第34课图形的相似

第34课 图形的相似 1比和比例的有关概念：比和比例的有关概念：(1)第四比例项：若第四比例项：若 或或abcd，那么，那么d叫做叫做a、b、c的的 (2)比例中项：若比例中项：若 或或abbc，那么，那么b叫做叫做a、c 的的 (3)黄金分割：把一条线段黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线分成两条线段，使其中较长线段段(AC)是原线段是原线段(AB)与较短线段与较短线段(BC)的比例中项，就叫做把的比例中项，就叫做把这条线段这条线段 即即AC2 ，AC AB AB.要点梳理要点梳理第四比例项第四比例项比例中项比例中项黄金分割黄金分割ABBC0.6182比例的基本性质及定理：比例的基本性质及定理：(1)adbc；(2)；(3)(bdn0).3平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 ；(2)平行于三角形一边截其它两边平行于三角形一边截其它两边(或两边的延长线或两边的延长线)，所得的对，所得的对 应线段成应线段成 ；(3)如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线或两边的延长线)，所得的对，所得的对 应线段成应线段成 ，那么这条直线平行于三角形的第三边；，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其它两边平行于三角形的一边，并且和其它两边(或两边的延长线或两边的延长线)相相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例4相似三角形的定义：相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做对应角相等、对应边成比例的三角形叫做 相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的 比例比例比例比例比例比例相似三角形相似三角形相似比相似比5相似三角形的判定：相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线或两边的延长线)相交，相交，所截得的三角形与原三角形相似；所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等；两角对应相等；(3)两边对应成比例且夹角相等；两边对应成比例且夹角相等；(4)三边对应成比例；三边对应成比例；(5)直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例；直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例；(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似相似6相似三角形性质：相似三角形性质：对应角相等，对应边成比例，对应高、对应对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方面积比等于相似比的平方7直角三角形相似的判定及成比例的线段：直角三角形相似的判定及成比例的线段：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形成比例，那么这两个直角三角形相似成比例，那么这两个直角三角形相似 射影定理：如图，射影定理：如图，ABC中，中，ACB90，CD是斜边是斜边AB上上的高，则有下列结论的高，则有下列结论 (1)AC2ADAB；(2)BC2BDAB；(3)CD2ADBD；(4)AC2BC2ADBD；(5)ABCDACBC.1 1证明三角形相似的解题技巧证明三角形相似的解题技巧 判定两个三角形相似的常规思考过程是：判定两个三角形相似的常规思考过程是：先找两对对应先找两对对应角相等，一般这个条件比较简单；角相等，一般这个条件比较简单；若只能找到一对对应角相若只能找到一对对应角相等，则判断相等角的两夹边是否对应成比例；等，则判断相等角的两夹边是否对应成比例；若找不到角相若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；等，就判断三边是否对应成比例；若题目出现平行线，则直若题目出现平行线，则直接运用预备定理得出相似的三角形接运用预备定理得出相似的三角形 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2 2运用相似三角形的判定解决其他问题运用相似三角形的判定解决其他问题 