等差数列的求和公式

探 究 发 现问 题 ： 123100 10099981 获 得 算 法 ：图 案 中 ， 第 1层 到 第 100层 一 共 有 多 少 颗宝 石 ？ 5050 2 )1001(100100 S 问 题 1： 1+2+3+ +n=?1 2 3 ( 1)( 1) ( 2) 2 12 (1 ) (1 ) (1 )( 1) 2nn n nnS n nS n n nS n n nn nS (倒 序 相 加 法 ） 解 ： nnn aaaaaS 1321 . *,Nqpnm aaaa qpnm qpnm 、则若 nnn aaaaS 121 为 偶 数 时当 n)1( nnnn aaaaS 1221)(2 1 nn aanS 为 奇 数 时当 n)2( nnnnn aaaaaS 121211211 nS 2 11 )(2 1 nn aaan 2)(2 1 2 12 11 nnn aaaan 21 naa )(2 1 naan 设 等 差 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn,即 ： . 23121 nnn aaaaaa 2 )( 1 nn aanS 个 （ n nnnn aaaaaaS )2 111 等差数列的前n项和公式的另一种推导)1()2()( 1111 dnadadaaSn )1()2()( dnadadaaS nnnnn )1 naan （ 2 )1 nn aanS （ :nSd 下 两 种 方 式 表 示的 等 差 数 列 ， 我 们 用 以对 公 差 为 例 2 等 差 数 列 -10， -6， -2， 2， 前 多 少 项 的 和 为 54？nS 2 5 1 2 1 5 1 66 1 1. (1) : 3 6 ,( )32 2 0 , naa a a a Sa S 在 等 差 数 列 中 求例 已 知已 知 ： 求2 )( 1 nn aanS 36)(2 152 aa 18152 aa)(8 152 aa 14418816 S2 )(16 16116 aaS 例题解析 例 2： 等 差 数 列 an中 , d=4, an=18, Sn=48,求 a1的 值 。 dnnnaS n 2 )1( 1 解 ： 由 an= a1+(n-1)d得 ： 18= a1+(n-1)4 42 )1(84 1 nnna解 得 ： n = 4 n = 6a1=6 a1= -2 或 例 2、 已 知 一 个 等 差 数 列 an 的 前 10项 的 和 是 310， 前 20项 的 和 是 1220， 由 这 些 条 件 能 确 定 这 等 差 数 列 的 前 n项 和 的公 式 吗 ？ 分 析 ： 方程 思 想 和前 n项 和公 式 相 结合分 析 ： 将 已 知 条 件 代 入 等 差 数 列 前 n项 和的 公 式 后 ， 可 以 得 到 两 个 关 于 首 项 和 公 差的 关 系 式 ， 他 们 是 关 于 首 项 和 公 差 的 二 元一 次 方 程 ， 由 此 可 以 求 得 首 项 和 公 差 ， 从而 得 到 所 求 的 前 n项 和 的 告 诉 .解 ： 由 题 意 知 ： S10 310， S20 1220， 将 它 们 代 入 公 式 1 ( 1)2n n nS na d 得 到 1110 45 31020 190 1220a da d 1 46ad 解 方 程 得2( 1)4 6 32n n nS n n n 2 13. ,2na n n n例 已 知 数 列 的 前 n项 和 为 S 求 这 个 数 列的 通 项 公 式 ， 这 个 数 列 是 等 差 数 列 吗 ?如 果 是 ， 它 的首 项 与 公 差 分 别 是 什 么 ？1 2 1n n nS a a a a 解 ： 1 1 2 1( 1)n nS a a a n 当 n 1时 ： 212)1(21)1(21 221 nnnnnssa nnn 当 n=1时 ： 231211211 sa 也 满 足 式 .1 2 .2n na a n 数 列 的 通 项 公 式 为 3 2 .2 na 是 以 为 首 项 ， 公 差由 此 可 为 的 等知 ： 列 差 数 列数 2 44 . 5 4 . ,7 7 . nn n Sn例 已 知 等 差 数 列 ， ， 3 ， 的 前 项 和 为求 使 得 S 最 大 的 序 号 的 值【 解 析 】 由 题 意 知 ， 等 差 数 列 的 公 差 为 752( 1) 5 5 1 5 1 1 2 55 ( ) ( )2 7 1 4 2 5 6 n n nS n n 215 nS于 是 ， 当 n取 与 最 接 近 的 整 数 即 7或 8时 ， 取 最 大 值答 案 : 27练 习 1、练 习 2、 等 差 数 列 10， 6， 2， 2， 的 前 _项 的 和 为 54？ na在 等 差 数 列 中 ，1 20, 54, 999, .n na a S n 求答 案 : n=9， 或 n=-3（ 舍 去 ） 14, 54 10 4 2n nd n 提 示 ： 20+54999 2n提 示 ：仍 是知 三求 一 1.等 差 数 列 前 n项 和 Sn公 式 的 推 导2.等 差 数 列 前 n项 和 Sn公 式 的 记 忆 与 应 用 ；2 )( 1 nn aanS dnnnaSn 2 )1(1