信号与系统第二章习题

X经 典 法 ：双 零 法卷 积 积 分 法 ： 求 零 状 态 响 应 内 容 摘 要 状 态 变 量 描 述 法输 出 描 述 法输 入建 立 系 统 的 数 学 模 型求解系统响应 定 初 始 条 件 满 足 换 路 定 则起 始 点 有 跳 变 ： 求 跳 变 量零 输 入 响 应 ： 用 经 典 法 求 解零 状 态 响 应 ： 卷 积 积 分 法 求 解 00 00 LL cc ii uu X 例 题 例 题 1： 连 续 时 间 系 统 求 解 （ 经 典 法 ， 双 零 法 ） 例 题 2： 求 冲 激 响 应 （ nm） 例 题 3： 求 系 统 的 零 状 态 响 应 例 题 4： 卷 积 例 题 5： 系 统 互 联 X 例 2-1 强 迫 响 应 。状 态 响 应 ， 自 由 响 应 ，并 指 出 零 输 入 响 应 ， 零 ， 求 系 统 的 全 响 应 ，已 知 系 统 的 微 分 方 程 为描 述 某 tuterr tettetrttrt tr ,00,20 6dd22dd3ddLTI 22 X 000 )(zs)()( kkk rrr分 别 利 用 00 )()(zs kk rr ，求 零 状 态 响 应 和 完 全 响 应 ， 需 先 确 定 微 分 方 程 的 特 解 。 这 三 个 量 之 间 的 关 系 是 分 析在 求 解 系 统 的 完 全 响 应 时 ， 要 用 到 有 关 的 三 个 量 是 ： 0)(kr ： 起 始 状 态 ， 它 决 定 零 输 入 响 应 ； 0)(zskr ： 跳 变 量 ， 它 决 定 零 状 态 响 应 ； 0)(kr ： 初 始 条 件 ， 它 决 定 完 全 响 应 ； X 解 ： 代 入 原 方 程 有将 tute tuttrttrt tr 622dd3dd 22 方 法 二 ： 用 方 法 一 求 零 输 入 响 应 后 ， 利 用 跳 变 量 0,0 zszs rr来 求 零 状 态 响 应 ， 零 状 态 响 应 加 上 零 输 入 响 应 等 于 完全 响 应 。 方 法 一 ： 利 用 0,0 rr响 应 ， 零 状 态 响 应 等 于 完 全 响 应 减 去 零 输 入 响 应 。 先 来 求 完 全 响 应 ， 再 求 零 输 入本 题 也 可 以 用 卷 积 积 分 求 系 统 的 零 状 态 响 应 。 X 方 法 一该 完 全 响 应 是 方 程 tuttrttrt tr 622dd3dd 22 （ 1） 的 解且 满 足 00,20 rr方 程 （ 1） 的 特 征 方 程 为 0232 特 征 根 为 21 21 ， 1. 完 全 响 应 X 方 程 （ 1） 的 齐 次 解 为 tt AAtr 221 ee 因 为 方 程 （ 1） 在 t0时 ， 可 写 为 tutrttrt tr 62dd3dd 22 显 然 ， 方 程 （ 1） 的 特 解 可 设 为 常 数 D， 把 D代 入 方 程（ 2） 求 得 3D所 以 方 程 （ 1） 的 解 为 3ee 221 tt AAtr下 面 由 冲 激 函 数 匹 配 法 定 初 始 条 件 。 （ 2） X 由 冲 激 函 数 匹 配 法 定 初 始 条 件据 方 程 （ 1） 可 设 tubtat tr 22dd tuattr dd 无 跳 变tr代 入 方 程 （ 1） ， 得 tuttrtuatubta 6223 匹 配 方 程 两 端 的 ， 及 其 各 阶 导 数 项 ， 得 t 2a X 所 以 22000 arr 200 rr 代 入把 20,20 rr 3ee 221 tt AAtr1,0 21 AA得 ， 所 以 系 统 的 完 全 响 应 为 0 3e 2 ttr t trzi再 求 零 输 入 响 应 X 2.求 零 输 入 响 应 是 方 程响 应因 为 激 励 为 零 ， 零 输 入 trzi 02d3dd 22 trdttrt tr （ 3） 的 解 。