相似三角形的判定方法可用来判定两个三角形相似，也可以相似三角形的判定方法可用来判定两个三角形相似，也可以间接地说明角相等或线段成比例，还可为计算线段及角的大小间接地说明角相等或线段成比例，还可为计算线段及角的大小创造条件，在解决问题时，应从问题结论所需条件入手，灵活创造条件，在解决问题时，应从问题结论所需条件入手，灵活转化有时需把解题中涉及的线段转化到适当的三角形中去考转化有时需把解题中涉及的线段转化到适当的三角形中去考虑，有时要找虑，有时要找“中间比中间比”来替换，使问题得以间接解决来替换，使问题得以间接解决1下列各组线段下列各组线段(单位：单位：cm)中，成比例线段的是中，成比例线段的是()A1、2、3、4 B1、2、2、4 C3、5、9、13 D1、2、2、3 解析：线段解析：线段1、2、2、4中，中，1224.基础自测基础自测B2(2011陕西陕西)如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，E、F分别是分别是AD、CD 边上的点，连接边上的点，连接BE、AF相交于相交于G，延长，延长BE交交CD的延长的延长线于点线于点H，则图中的相似三角形有，则图中的相似三角形有()A2对对 B3对对 C4对对 D5对对 解析：解析：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ABDC，ADBC.ABGFHG，HEDHBC，ABEDHE，ABECHB，相似三角形有四对相似三角形有四对C3(2011北京北京)如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，ADBC，对角线，对角线AC、BD相交于点相交于点O，若，若AD1，BC3，则，则 的值为的值为()A.B.C.D.解析：解析：ADBC，AODCOB，.B4(2011台州台州)若两个相似三角形的面积之比为若两个相似三角形的面积之比为14，则它们的周，则它们的周长之比为长之比为()A12 B14 C15 D116 解析：相似三角形的面积之比为相似比的平方，周长比等于相似解析：相似三角形的面积之比为相似比的平方，周长比等于相似比，所以相似比为比，所以相似比为 .A5(2010潍坊潍坊)如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的矩形到的矩形ABCD沿沿EF对开后，再把矩形对开后，再把矩形EFCD沿沿MN对开，对开，依此类推若各种开本的矩形都相似，那么依此类推若各种开本的矩形都相似，那么 等于等于()A0.618 B.C.D2 解析：因为矩形解析：因为矩形ABCD与矩形与矩形CFED相似，相似，所以所以 .若设若设DEa，则，则AD2a，AB22a2，AB a，.B题型一三角形相似的判定题型一三角形相似的判定【例例1】如图，小正方形的边长均为如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形，则下列图中的三角形(阴影阴影部分部分)与与ABC相似的是相似的是()题型分类题型分类 深度剖析深度剖析A解析：分析可以看出图中解析：分析可以看出图中ABC是钝角三角形，其钝角为是钝角三角形，其钝角为135，且夹这个角的两边的比为且夹这个角的两边的比为2 1，只有，只有A选项中的三角选项中的三角形符合条件根据相似三角形的判定定理，它们是相似三角形，形符合条件根据相似三角形的判定定理，它们是相似三角形，故选故选A.探究提高探究提高 此题考查相似三角形的判定知识及观察能力此题考查相似三角形的判定知识及观察能力知能迁移知能迁移1如图，在如图，在ABC中，中，DEBC，EFAB.求证：求证：ADEEFC.证明：证明：DEBC，EFAB，AEDC，ACEF，ADEEFC.题型二相似三角形的性质题型二相似三角形的性质【例例 2】如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，ADBC，BACD.(1)请再写出图中另外一对相等的角；请再写出图中另外一对相等的角；(2)若若AC6，BC9，试求梯形，试求梯形ABCD的的 中位线的长度中位线的长度 解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！解：解：(1)ADBC，DACBCA.22分分(2)BACD，BCADAC，BCACAD，44分分 ，AC2BCAD，即即629AD，AD4.66分分 梯形梯形ABCD的中位线的中位线 (ADBC)(49)6.5.