/共80页4242调制高斯脉冲（中心频率为6.5G)时域波形第41页/共80页4343调制高斯脉冲（中心频率为6.5G)频域波形特点：有中心频率和带宽第42页/共80页44445.6 入射波的加入总场边界条件 将计算区域划分为总场区和散射场区 第43页/共80页4545应用等效原理设置入射波 为了使入射波限制在总场区内的空间有限区域，根据等效原理，在区域界面A上设置等效面电磁流，并设A面外的场为零 在总场-散射场区的分界面上设置入射波电磁场的切向分量便可将入射波只引入到总场区。零场总场区散射场区第44页/共80页4646三维情况总场-散射场边界 总场边界：6个面，12条棱边，角顶点处无节点第45页/共80页4747MaxwellMaxwell旋度方程对于总场或散射场均适用旋度方程对于总场或散射场均适用电场 x 分量磁场 x 分量第46页/共80页4848MaxwellMaxwell旋度方程旋度方程的的FDTDFDTD对于总场或散射场均适用对于总场或散射场均适用要求：FDTD公式中涉及的所有场分量（电场、磁场）或者属于总场，或者属于散射场第47页/共80页4949总场总场-散射场边界附近的场分量散射场边界附近的场分量 在为总场边界上属于总场区。距离总场边界半个网格处为总场外边界，其上磁场分量属于散射场区。第48页/共80页5050总场边界上的总场边界上的E E分量（属于总场）被分量（属于总场）被4 4个个H H分量环绕，其中位于散射场分量环绕，其中位于散射场区的分量属于散射场区的分量属于散射场 第49页/共80页5151总场外边界上的总场外边界上的H H分量（属于散射场）被分量（属于散射场）被4 4个个E E分量环绕，其中位于总分量环绕，其中位于总场区的分量属于总场场区的分量属于总场第50页/共80页5252总场边界处FDTD公式的修改在总场散射场边界处应用在总场散射场边界处应用FDTDFDTD公式时，同公式时，同一公式中可能既有总场节点，也有散射场节一公式中可能既有总场节点，也有散射场节点。因此，原来点。因此，原来FDTDFDTD公式需要修改。公式需要修改。认定认定FDTDFDTD公式中全部节点为总场，则要在散公式中全部节点为总场，则要在散射场节点加上入射场；认定全部节点为散射射场节点加上入射场；认定全部节点为散射场，则要在总场节点减去入射场。场，则要在总场节点减去入射场。修改后结果正好与等效原理一致，在总场区修改后结果正好与等效原理一致，在总场区加入了入射波。加入了入射波。第51页/共80页5353二维TM情况总场-散射场边界 在为总场边界上属于总场区。距离总场边界半个网格处为总场外边界，其上磁场分量属于散射场区。第52页/共80页5454总场边界附近元胞（二维TM）下边界第53页/共80页5555总场边界附近FDTD公式需改写 入射场总场第54页/共80页5656总场边界附近FDTD公式需改写 入射场散射场第55页/共80页5757总场边界附近FDTD公式需改写 总场总场第56页/共80页5858二维TM波总场区四个角点 以左下角点为例 基本思想：认定公式全部节点属于总场（散射场），则应当在散射场（总场）节点处加上（减去）入射场值。入射场总场第57页/共80页5959二维TM波总场区四个角点 图5-6-3 二维总场-散射场边界第58页/共80页6060二维TM波入射场设置算例（幅值分布）总场边界：80，80；80，80 第59页/共80页6161二维TM波入射场设置算例（相位分布）第60页/共80页6262一维情况总场-散射场区划分总场区和散射场区后，介质板置于总场区；反射波和透射波便于提取第61页/共80页6363一维总场-散射场边界注意：总场边界上的E节点属于总场；总场外边界处的H节点位于散射场区，属于散射场。第62页/共80页6464一维总场边界上入射波的加入（电场公式）总场边界上的电场节点属总场，而总场外边界处磁场节点属散射场，应当加上入射场。FDTD公式修改为 通常FDTD电场公式应用于总场边界时总场 总场 散射场入射场总场第63页/共80页6565一维总场边界上入射波的加入（磁场公式）总场外边界处磁场节点属散射场，而总场边界上的电场节点属总场，应当减去入射场。FDTD公式修改为 通常FDTD磁场公式应用于总外场边界时散射场 总场 散射场入射场散射场第64页/共80页6666一维总场边界入射波加入算例：400dt时的波形 FDTD区为1,1000。吸收边界为一阶MUR。总场边界在500。在总场边界加入右行波。第65页/共80页6767一维总场边界入射波加入算例：1200dt时的波形 第66页/共80页6868通过总场边界加入入射波确定总场边界（三维，二维，一维）；确定总场边界（三维，二维，一维）；在总场边界处，修改通常在总场边界处，修改通常FDTDFDTD公式，引进入公式，引进入射波（切向分量）；射波（切向分量）；总场边界上的等效面电磁流将只在总场区内总场边界上的等效面电磁流将只在总场区内产生入射波；产生入射波；检验：平面波入射（总场区内无散射体）检验：平面波入射（总场区内无散射体）第67页/共80页6969第六章 近远场外推电磁场的远场和近场划分电磁场的远场和近场划分(转转)电磁辐射源产生的交变电磁场可分为性质不同的两个部分，其中一部分电磁场能量在辐射源周围空间及辐射源之间周期性地来回流动，不向外发射，称为感应场；另一部分电磁场能量脱离辐射体，以电磁波的形式向外发射，称为辐射场。电磁辐射源产生的交变电磁场可分为性质不同的两个部分，其中一部分电磁场能量在辐射源周围空间及辐射源之间周期性地来回流动，不向外发射，称为感应场；另一部分电磁场能量脱离辐射体，以电磁波的形式向外发射，称为辐射场。一般情况下，电磁辐射场根据感应场和辐射场的不同而区分为近区场（感应场）和远区场（辐射场）。由于远场和近场的划分相对复杂，要具体根据不同的工作环境和测量目的进行划分，一般而言，以场源为中心，在三个波长范围内的区域，通常称为近区场，也可称为感应场；在以场源为中心，半径为三个波长之外的空间范围称为远区场，也可称为辐射场。一般情况下，电磁辐射场根据感应场和辐射场的不同而区分为近区场（感应场）和远区场（辐射场）。