刚体力学习题课

刚 体 力 学 习 题 课刚 体 运 动 学刚 体 动 力 学 基 本 概 念 与 规 律 力 矩 ， 转 动 惯 量 ， 转 动 定 律 力 矩 的 功 ， 转 动 动 能 ， 转 动 动 能 定 理 角 动 量 ， 角 动 量 定 理 ， 角 动 量 守 恒 定 律JMdmrJFrM 2 21222k J21J21dMJ21EdMA 2121 0tttt JJMdtJLMdtI 00 质 点 力 学 刚 体 力 学 比 较 刚 体 力 学 质 点 力 学 cp0F vmvmdtF constE0A0A E E EAA mv21mv21rdF amF dtvdadtrdv(t)rr i ii i 0tt 非 保 内外 pk非 保 内外 2a2bba0 cL0M JJdtM J21J21dM dmrJJM rararv dtddtd (t) i ii i 0tt 202 2 2nt00 【 例 】 ： 设 矩 形 平 板 对 x、 y、 z轴 的转 动 惯 量 分 别 为 Jx、 Jy、 Jz。 证 明 ： Jz= Jx+ Jy 证 ： 任 取 质 元 dm X yZ dmrx Y xy22 222z JJdmydmx dmyxdmrJ 【 例 】 试 求 图 示 丁 字 尺 对 o轴 的 转 动 惯 量图 解 ： m 2m1 l2l1o222211 m121m31J ll 【 例 】 求 质 量 为 m,半 径 为 R的 匀 质 圆 环 绕通 过 圆 心 并 位 于 圆 平 面 上 的 轴 的 转 动 惯 量图 R Rd ro解 20 2220 2 2 2 mR21dsin2mR 2mdRsin dmRsindmrdJJ 2mdd2 Rmdm Rdd l l在 环 上 任 取 线 元 )Rm(R21)R (RRR m21 )R (R21JJJ R R21Rm21J R R21Rm21JRR m 212241422 122 414212 22222222 212121112122 R1R2 om R2 o R1R2 o= _ 【 例 】 在 半 径 为 R、 质 量 为 M的 匀 质 圆 盘 上距 离 圆 心 R/2处 挖 去 半 径 为 R/2的 小 圆 盘 ，求 剩 余 部 分 对 原 来 盘 心 的 转 动 惯 量 。2MRJjJJ 2oooo 28322212co mR2Rm2Rmm(oc)jj 323MRj4M2R RMm 2o22 oo oR c= _解 ： 222o MR3213323MR2MRJ 理 ：对 小 圆 盘 应 用 平 行 轴 定 314(N)F20.94)3.750.25F )s120.94(5 602-(10000 t0 3.750.2560mRJ JM 20 22 ( )其 中转 动 定 律 ： 0.25FR NRfM 形 成 制 动 力 矩 ： 擦 力 对 轮 轴飞 轮 所 受 外 力 中 只 有 摩【 例 】 图 示 半 径 为 0.25m的 飞 轮 ， 质 量 60kg全 部 分 布 在轮 缘 ， 制 动 杆 闸 瓦 与 轮 缘 间 摩 擦 系 数 =0.4， 当 转 速 为1000r/min时 ， 现 要 在 5s内 使 其 平 稳 制 动 ， 求 制 动 力 F解 ： 2.5FN0.5N0.5)(0.75F ：制 动 杆 所 受 外 力 矩 平 衡 F0.75m0. 5m Nf R o N/ N/G -N 314(N)F104.70.256050.25F s1104.7260s210000.2560mRJ JJJ tM 22 022 00 其 中角 动 量 定 理 ： 0 0.25FR NRfM 对 轮 轴 的 制 动 力 矩 ： 擦 力 形 成飞 轮 所 受 外 力 中 只 有 摩【 例 】 图 示 半 径 为 0.25m的 飞 轮 ， 质 量 60kg全 部 分 布 在轮 缘 ， 制 动 杆 闸 瓦 与 轮 缘 间 摩 擦 系 数 =0.4， 当 转 速 为1000r/min时 ， 要 在 5s内 使 其 平 稳 制 动 ， 求 制 动 力 F解 ： 2.5FN0.5N0.5)(0.75F ：制 动 杆 所 受 外 力 矩 平 衡 F0.75m0. 5m Nf R o N/ N/G -N 【 例 】 某 冲 床 转 动 惯 量 J=4.00 103kgm2,当 它 转 速 为 30r/min时 ， 每 冲 一 次 转 速 降 为10r/min,求 飞 轮 每 冲 一 次 对 外 做 功 。 (J)101.75J94 )J(21J21J21A 360210 60230 42 2022020 功 ：做 功 等 于 外 界 对 飞 轮 做解 ： 冲 击 过 程 飞 轮 对 外 【 例 】 质 量 为 m的 人 在 半 径 为 R、 转 动 惯量 为 J、 角 速 度 为 、 可 自 由 旋 转 的 水 平圆 盘 边 缘 ， 由 静 止 开 始 走 向 圆 心 ， 求 系统 动 能 的 变 化 。 J )mR(JJ)mR(J 22 ， 故 角 动 量 守 恒 ：解 ： 走 动 过 程 无 外 力 矩 o R m 222 2222 222k mRJ )mR(J21 )mR(J21J )mR(JJ21 )mR(J21J21 E 【 例 】 ： 转 动 惯 量 为 J1、 角 速 度 为 0的 飞 轮 与半 径 相 同 、 转 动 惯 量 为 J2的 静 止 飞 轮 接 触 后 ，角 速 度 将 变 为 多 少 ？ f12 m2gm1g f21 N21N12o1 R o2 R0解 ： 设 接 触 t时 间 后 角 速 度 分 别为 1、 2。 对 各 自 的 转 轴 具有 力 矩 的 只 有 f12、 f21。 （ 1）JJJ ffJR tf JJR tf 221101 21122221 011112 021 1 2121 JJ J RR 思 考 ？ . 有 人 认 为 （ 1） 式 也 可以 利 用 系 统 角 动 量 守恒 定 律 得 出 ， 对 吗 ？ 上 例 中 的 两 轮 换 成 下图 所 示 情 况 ， 可 以 利用 定 轴 转 动 角 动 量 守恒 定 律 求 解 吗 ？ 0 【 例 】 设 图 示 装 置 中 的 砝 码 在 t=0时 v=0， （ 1） 求 vt关 系 （ 2） t=4s时 砝 码 下 落 的 距 离 （ 3） 绳 的 张 力2Rgt t2Rg2mRmg m)R(mmgR:（ 3）（ 2） （ 3）mRTRmgR:R(1) (2)mRMR21JTR:M (1)mRmaTmg:m 22 22 M=2m Ro m Tmga NMg4.9m2mgR )m(gmamgT(3) 39.2t24.9vdtdyy(2) 4.9t2gt Rv(1) 4 0240y0 【 例 】 试 求 图 示 装 置 中 两 砝 码 的 加 速 度 。(3)JrTRT:M (2)mRRTmgR:R RmamTgm:m (1)mrmgrrT:r rmamgmT:m 0.055rM21RM21JJJ 12 22 222222 21 111111 222121 1.225Ra0.6125ra 12.25)Rm(rJ r)mg(R )Rm(rJr)mg(R:(3)(2)(1) 21 22 22 m1=2 m2=2M2=4M1=10 R=0.1r=0.05 T2T1 m2=gm1g a2a1 oG N 【 例 】 图 示 小 球 以 速 度 u垂 直 下 落 到 静 止 的 水平 棒 端 发 生 完 全 弹 性 碰 撞 求 碰 后 速 度 v,.(2)mv21J21mu21 mv-Jmu 222 (1)ll 恒 ：解 ： 碰 撞 过 程 角 动 量 守 lll ll l )m(uJmu (5)uvvu:(3)(4) (4)J)vm(u: (3)Jv)m(u 222 :代 入 (1)由 （ 2） :由 （ 1） u3mM 3mMuv3m)(M 6mu m)M(2121mJ2mu 222 ll llll 2lM o umV=?=? 【 例 】 图 示 匀 质 细 棒 自 水 平 位 置 自 由 下 摆 .（ 1） 水 平位 置 和 垂 直 位 置 的 角 加 速 度 （ 2） 位 置 的 角 速 度 。cos23gm31cos 2mg cos2mgM 2 lll l 由 转 动 定 律 ： 中 仅 受 重 力 矩取 杆 为 对 象 ， 下 摆 过 程解 ： mo l 000 sin3gcos d23g d d d ddtddddtddtd(2) 0:223g:0(1) lll 【 例 】 转 动 惯 量 为 J的 圆 盘 以 初 角 速 度 0绕固 定 轴 转 动 ， 在 阻 力 矩 M=-k 作 用 下 ， 角 速度 减 半 所 需 时 间 。 kJln2Jkln2 dtJkddtJkd dtdJkJM 2 000 律 ：唯 一 外 力 矩 。 由 转 动 定 速 过 程 中 所 受 的由 题 知 阻 力 矩 是 圆 盘 减:解 【 例 】 质 量 为 m的 子 弹 ， 以 速 度 v0 水 平 射 入 放 在 光 滑水 平 面 上 、 质 量 为 m0 、 半 径 为 R的 圆 盘 边 缘 。 如 图 。试 求 子 弹 射 入 圆 盘 后 圆 盘 的 角 速 度 m v 0 m0Ro)Rm(2m2mv)R2m(m mv )Rm21(mRRmv 000 0 2020 解 ： 子 弹 射 入 圆 盘 过 程 ， 合外 力 矩 为 零 ， 故 角 动 量 守 恒