答：梯形答：梯形ABCD的中位线的长度是的中位线的长度是6.5.88分分 探究提高探究提高 本题主要考查相似三角形的判定、性质，相似三角形性质本题主要考查相似三角形的判定、性质，相似三角形性质的应用等的应用等知能迁移知能迁移2如图，在直角梯形如图，在直角梯形ABCD中，中，ADBC，B90，E是是AB的中点，且的中点，且CEDE.(1)请你判断请你判断ADE与与BEC是否相似，并说明理由；是否相似，并说明理由；(2)若若AD1，BC2，求，求AB的长的长 解：解：(1)相似，理由如下：相似，理由如下：ADBC，B90，AB180，AB90.ADEAED90.CEDE，CED90，AEDBEC90.ADEBEC.又又AB，ADEBEC.(2)ADEBEC，.E是是AB的中点，的中点，AEBE AB.AE2ADBC122，AE .AB2AE2 .答：答：AB的长为的长为2 .题型三相似三角形综合问题题型三相似三角形综合问题【例例 3】如图，矩形如图，矩形PQMN内接于内接于ABC，矩形周长为，矩形周长为24，ADBC交交PN于于E，且，且BC10，AE16，求，求ABC的面积的面积 解：在矩形解：在矩形PQMN中，中，PNQM，APNABC.ADBC，AEPN.设设EDx，矩形矩形PQMN周长为周长为24，PQPN12，PN12x，AD16x，x24x320，解之：得解之：得x14，x28(舍去舍去)，ADAEED20，SABC BCAD 1020100.答：答：ABC的面积是的面积是100.探究提高探究提高 本题考查的关键是本题考查的关键是“相似三角形的对应边上的高线之比相似三角形的对应边上的高线之比等于它们的相似比等于它们的相似比”知能迁移知能迁移3(2011怀化怀化)如图，如图，ABC是一张锐角三角形的硬纸是一张锐角三角形的硬纸片片AD是边是边BC上的高，上的高，BC40 cm，AD30 cm.从这张硬纸从这张硬纸片剪下一个长片剪下一个长HG是宽是宽HE的的2倍的矩形倍的矩形EFGH，使它的一边，使它的一边EF在在BC上，顶点上，顶点G、H分别在分别在AC、AB上，上，AD与与HG的交点为的交点为M.(1)求证：求证：；(2)求这个矩形求这个矩形EFGH的周长的周长解：解：(1)证明：证明：四边形四边形EFGH为矩形，为矩形，EFGH，AHGABC.又又HAGBAC，AHGABC，.(2)解：设解：设HEx，则则HG2x，AMADDMADHE30 x，由由(1)可知，可知，解得，解得，x12,2x24.矩形矩形EFGH的周长为的周长为2(1224)72 cm.题型四相似多边形与位似图形题型四相似多边形与位似图形【例例 4】如图，在如图，在88的网格中，每个小正方形的顶点叫做格的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点，OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出的顶点都在格点上，请在网格中画出OAB的一的一位似图形，使两个图形以位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与为位似中心，且所画图形与OAB的位似比为的位似比为21.解：画图略解：画图略探究提高探究提高 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比位似图形上任意一对做位似中心，这时的相似比称为位似比位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比叫做相似比对应点到位似中心的距离之比叫做相似比知能迁移知能迁移4如图，在长为如图，在长为10 cm、宽为、宽为6 cm的矩形中，截去一个的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分图中阴影部分)与原矩形相似，则留下的与原矩形相似，则留下的矩形的面积是多少？矩形的面积是多少？解：由题意，可知矩形解：由题意，可知矩形ABCD矩形矩形CDEF.，即，即 .DE3.6，S矩形矩形CDEF63.621.6 cm2.1313易出错的三角形相似问题易出错的三角形相似问题考题再现考题再现 如图，在如图，在RtABC与与RtADC中，中，ACBADC90，AC ，AD2，问：当，问：当AB的长为多少时，这两个直角三的长为多少时，这两个直角三 角形相似？角形相似？答题规范答题规范学生作答学生作答 解：在解：在RtADC中，中，AC ，AD2，CD .要使这两个三角形相似，要使这两个三角形相似，有有 ，AB 3.故当故当AB的长为的长为3时，这两个直角三角形相似时，这两个直角三角形相似 规范解答规范解答 解：在解：在RtADC中，中，AC ，AD2，CD .