由于远场和近场的划分相对复杂，要具体根据不同的工作环境和测量目的进行划分，一般而言，以场源为中心，在三个波长范围内的区域，通常称为近区场，也可称为感应场；在以场源为中心，半径为三个波长之外的空间范围称为远区场，也可称为辐射场。第68页/共80页7070第六章 近远场外推 近区场通常具有如下特点：近区场通常具有如下特点：近区场内，电场强度与磁场强度的大小没有确定的比例关系。一般情况下，近区场内，电场强度与磁场强度的大小没有确定的比例关系。一般情况下，对于电压高电流小的场源对于电压高电流小的场源(如发射天线、馈线等如发射天线、馈线等)，电场要比磁场强得多，对于，电场要比磁场强得多，对于电压低电流大的场源电压低电流大的场源(如某些感应加热设备的模具如某些感应加热设备的模具)，磁场要比电场大得多。，磁场要比电场大得多。近区场的电磁场强度比远区场大得多。从这个角度上说，电磁防护的重点近区场的电磁场强度比远区场大得多。从这个角度上说，电磁防护的重点应该在近区场。应该在近区场。近区场的电磁场强度随距离的变化比较快，在此空间内的不均匀度较大。近区场的电磁场强度随距离的变化比较快，在此空间内的不均匀度较大。远区场的主要特点如下：远区场的主要特点如下：在远区场中，所有的电磁能量基本上均以电磁波形式辐射传播，这种场辐在远区场中，所有的电磁能量基本上均以电磁波形式辐射传播，这种场辐射强度的衰减要比感应场慢得多。射强度的衰减要比感应场慢得多。在远区场，电场强度与磁场强度有如下关系：在国际单位制中，在远区场，电场强度与磁场强度有如下关系：在国际单位制中，E=377H，电场与磁场的运行方向互相垂直，并都垂直于电磁波的传播方向。，电场与磁场的运行方向互相垂直，并都垂直于电磁波的传播方向。远区场为弱场，其电磁场强度均较小远区场为弱场，其电磁场强度均较小第69页/共80页71716.1 等效原理目标E,HE,H自由空间界面A原问题：例如辐射或散射第70页/共80页7272等效原理：自由空间辐射E,H零场自由空间界面A等效问题：n 区域内为零场；n 界面A上有面电流和面磁流；n 面电磁流在自由空间产生辐射场。自由空间第71页/共80页7373外推边界（输出边界）外推输出边界在散射场区内第72页/共80页7474等效面电磁流辐射的计算公式 面电磁流辐射场的势函数其中G 为Green函数（远场及近场）第73页/共80页7575由势函数到电磁场的公式其中第74页/共80页7676Visualization of plane-wave penetration and scattering of a missile Visualization of plane-wave penetration and scattering of a missile radome containing a horn antenna(from Taflove,2000)radome containing a horn antenna(from Taflove,2000)The impinging plane wave propagates from right to leftand is obliquely incident at 15 from boresight 第75页/共80页7777Visualization of the FDTD-computed specific absorption rate(SAR)Visualization of the FDTD-computed specific absorption rate(SAR)distribution of a head model(from Taflove,2000)distribution of a head model(from Taflove,2000)An one-quarter wavelength whip antenna is in anear-level plane for a 1,900-MHz cellular telephone held vertically against a tilted-head model.第76页/共80页7878Surface currents on“Rund”aircraft model for vertical polarization Surface currents on“Rund”aircraft model for vertical polarization(from Andersson 2001)(from Andersson 2001)Rund 是瑞典空军研究所一种飞机模型，机身长1米，翼展1米，高0.5米第77页/共80页7979Surface currents of the Saab 2000 aircraft 125 ns(1500 time steps)Surface currents of the Saab 2000 aircraft 125 ns(1500 time steps)after a lightning stroke the nose(from Andersson 2001)after a lightning stroke the nose(from Andersson 2001)Also the magnitude of magnetic field is shown in a cutting plane across the wings perpendicular to the fuselage.第78页/共80页8080Surface currents on the interior of the Saab 2000(from Andersson Surface currents on the interior of the Saab 2000(from Andersson 2001)2001)The view is from the center of aircraft towards to the cockpit.第79页/共80页