（江苏专用）高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 5 第5讲 椭 圆刷好题练能力 文-人教版高三全册数学试题

第5讲 椭 圆1已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_解析：因为方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则由得故k的取值范围为(1，2)答案：(1，2)2中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为_解析：依题意，2c4，c2，又e，则a2，b2，所以椭圆的标准方程为1.答案：13已知点M(，0)，椭圆y21与直线yk(x)交于点A，B，则ABM的周长为_解析：M(，0)与F(，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F(，0)，且ABAFBF，ABM的周长等于ABAMBM(AFAM)(BFBM)4a8.答案：84“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的_条件解析：把椭圆方程化成1.若mn0，则0.所以椭圆的焦点在y轴上反之，若椭圆的焦点在y轴上，则0即有mn0.故为充要条件答案：充要5如图，椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若 PF14，F1PF2120，则a的值为_解析：b22，c，故F1F22，又PF14，PF1PF22a，PF22a4，由余弦定理得cos 120，化简得8a24，即a3.答案：36若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率为_解析：由题意知2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，所以e或e1(舍去)答案：7已知P是以F1，F2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点，若0，tanPF1F2，则此椭圆的离心率为_解析：因为0，所以，所以PF1PF2c2a，所以e.答案：8已知圆C1：x22cxy20，圆C2：x22cxy20，椭圆C：1(ab0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是_解析：圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c，0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，所以只需0b0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析：直线y(xc)过点F1，且倾斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，MF1c，MF2c，所以该椭圆的离心率e1.答案：111.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上解：(1)由题意知b.因为离心率e，所以.所以a2.所以椭圆C的方程为1.(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线PM的方程为yx1，直线QN的方程为yx2.设T(x，y)联立解得x0，y0.因为1，所以1.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上12(2019南通市、泰州市高三第一次调研测试)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，两条准线之间的距离为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，椭圆的左顶点为A，点M在圆x2y2上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且AOB的面积是AOM的面积的2倍，求直线AB的方程解：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意，得，4，得a2，c，所以b，所以椭圆的标准方程为1.(2)因为SAOB2SAOM，所以AB2AM，所以点M为AB的中点因为椭圆的方程为1，所以A(2，0)设M(x0，y0)，则B(2x02，2y0)，所以xy ，1 .由，得9x18x0160，解得x0，x0(舍去)把x0代入，得y0，所以kAB，因此，直线AB的方程为y(x2)，即x2y20或x2y20.1已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则PMPN的最小值为_解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1PF210，从而PMPN的最小值为PF1PF2127.答案：72如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_解析：设椭圆的方程为1(ab0)，B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，b)(c，b)0，得b2ac，即a2c20即e2e10，e或e，又0e1，所以eb0)的离心率e，一条准线方程为x2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q.(1)求椭圆的方程；(2)若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数解：(1)因为，2，所以a，c1，所以b1.故椭圆的方程为y21.(2)法一：设P点坐标为(x1，y1)，则Q点坐标为(x1，y1)因为kAP，所以直线AP的方程为yx1.令y0，解得m.因为kAQ，所以直线AQ的方程为yx1.令y0，解得n.所以mn.又因为(x1，y1)在椭圆y21上，所以y1，即1y，所以2，即mn2.所以mn为常数，且常数为2.法二：设直线AP的斜率为k(k0)，则AP的方程为ykx1，令y0，得m.联立方程组消去y，得(12k2)x24kx0，解得xA0，xP，所以yPkxP1，则Q点的坐标为.所以kAQ，故直线AQ的方程为yx1.令y0，得n2k，所以mn(2k)2.所以mn为常数，常数为2.6(2019苏州市高三调研测试)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆上的动点P到一个焦点的距离的最小值为3(1)(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点M(0，1)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由解：(1)由题意得，故ac.又椭圆上的动点P到一个焦点的距离的最小值为3(1)，所以ac3(1)，所以c3，a3，所以b2a2c29，所以椭圆C的标准方程为1.(2)当直线l的斜率为0时，对于1，令y1，则x4，此时以线段AB为直径的圆的方程为x2(y1)216.当直线l的斜率不存在时，以线段AB为直径的圆的方程为x2y29.联立，得解得即两圆的交点为(0，3)，记T(0，3)猜想以线段AB为直径的圆恒过定点T(0，3)当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(12k2)x24kx160.所以(4k)264(12k2)144k2640，x1x2，x1x2.因为(x1，y13)(x2，y23)x1x2y1y23(y1y2)9x1x2(kx11)(kx21)3(kx11kx21)9(k21)x1x24k(x1x2)1616160，所以TATB，故以线段AB为直径的圆过点T(0，3)综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(0，3)