一曲面方程概念

一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、常见的二次曲面及其方程二、常见的二次曲面及其方程二、常见的二次曲面及其方程二、常见的二次曲面及其方程三、空间曲线的方程三、空间曲线的方程三、空间曲线的方程三、空间曲线的方程四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影第六节第六节 二次曲面与空间曲线二次曲面与空间曲线第一模块第一模块第一模块第一模块 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 若曲面若曲面 上的点的坐标都满足方程上的点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0(或或 z=f(x,y)，而不在曲面而不在曲面 上的点的坐标上的点的坐标都不满足方程都不满足方程 F(x,y,z)=0(或或 z=f(x,y)，则则称称方程方程 F(x,y,z)=0(或或 z=f(x,y)为为曲面曲面 的方程的方程.而曲面而曲面 就称为就称为方程方程 F(x,y,z)=0(或或 z=f(x,y)的图形的图形.一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念1.球面方程球面方程球心在球心在 M0(x0,y0,z0)，半径为半径为 R 的球面方程的球面方程半径为半径为 R 的球面方程为的球面方程为球心在原点时，球心在原点时，二、常见的二次曲面及其方程二、常见的二次曲面及其方程二、常见的二次曲面及其方程二、常见的二次曲面及其方程 半径为半径为 1 的的球面球面.例例 1表示怎样的曲面表示怎样的曲面?解解原原方程两边同时除以方程两边同时除以 2，并并将将常数项移到等式右端，常数项移到等式右端，得得配方得配方得所以，所以，原方程表示球心在原方程表示球心在 定定曲曲线线 C 称称为柱面的为柱面的准线准线.2.母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程动直线动直线 L 沿给定曲线沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面，平行移动形成的曲面，称为称为柱面柱面，动直线动直线 L 称为柱面的称为柱面的母线母线，LC 柱面的形成柱面的形成 由于方程由于方程 f(x,y)=0 不不含含 z，所所以点以点 M(x,y,z)也满足方程也满足方程 f(x,y)=0.设设 M(x,y,z)为柱面上的任一点，为柱面上的任一点，过过M 作平行于作平行于 z 轴的直线交轴的直线交 x y 坐标面于点坐标面于点 由柱面定由柱面定义可知义可知 必在准线必在准线 C 上上.所以所以 的坐标满足曲线的坐标满足曲线 C 的方程的方程 f(x,y)=0.而不在柱面上而不在柱面上的点作平行于的点作平行于 z 轴的直线轴的直线 与与 x y 坐标面的交点必不在曲线坐标面的交点必不在曲线 C 上，上，也就是说不在柱面上的点的坐也就是说不在柱面上的点的坐标不满足方程标不满足方程 f(x,y)=0.所以，所以，不含变量不含变量 z 的方程的方程xyzOMLC 现在来建立以现在来建立以 x y 坐标面上的曲线坐标面上的曲线 C:f(x,y)=0 为准线，为准线，平行于平行于 z 轴的直线轴的直线 L 为母线为母线 的柱面方程的柱面方程.f(x,y)=0 在空间表示以在空间表示以 x y 坐标面上的曲线为准线，坐标面上的曲线为准线，平行于平行于 z 轴的直线为母线的柱面轴的直线为母线的柱面.类似地，类似地，不含变量不含变量 x 的方程的方程f(y,z)=0 平行于平行于 x 轴的直线为母线的柱面轴的直线为母线的柱面.在空间表示以在空间表示以 y z 坐标面上的曲线为准线，坐标面上的曲线为准线，而不含变量而不含变量 y 的方程的方程f(x,z)=0在空间表示以在空间表示以 x z 坐标面上的曲线为准线，坐标面上的曲线为准线，平行于平行于 y 轴的直线为母线的柱面轴的直线为母线的柱面.例如方程例如方程 在空间表示以在空间表示以 x y 坐标面坐标面上的圆为准线、上的圆为准线、平行于平行于z 轴的直线为母线的柱面轴的直线为母线的柱面.