，且 满 足 0000 2000 zizi zizi rrr rrr（ 3） 式 的 特 征 根 为 21 21 ，方 程 （ 3） 的 齐 次 解 即 系 统 的 零 输 入 响 应 为 tt BBtr 2 21zi ee X tt BBtr 221zi ee 式 解 得， 代 入，由 )4(0020 zizi rr 2,4 21 BB所 以 ， 系 统 的 零 输 入 响 应 为 0 e2e4 2 zi ttr tt下 面 求 零 状 态 响 应 。 X 3.求 零 状 态 响 应 零 状 态 响 应 =完 全 响 应 零 输 入 响 应 ， 即 0 3ee4 2zs ttr tt因 为 特 解 为 3， 所 以 强 迫 响 应 是 3， 自 由 响 应 是 tt 2ee4 X 方 法 二 是 方 程零 状 态 响 应 trzs tuttrttrt tr 622dd3dd 22 （ 5） 的 解且 满 足 000 zszs rr 项由 于 上 式 等 号 右 边 有 t 应 含 有 冲 激 函 数 ， 故 tr zs 将 发 生 跳 变 ， 即从 而 tr zs 00 zszs rr 处 是 连 续 的 。在而 0zs ttr以 上 分 析 可 用 下 面 的 数 学 过 程 描 述 tuatrttubtatrt zszs22 dd ,dd X 代 入 （ 5） 式 tuttrtuatubta 6223 根 据 在 t=0时 刻 ， 微 分 方 程 两 端 的 及 其 各 阶 导 数 应该 平 衡 相 等 ， 得 t2a于 是 00 200 0zszs zszs rr arrt0时 ， 方 程 为 tutrttrt tr 62dd3dd 22 X 齐 次 解 为 ee 221 tt DD ， 特 解 为 3， 于 是 有 3ee 221zi tt DDtr 得由 初 始 条 件 00,20 zszs rr 1,4 21 DD所 以 ， 系 统 的 零 状 态 响 应 为 0) ( 3ee4 2zs ttr tt方 法 一 求 出 系 统 的 零 输 入 响 应 为 0 e2e4 2zi ttr tt完 全 响 应 =零 状 态 响 应 +零 输 入 响 应 ， 即 0)( 3e 2 ttr t X 例 2-2 。试 求 其 冲 激 响 应 为已 知 某 系 统 的 微 分 方 程)( 2dd36dd5dd 22 th tettetrttrt tr 冲 激 响 应 是 系 统 对 单 位 冲 激 信 号 激 励 时 的 零 状 态 响 应 。在 系 统 分 析 中 ， 它 起 着 重 要 的 作 用 。 下 面 我 们 用 两 种 方法 来 求 解 本 例 。 方 法 ： 奇 异 函 数 项 相 平 衡 法 X 奇 异 函 数 项 相 平 衡 法 首 先 求 方 程 的 特 征 根 ， 得 3,2 21 因 为 微 分 方 程 左 边 的 微 分 阶 次 高 于 右 边 的 微 分 阶 次 ，冲 激 响 应 为 tuAAth tt 3221 ee 对 上 式 求 导 ， 得 tuAAtAAtth tt 322121 e3e2dd tuAA tuAAtAAt th tt tt 3221 32212122 e9e4 e3e2dd (1) X 入 原 微 分 方 程 ， 整 理， 以 及 上 述 三 个 等 式 代将 tte tttAAtAA 2323 2121 则 得 223 321 21 AA AA解 得 74 21AA代 入 （ 1） 得 tuth tt 32 e7e4 X 例 2-3已 知 线 性 时 不 变 系 统 的 一 对 激 励 和 响 应 波 形 如 下 图 所 示 ，求 该 系 统 对 激 励 的 零 状 态 响 应 。 1sin tututte O1 2 t te O1 2 t tr1 1 3对 激 励 和 响 应 分 别 微 分 一 次 ， 得 2 ttte 32 1 tutu tututr O 1 2 t te O1 2 t tr1 1 3 1 1 X 时 ，当 激 励 为 tte 1 tututr响 应 为 时 ，于 是 ， 当 激 励 为 tte 1 tututr响 应 为)1()()( tututh即 时 的 零 状 态 响 应 为当 激 励 为 1sin tututte 2cos11 2dsin2dsin 11sin 1 10 tutut tutututu tutututut thtetr tt X此 题 如 果 直 接 利 用 卷 积 微 分 与 积 分 性 质 计 算 ， 则 将 得 出错 误 的 结 果 。 