（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 立体几何初步 第52课 空间几何体的表面积与体积 文-人教版高三全册数学试题

第52课 空间几何体的表面积与体积(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2P55习题2改编)已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3 cm，那么这个正四棱柱的侧面积是.【答案】72 cm2【解析】易求侧面矩形的高为6 cm，所以侧面积为436=72(cm2).2.(必修2P63习题2改编)若一个正六棱锥的底面边长为6 cm，高为15 cm，则它的体积为.【答案】270 cm3【解析】体积为V=Sh=66615=270(cm3).3.(必修2P69复习题5改编)若长方体相邻的三个面的面积分别是，则长方体的体积为.【答案】【解析】可求三棱长为1，则体积为1=.4.(必修2P71复习题20改编)设P，A，B，C是球O表面上的四点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=，PC=3，则球O的表面积是.【答案】16【解析】可把PA，PB，PC看成长方体从同一个定点出发的三条棱，则球O的半径的大小为=2，所以球O的表面积为16.1.一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫作该多面体的平面展开图.2.侧棱与底面垂直的棱柱叫作直棱柱，把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积.底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.3.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，这样的棱锥为正棱锥.棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积.4.正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台.5.多面体的面积与体积公式(1)底面周长为c，高为h的直棱柱的侧面积公式是S直棱柱侧=ch；(2)长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的体积为V长方体=abc；(3)柱体的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体=Sh；(4)底面周长为c，斜高为h的正棱锥的侧面积为S正棱锥侧=ch；(5)锥体的体积为V锥体=Sh，其中S为锥体底面积，高为h.(6)上、下底面周长分别为c，c，斜高为h的正棱台的侧面积公式是S正棱台侧=(c+c)h；(7)台体的体积为V台体=h(S+S)，其中台体的上、下底面面积分为S，S，台体的高为h.(8)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：S圆柱侧=cl=2rl、S圆锥侧=cl=rl、S圆台侧=(c+c)l=(r+r)l.(9)球体的体积公式为V球=R3，球体的表面积公式为S球=4R2，其中R为球的半径.【要点导学】要点导学各个击破与简单多面体表面积有关的问题例1如图(1)，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4 cm的正三角形，侧棱长为3 cm，侧棱AA1与底面相邻的两边都成60角.(例1(1)(1)求证：四边形CC1B1B是矩形；(2)求这个棱柱的侧面积.【思维引导】该棱柱为斜三棱柱，并且知道侧棱长为3 cm，欲求侧面积，可先求各侧面的面积，再相加即可.【解答】(例1(2)(1)如图(2)，因为AA1与A1B1，A1C1所成的角都为60，所以点A在平面A1B1C1上的射影O在C1A1B1的平分线上.又因为A1B1C1是正三角形，A1OB1C1，所以AA1B1C1.又因为AA1BB1，所以BB1B1C1，所以四边形CC1B1B是矩形.(2)=ABAA1sin 120=43=6(cm2)，所以=6 (cm2).又=BCCC1=43=12 (cm2)，所以S侧=+=12+12(cm2).【精要点评】对于斜三棱柱，分别求三个侧面的面积，然后求和是常用的求侧面积的方法.变式1如图(1)，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，且顶点A1到底面各顶点的距离都相等，侧棱AA1和底边AB的夹角为45，求此三棱柱的侧面积.(变式1(1)【解答】如图(2)，过A1作A1O平面ABC，过O作ODAB，连接A1D.由题意得A1A=A1B=A1C，A1AB=45，(变式1(2)因为底面ABC是正三角形，所以点O为ABC的中心.在RtA1AO中，AO=a=a.在RtAOD中，cos 30=，所以AD=AO=a=a.在RtA1AD中，AA1=AD=a，A1D=a .所以S侧面积=aa2+aa=a2+a2=a2.变式2(2015南通期末)底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为.【答案】4【解析】正四棱锥的底面边长为2，高为1，则侧面的高为，所以该正四棱锥的侧面积为42=4.与简单多面体体积有关的问题例2(2014重庆卷)在如图(1)所示的四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB=2，BAD=，M为BC上一点，且BM=.(例2(1)(1)求证：BC平面POM；(2)若MPAP，求四棱锥P-ABMO的体积.【思维引导】要证BC平面POM，可证BCOM，BCPO.