称为称为圆柱面圆柱面xyzO 方程方程 y=x2 在空间表示以在空间表示以 x y 坐标面上的抛物坐标面上的抛物线为准线、线为准线、平行于平行于z 轴的直线为母线的柱面轴的直线为母线的柱面.称为称为抛物柱面抛物柱面.xyzO 平行于平行于 y 轴的直线为母线的柱面轴的直线为母线的柱面,方程方程 在空间表示以在空间表示以 x z 坐标面上的椭坐标面上的椭圆为准线，圆为准线，称为椭称为椭圆柱面圆柱面.xyzO2 绕绕 z 轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面 的方程的方程.现在来建立现在来建立 y z 面上曲线面上曲线 C:f(y,z)=0 设设 M(x,y,z)为旋转曲为旋转曲面上任意一点，面上任意一点，过点过点 M 作平作平面垂直于面垂直于 z 轴，轴，交交 z 轴于点轴于点 P(0,0,z)，交曲线交曲线 C 于点于点M0(0,y0,z0).由于点由于点 M 可可以由点以由点 M0 绕绕 z 轴旋转得到，轴旋转得到，因此有因此有3.以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程平面曲线平面曲线 C 绕同一平面上定直线绕同一平面上定直线 L 旋转所形旋转所形成的曲面，成的曲面，称为旋转曲面，称为旋转曲面，定直线定直线 L 称为旋转轴称为旋转轴.xyzOMM0PCf(y0,z0)=0所以所以又因为又因为 M0 在曲线在曲线 C 上，上，将将、代入代入 f(y0,z0)=0，即得即得旋转曲面方程旋转曲面方程:同理，曲线同理，曲线 C 绕绕 y 轴旋转成的曲面方程为轴旋转成的曲面方程为所以所以yzOMM0PC 旋转曲面的形成旋转曲面的形成 例例 2 将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求所得旋转曲面方程所得旋转曲面方程:(1)y z 坐标面上的直线坐标面上的直线 z=ay(a 0)，绕绕 z 轴轴.(2)y z 坐标面上的抛物线坐标面上的抛物线 z=ay2(a 0)，绕绕 z 轴轴.(3)x y 坐标面上的椭圆坐标面上的椭圆 分别绕分别绕 x、y 轴轴.解解 (1)y z 坐标面上的直坐标面上的直线线 z=ay(a 0)绕绕 z 轴旋转，轴旋转，故故 z 保持不变，将保持不变，将 y 换成换成则得则得 即所求旋转曲面方程为即所求旋转曲面方程为表示的曲面称为表示的曲面称为圆锥面圆锥面，点点 O 称为圆锥的顶点称为圆锥的顶点.(2)y z 坐标面上的抛物线坐标面上的抛物线 z=ay2 绕绕 z 轴旋转所轴旋转所得的曲面方程为得的曲面方程为 该曲面称为该曲面称为旋转抛物面旋转抛物面.其特征是其特征是:当当 a 0 时，旋转时，旋转抛物面的开口向下抛物面的开口向下.一般地，一般地，所所表示的曲面称为表示的曲面称为椭圆抛物面。椭圆抛物面。方程方程xyzO (3)x y 坐标面上的椭圆坐标面上的椭圆 绕绕 x 轴旋轴旋转，转，故故 x 保持不变，保持不变，而而将将 y 换成换成 得旋转得旋转曲面的方程为曲面的方程为该该曲面称为曲面称为旋转椭球面旋转椭球面.类似地，该椭圆绕类似地，该椭圆绕 y 轴旋转而得的旋转椭球面轴旋转而得的旋转椭球面的方程为的方程为 一般地，方程一般地，方程所所表示的曲面称为表示的曲面称为椭球面椭球面.其其特征是特征是:用坐标面或平用坐标面或平行于坐标面的平面行于坐标面的平面 x=m，y=n，z=h(a m a，b n b，c h c)截曲面所得到的交线均为截曲面所得到的交线均为椭圆椭圆.当当 a，b，c 中有中有 a=b 或或 b=c或或 a=c 时，时，即为即为旋转椭球面，旋转椭球面，当当 a=b=c 时，即为球面时，即为球面.xyzO1.1.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程称为空间称为空间曲线的一般方程曲线的一般方程例例 3下列方程组表示什么曲线下列方程组表示什么曲线?三、空间曲线的方程三、空间曲线的方程三、空间曲线的方程三、空间曲线的方程 z=3 是平行于是平行于 x y 坐标面的平面，坐标面的平面，因而它们的交线是在平面因而它们的交线是在平面 z=3 上的圆上的圆.