要使这两个三角形相似，要使这两个三角形相似，有有 或或 ，AB 3，或，或AB 3 .故当故当AB的长为的长为3或或3 时，这两个直角三角形相似时，这两个直角三角形相似老师忠告老师忠告 1此题中，两个直角三角形此题中，两个直角三角形RtABC与与RtADC中，中，ACBADC90，B可能与可能与ACD相等，或者相等，或者B与与CAD相等，相等，三角形三角形ABC与与ADC相似可能是相似可能是ABCACD或或ABCCAD.根据对应边成比例，有两种情况需要分类讨论根据对应边成比例，有两种情况需要分类讨论 2分类讨论在几何中的应用也很广泛，可以说整个平面几何的分类讨论在几何中的应用也很广泛，可以说整个平面几何的知识结构贯穿了分类讨论的思想方法知识结构贯穿了分类讨论的思想方法 3在解题过程中，不仅要掌握问题中的条件与结论，还要在推在解题过程中，不仅要掌握问题中的条件与结论，还要在推理的过程中不断地发现题目中的隐含条件，以便全面、正确、迅理的过程中不断地发现题目中的隐含条件，以便全面、正确、迅速地解决问题忽视已知条件，实质上是对概念理解不详、把握速地解决问题忽视已知条件，实质上是对概念理解不详、把握不准的表现不准的表现方法与技巧方法与技巧 1.在平面几何的学习中，在平面几何的学习中，“相似是关键相似是关键”，为了学好相似形，为了学好相似形，要随时与全等形做比较，寻找它们之间的联系与区别因此，要随时与全等形做比较，寻找它们之间的联系与区别因此，全等形是相似比为全等形是相似比为“1”的特殊相似形，相似形则是全等形的的特殊相似形，相似形则是全等形的推广推广 2.从一般和特殊的关系角度，在与全等三角形从一般和特殊的关系角度，在与全等三角形(相似三角形相似三角形的特例的特例)的对比中，掌握相似三角形的性质与判定的对比中，掌握相似三角形的性质与判定思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 3.判定三角形相似的基本思路：判定三角形相似的基本思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理；条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定定理用判定定理1)或再找或再找夹边成比例夹边成比例(用判定定理用判定定理2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；角边对应成比例；(5)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例或找底和腰对应成比例 4.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形失误与防范失误与防范 1在判别两个多边形相似的时候，不能仅凭直观感觉，而应该在判别两个多边形相似的时候，不能仅凭直观感觉，而应该使用准确的判别方法在确定多边形的对应边时，常根据图形的使用准确的判别方法在确定多边形的对应边时，常根据图形的大致形状，长边对长边，短边对短边，当发现有一组对应边的比大致形状，长边对长边，短边对短边，当发现有一组对应边的比与其他对应边的比不相等时，即可说明对应边不成比例，则两个与其他对应边的比不相等时，即可说明对应边不成比例，则两个多边形不相似多边形不相似 2证明比例式或等积式的方法主要有证明比例式或等积式的方法主要有“三点定型三点定型”法法 (1)横向定形：欲证横向定形：欲证 ，横向观察，比例式中分子的两条线，横向观察，比例式中分子的两条线段是段是AB和和BC，三个字母，三个字母A、B、C恰为恰为ABC的顶点；分母的两条的顶点；分母的两条线段是线段是DE和和EF，三个字母，三个字母D、E、F恰为恰为DEF的三个顶点因此的三个顶点因此只需证只需证ABCDEF；(2)纵向定形：欲证纵向定形：欲证 ，纵向观察，比例式中左边的比，纵向观察，比例式中左边的比AB和和BC中的三个字母中的三个字母A、B、C恰为恰为ABC的顶点；右边的比两的顶点；右边的比两条线段条线段DE和和EF中的三个字母中的三个字母D、E、F恰为恰为DEF的三个顶点的三个顶点因此只需证因此只需证ABCDEF；(3)由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后，同点的情况，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形，这种方法就是等量代再考虑运用三点定形法寻找相似三角形，这种方法就是等量代换法在证明比例式时，常常要用到中间比换法在证明比例式时，常常要用到中间比完成考点跟踪训练 34