多元函数的求导法则

第 七 章 多 元 函 数 微 分 学第 四 节 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 一 、 多 元 复 合 函 数 求 导 的 链 式 法 则 yxvuvuvufz ,),( 又 是的 函 数 ， 而是 变 量设 因 而),(),( yxvyxu ., 的 复 合 函 数是 yx的 函 数 ， 即 ),(),( yxyxfz 的 导 数 ？如 何 求 复 合 函 数 ),(),( yxyxfz 定 理 ,xvvzxuuzxz ,),(),(),( 有 偏 导 数在 点设 yxyxvyxu 函 数有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合在 对 应 点 ),( vu 有 偏 导 数在 点 ),( yx),( vufz而 ),(),( yxyxfz .yvvzyuuzyz uv xz y链 式 法 则 如 图 示xz uz xu vz ,xvyz uz yu vz .yv 证 ,),(),( vuyxvyxu yxx ，有 相 应 的 增 量保 持 不 变 ， 则 函 数， 而有 增 量设 从 而 有 有 连 续 偏 导 数 ，在 点由 假 设 ， 函 数 ),(),( vuvufz .00 时 的 无 穷 小 量，是 当，其 中 vu .),( zzvufz 也 有 相 应 的 增 量， 从 而而 vuvvzuuzz 除 以 上 式 ， 得以 x 0lim0lim 00 vux yxvu xx ， 续 的 ， 即 有的 一 元 函 数 ， 它 们 是 连 ， 而 作 为定的 偏 导 数 存 在 ， 因 此 固对，而 由 于 xvxuxvvzxuuzxz 所 以 )(limlim 00 xvxuxvvzxuuzxz xx xvxuxvvzxuuz xxxxxx 000000 limlimlimlimlimlim xvxuxvvzxuuz vuvu 0000 limlim.xvvzxuuz 同 理 可 证 .yvvzyuuzyz 例 1 设 vez u sin ， 而 xyu ， yxv ， 求 xz 和 yz .解 xz uz xu vz xv1cossin veyve uu ),cossin( vvyeu yz uz yu vz yv1cossin vexve uu ).cossin( vvxeu 例 2 解 .,),( 22 yzxzxyyxfz 求设 .2 ,2 vzxuzyyvvzyuuzyz vzyuzxxvvzxuuzxz 若 z = f ( u , v, w )有 连 续 偏 导 数 ， 连 锁 法 则 可 推 广 到 有 多 个 中 间 变 量 的 情 况 .例 如 有 三 个 中 间 变 量 的 情 况 则有 偏 导 数在 点， ,),(),(),( yxyxwyxv ),( yxu 而 ,xwwzxvvzxuuzxz ,ywwzyvvzyuuzyz z wvu yx 多 元 复 合 函 数 的 复 合 关 系 是 多 种 多 样 的 ， 我 们 不 可能 把 所 有 的 公 式 都 写 出 来 ， 也 没 有 必 要 ， 只 要 把 握 住函 数 间 的 复 合 关 系 ， 及 函 数 对 某 个 自 变 量 求 偏 导 时 ，应 通 过 所 有 相 关 的 中 间 变 量 ， 这 一 法 则 通 常 称 为 链 式法 则 比 如 ： xzxvxuvufz 就 是则，而如 果 )(),(),()1( ).(),( xxfz 的 导 数 称 为 全 导 数 ， 即对这 时 ， xz .dxdvvzdxduuzdxdz 的 一 元 函 数 复 合 函 数则而如 果 ),(),()2( zyxuufw ),( zyxfw 的 导 数 分 别 为对 zyx , ,xududwxw ,yududwyw . zududwzw 则 复 合 函 数而如 果 ),(),()3( yxuyxufz 的 偏 导 数 为),),( yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 把 复 合 函 数 ,),( yxyxfz 中 的 y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 把 ),( yxufz 中 的 u及 y看 作 不变 而 对 x的 偏 导 数两 者 的 区 别 区别类似 解 tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvet cossin ttete tt cossincos .cos)sin(cos tttet 例 5 .,),(2 2 yzxzxyxyz 可 微 ， 求其 中设 例 6 .,),( zuyuxufxyzxyxfu 可 微 ， 求其 中设 .中 间 变 量 可 不 必 写 出 合 函 数 求 导 法 则 之 后 ，在 理 解 并 熟 练 掌 握 了 复例 7 ., ),(),( 22 dxdzf xxyxyyxfu可 微 ， 求 其 中，设 （ 见 板 书 ）二 、 复 合 函 数 的 高 阶 偏 导 数 .),(),( ),(),( ),(),(),( 的 二 阶 偏 导 数我 们 来 求 复 合 函 数连 续 二 阶 偏 导 数 ， 下 面 处 有在 对 应 的 点二 阶 偏 导 数 ， 而 处 有都 在 点与设 yxyxfz vuvufz yxyxvyxu 解 令 ,zyxu ;xyzv 记 ,),(1 uvuff ,),(212 vu vuff 同 理 有 ,2f ,11f .22f xw xvvfxuuf ;21 fyzf zxw2 )( 21 fyzfz ;221 zfyzfyzf zf1 zvvfzuuf 11 ;1211 fxyf zf2 zvvfzuuf 22 ;2221 fxyf 于 是 zxw2 1211 fxyf 2fy )( 2221 fxyfyz .)( 22221211 fyfzxyfzxyf 例 9 .4 ,),( 22222 vuzyzxzf yxvyxuyxfz 证 明 ：具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 其 中，设 三 、 一 阶 全 微 分 形 式 不 变 性.),( dvvzduuzdzvu vufz 微 分 变 量 ， 总 有 全不 论 是 自 变 量 还 是 中 间， 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则设 函 数 （ 1） 如 果 u， v 是 自 变 量 ， 结 论 显 然 。（ 2） 如 果 u， v 是 中 间 变 量 ，在 点 ( x , y )有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数z = f u ( x , y ), v ( x , y )的 全 微 分 可 表 示 为 ：事 实 上 ， dyyzdxxzdz 全 微 分 形 式 不 变 形 的 实 质 ： 无 论 z 是 自 变 量 u， v 的 函 数 或 中 间 变 量 u， v 的 函 数 ， 它 的 全 微 分 形 式 是 一 样 的 .dyyzdxxzdz dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz )()( )()( dyyvdxxvvzdyyudxxuuz dvvzduuz 常 用 的 微 分 公 式 ).0()( ;)( ;)( 2 vv udvvduvud vduudvuvd dvduvud 解 ,0)2( zxy ezed ,02)( dzedzxyde zxy )()2( ydxxdyedze xyz dyexedxeyedz z xyz xy )2()2( xz ,2 z xyeye yz .2 z xyexe22xz 例 11 . ),(),(),( dxdufF xyyxfzzyxFu 均 可 微 ， 求，函 数 其 中，设 1、 链 式 法 则2、 全 微 分 形 式 不 变 性（ 理 解 其 实 质 ）四 、 小 结 设 ),( xvufz ， 而 )(xu ， )(xv ， 则 xfdxdvvfdxduufdxdz ， 试 问 dxdz与 xf 是 否 相 同 ？ 为 什 么 ？ 思 考 题 思 考 题 解 答 不 相 同 .等 式 左 端 的 z是 作 为 一 个 自 变 量 x的 函 数 ， 而 等 式 右 端 最 后 一 项 f 是 作 为 xvu , 的 三 元 函 数 ， 写 出 来 为 xxvux dxduufdxdz ),( .),(),( xvuxxvu xfdxdvvf