(1)因为因为 x2+y2+z2=25 是球心在原点，是球心在原点，半径为半径为 5 的球面，的球面，解解xyzO 因而它们的交线是在因而它们的交线是在 x y 坐标面上坐标面上的圆的圆 z=0 是是 x y 坐标面，坐标面，(2)因为第一个方程所表示的球面与因为第一个方程所表示的球面与(1)相同，相同，若若把把(2)写成同解方程组写成同解方程组 它表示母线平行于它表示母线平行于 z 轴的轴的圆柱面与圆柱面与 x y 坐标面的交线坐标面的交线.这这样更清楚地看出它是样更清楚地看出它是 x y 坐标坐标面上的圆面上的圆xyzO t 为参数为参数.2.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线空间曲线 上动点上动点 M 的坐标的坐标 x，y，z 也可以用也可以用另一个变量另一个变量 t 的函数来表示，的函数来表示，即即形如形如上上的方程组称为的方程组称为曲线曲线 的参数方程的参数方程，则从则从 P0 到到 P 所转所转过的角过的角 =t，质点在质点在 P0(R,0,0)处，处，向平行于向平行于 z 轴的方向上升轴的方向上升.例例 4 设质点在圆柱面设质点在圆柱面 上以均匀的上以均匀的角速度角速度 绕绕 z 轴旋转，轴旋转，同时又以均匀的线速度同时又以均匀的线速度 v运动开始，即运动开始，即 t=0 时，时，求质点的运动方程求质点的运动方程.解解 设设时间时间 t 时，时，质质点点的的位位置置为为 P(x,y,z)，由由 P 作作 x y 坐标面的垂线坐标面的垂线垂足为垂足为 Q(x,y,0)上升的高度上升的高度 QP=vt，即质点的运动方程为：即质点的运动方程为：此此方程称为方程称为螺旋线方程螺旋线方程.zyxP0QP O设设 为已知空间曲线，为已知空间曲线，则则以以 为准线，为准线，平行于平行于 z 轴的直线为母线的柱面，轴的直线为母线的柱面，称为空间曲线称为空间曲线 关于关于 x y 坐标面的坐标面的投影柱面投影柱面.而投影柱面与而投影柱面与 x y 坐标面的交线坐标面的交线 C称为曲线称为曲线 在在 x y 坐标面的坐标面的投影曲线投影曲线.类似地，类似地，可可以定义曲线以定义曲线 关于关于 y z 坐标面、坐标面、z x 坐标面的投影柱坐标面的投影柱面及投影曲线面及投影曲线.设设空间曲线空间曲线 的方程为的方程为消消去去 z，得，得G(x,y)=0.四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影 就就可得到可得到 关于关于 yz 坐标面坐标面 或者或者 zx 坐标面的投影柱面坐标面的投影柱面方程，方程，可知满足曲线可知满足曲线 的方程一定满足方程的方程一定满足方程 G(x,y)=0，而而 G(x,y)=0 是是母线平行于母线平行于 z 轴的柱面方程，轴的柱面方程，因此，柱面因此，柱面 G(x,y)=0 就是曲线就是曲线 关于关于 x y 坐标坐标面的投影柱面面的投影柱面.而而就是曲面就是曲面 在在 x y 坐标面上的投影曲线的方程坐标面上的投影曲线的方程.同理，同理，从曲线从曲线 的方程中消去的方程中消去 x 或者或者 y，从而也可得到在相应的投影曲线的方程从而也可得到在相应的投影曲线的方程.得得 x2+y2 3x 5y=0，在在 x y 坐标面上坐标面上的投影的投影曲线曲线的方程的方程.例例 5求求曲线曲线解解从从曲线曲线 的方程中消去的方程中消去 z，即即它是曲线它是曲线 关于关于x y 坐标面的投坐标面的投影柱面影柱面 圆柱面的方程，圆柱面的方程，在在 x y 坐标面上投影曲线是圆坐标面上投影曲线是圆.空间直线在空间直线在 坐标面上的投影坐标面上的投影 例例 6求求曲线曲线 在在 x y,y z 坐标面上的投影曲线的方程坐标面上的投影曲线的方程.解解就是就是 关于关于x y 坐标面的坐标面的投影柱面方程，投影柱面方程，因而曲因而曲线线 在在 x y 坐标面上的坐标面上的投影曲线是圆投影曲线是圆.从从曲线曲线 的方程中消去的方程中消去 x，得到曲线得到曲线 关于关于 y z 坐标面的投影柱面的方程坐标面的投影柱面的方程所以所以 在在 y z 坐标面的投影曲线是一段抛物线坐标面的投影曲线是一段抛物线(0 y 8).