要求体积，关键是找到多面体的高与底面面积.题中PO为高；根据条件有S四边形ABMO=SAOB+SOMB，然后再求两个三角形的面积.【解答】(1)如图(2)，连接OB，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，则AOOB.(例2(2)因为BAD=，所以OAB=，OB=ABsinOAB=2sin=1.又因为BM=，且OBM=，在OBM中，OM2=OB2+BM2-2OBBMcosOBM=12+-21cos=，所以OB2=OM2+BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，所以POBC.又POOM=O，所以BC平面POM.(2)连接AM，由(1)可得OA=ABcosOAB=2cos=.设PO=a，由PO底面ABCD，知POA为直角三角形，故PA2=PO2+OA2=a2+3.又POM也是直角三角形，故PM2=PO2+OM2=a2+.在ABM中，AM2=AB2+BM2-2ABBMcosABM=22+-22cos=.由已知MPAP，故APM为直角三角形，则PA2+PM2=AM2，即a2+3+a2+=，解得a=或-(舍去)，即PO=.此时S四边形ABMO=SAOB+SOMB=AOOB+BMOM=1+=.所以=S四边形ABMOPO=.【精要点评】(1)正确运用公式是求得多面体体积的前提；(2)正确求得某些关键量(比如高或底面面积)是求得多面体体积的关键；(3)对于不易直接求解体积的复杂问题，要时刻关注转化.变式1(2014辽宁卷)如图(1)，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，ABC=DBC=120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.(变式1(1)(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥D-BCG的体积.【解答】(1)由已知得ABCDBC.所以AC=DC.又G为AD的中点，所以CGAD.同理BGAD.因为CGBG=G，所以AD平面BGC.因为E，F为AC，CD的中点，所以EFAD，所以EF平面BCG.(2)如图(2)，在平面ABC内，作AOBC，交CB延长线于O，由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC.(变式1(2) 又G为AD的中点，因此点G到平面BCD的距离h是AO长度的一半，在AOB中，AO=ABsin 60=，所以=VG-BCD=SDBCh=BDBCsin 120=.变式2(2015宿迁一模)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，求三棱锥M-AB1C的体积.(变式2)【解答】=-=222-2=.简单旋转体的面积与体积例3已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积.(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大?并求出最大值.(例3)【解答】(1)如图，SAB为圆锥的一个轴截面，设圆柱底面圆半径为r，则=，所以r=，所以S圆柱侧=2rx=2=.(2)由(1)知，当x=时，圆柱的侧面积最大，Smax=Rh.变式1(2015江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为.【答案】【解析】由体积相等得452+228=r24+r28，解得r=.变式2(2015全国卷改编)已知A，B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为.【答案】144(变式2)【解析】如图所示，当点C位于垂直于平面AOB的直径的端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时=R2R=R3=36，故R=6，则球O的表面积为S=4R2=144.1.(2015盐城三模)已知正四棱锥P-ABCD的体积为，底面边长为2，则侧棱PA的长为.【答案】【解析】由题意得V=22h=，解得h=1，所以侧棱长为=.2.(2015苏州调查)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1，S2，则S1S2=.【答案】32【解析】设球的直径为2R，则S1S2=(2R2+2R2R)4R2=32.3.(2016苏北四市期中)底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为.【答案】【解析】由题意知底面面积S=22=4，正四棱锥的高为h=1，所以正四棱锥的体积V=41=.4.(2015苏锡常镇、宿迁一调)如图(1)，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=4，E为棱CD上一点，求三棱锥E-PAB的体积.(第4题(1)【解答】如图(2)，在矩形ABCD中，过点E作EHAD.因为四边形ABCD为矩形，所以EHAB.(第4题(2)又因为PA底面ABCD，EH底面ABCD，所以PAEH.又ABPA=A，AB，PA平面PAB，所以EH平面PAB.即三棱锥E-PAB的高为EH，故三棱锥E-PAB的体积为V=EHABPA=324=4.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第103104页.【检测与评估】第52课空间几何体的表面积与体积一、 填空题1.若两个球的表面积之比为14，则这两个球的体积之比为.2.(2014苏州调研)若圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为.3.