例 2-4 o t tf1 1 2 1 o t tf2 1 1 11 tue t 时 不 等 于 零 ；在其 原 因 在 于 ttf1 11 1 tttf 点 有 一 个 冲 激 信 号只 在从 图 形 上 看 ， ， 即分 并 不 能 恢 复 原 信 号然 而 ， 对 此 微 分 信 号 积 tf1 tftuf tt 11 1d1ddd ， 并 画 出 波 形 。计 算 卷 积 )()( 21 tftf X显 然 ， 所 有 的 时 限 信 号 都 满 足 上 式 。 对 于 时 限 信 号 ， 可以 放 心 地 利 用 卷 积 的 微 分 与 积 分 性 质 进 行 卷 积 计 算 。 从 原 理 上 看 ， 如 果 t dfttftftf dddd 1121则 应 有 t ftf ddd 11很 容 易 证 明 ， 上 式 成 立 的 充 要 条 件 是 0lim 1 tft 1e 11 1 21 tutftutf t此 题 若 将 f1(t)看 成 两 个 信 号 的 叠 加 ， 则 也 可 以 利 用 该 性质 计 算 ： X tu t uttuu tututu tutu tftfts tt t t tt t e11de1 de1de d1ed 1dd1e 1e11e1 1e11 11 1 1 11 1 11 11 121 1e1e1 11 tutu tt注 意 ： o 12 t)()( 21 tftf X 例 2-5对 图 (a)所 示 的 复 合 系 统 由 三 个 子 系 统 构 成 ， 已 知 各 子 系统 的 冲 激 响 应 如 图 (b)所 示 。(1)求 复 合 系 统 的 冲 激 响 应 h(t) ， 画 出 它 的 波 形 ；(2)用 积 分 器 、 加 法 器 和 延 时 器 构 成 子 系 统的 框 图 ; thth ba 和 o ot ttha thb1 21 11 (b) tha thbtha tf ty (a) X 分 析 本 例 的 总 系 统 是 几 个 子 系 统 串 、 并 联 组 合 而 成 的 。对 因 果 系 统 而 言 ， 串 联 系 统 的 冲 激 响 应 等 于 各 串 联 子系 统 的 冲 激 响 应 卷 积 ； 并 联 系 统 的 冲 激 响 应 等 于 各 并联 子 系 统 的 冲 激 响 应 相 加 。系 统 的 零 状 态 响 应 ， 可 以 用 系 统 的 微 分 方 程 求 解 ， 也可 以 用 系 统 的 冲 激 响 应 与 激 励 信 号 的 卷 积 求 解 。 后 一种 方 法 回 避 了 起 始 点 跳 变 问 题 ， 但 是 ， 这 种 方 法 只 限于 求 零 状 态 响 应 ， 不 能 求 完 全 响 应 。 其 原 因 在 于 卷 积运 算 是 一 种 线 性 运 算 ， 它 满 足 叠 加 性 、 齐 次 性 与 时 不变 性 。 而 当 系 统 的 起 始 状 态 不 为 零 时 ， 系 统 的 完 全 响应 不 满 足 叠 加 性 、 齐 次 性 与 时 不 变 性 。 X （ 1） 求 h(t) 复 合 系 统 的 冲 激 响 应 为 为时 ， 系 统 的 零 状 态 响 应当 ),(thttf thththth baa 其 波 形 如 图 O t th 11 2 3(c) X (2) (d)T sT 1 的 框 图和子 系 统 thth ba由 于 tutttututha 11 tha 框 图 如 图 (d)所 示 的 关 系 为和子 系 统 thth ba 1 thth ab 所 示的 框 图 如 图故 (e)thb (e)T sT 1 T X 课 后 作 业1-6 ： 采 用 Matlab plot函 数 作 图