(2015南通、扬州、淮安、连云港二调)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3 cm，AD=2 cm，AA1=1 cm，则三棱锥B1-ABD1的体积为cm3.(第3题)4.(2015泰州二模)若圆柱的侧面积和体积的值都是12，则该圆柱的高为.5.(2014苏北四市摸底)若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则它的体积为.6.(2015苏州期末)已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为.7.(2015山东卷)在梯形ABCD中，ABC=，ADBC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为.8.(2014南京、盐城一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，侧棱PA底面ABCD，PA=2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为.(第8题)二、 解答题 9.如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积.(第9题)10.(2014福建卷)如图，在三棱锥A-BCD中，AB平面BCD，CDBD.(1)求证：CD平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1，M为AD的中点，求三棱锥A-MBC的体积.(第10题)11.(2014徐州质检)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点.(1)求证：DE平面ABC；(2)求三棱锥E-BCD的体积.(第11题)三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015广东卷)如图，PDC所在的平面与矩形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3.(第12题)(1)求证：BC平面PDA；(2)求证：BCPD；(3)求点C到平面PDA的距离.【检测与评估答案】第52课空间几何体的表面积与体积1. 18【解析】由S1S2=14，得r1r2=12，则V1V2=18.2.【解析】先求得圆锥的母线长为，再结合侧面积公式求得侧面积为.3.1【解析】三棱锥B1-ABD1的体积=A1D1=312=1.4.3【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则解得h=3，r=2，所以该圆柱的高为3.5.【解析】设该正三棱锥的高为h，则h=2，所以该正三棱锥的体积V=222=.6. 【解析】设该圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l=2，则由2r=2l，得r=1，从而h=，所以该圆锥的体积为V=r2h=.7.【解析】V=122-121=.8.【解析】高PA=2，底面积SEBC=，所以体积为.9. 如图，由题设可知正三棱锥O-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，经计算得ABC的面积为，所以该三棱锥的体积为1=.设O是正三角形ABC的重心.由正三棱锥的性质可知OO平面ABC.延长AO交BC于点D，得AD=，OD=.又因为OO=1，所以正三棱锥的斜高OD=，故侧面积为23=2，所以该三棱锥的表面积为+2=3.因此，所求三棱锥的体积为，表面积为3.(第9题)10.(1) 因为AB平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD.又因为CDBD，ABBD=B，AB平面ABD，BD平面ABD，所以CD平面ABD.(2) 由AB平面BCD，得ABBD.因为AB=BD=1，所以SABD=.因为M是AD的中点，所以SABM=SABD=.由(1)知CD平面ABD，所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1，所以三棱锥A-MBC的体积=SABMh=.11.(1)如图，取BC的中点G，连接AG，EG.因为E是B1C的中点，所以EGBB1，且EG=BB1.由题意知AA1BB1.而D是AA1的中点，所以EGAD，所以四边形EGAD是平行四边形，所以EDAG.又因为DE平面ABC，AG平面ABC，所以DE平面ABC.(第11题)(2)因为ADBB1，AD平面BCE，BB1平面BCE，所以AD平面BCE，所以=.由(1)知DE平面ABC，所以=EGBCAG=364=12.12. (1) 因为四边形ABCD是矩形，所以BCAD.因为BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2) 因为四边形ABCD是矩形，所以BCCD，因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCD=CD，BC平面ABCD，所以BC平面PDC，因为PD平面PDC，所以BCPD.(3) 取CD的中点E，连接AE，PE，AC，因为PD=PC，所以PECD.在RtPED中，PE=，因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCD=CD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD.由(2)知BC平面PDC，由(1)知BCAD，所以AD平面PDC.因为PD平面PDC，所以ADPD.设点C到平面PDA的距离为h，因为=，所以SPDAh=SACDPE，即h=，所以点C到平面PDA的距离是.