《图形的认识与测量》知识梳理及典型例题

图形的认识和测量 立 体 图 形平 面 图 形 线 （ 直 线 、 射 线 、 线 段 ） 和 角三 角 形四 边 形圆 （ 圆 、 扇 形 ）长 方 体 、 正 方 体圆 柱 、 圆 锥球图 形 的 测 量 周 长面 积 （ 面 积 、 表 面 积 ）体 积 （ 体 积 、 容 积 ） 一 、 线 （ 直 线 、 射 线 、 线 段 ） 和 角1、 直 线直 线 的 表 示 方 法记 作 ： 直 线 AB或 直 线 BA或 直 线 a直 线 直 线 没 有 端 点 ， 它 可 以 向 两 方 无 限 延 伸 ， 不 可以 测 量 其 长 度 ； 两 点 确 定 一 条 直 线 。. .A B a 2、 射 线射 线 的 表 示 方 法记 作 ： 射 线 OA射 线 射 线 只 有 一 个 端 点 ， 只 能 向 一 方 无 限 延 伸 ， 不可 以 测 量 长 度 ； 从 一 点 可 以 引 出 无 数 条 射 线 。. .O A 3、 线 段线 段直 线 上 任 意 两 点 之 间 的 部 分 叫 做 线 段 。 这 两 点 叫 做 线 段 的 端 点 。线 段 的 表 示 方 法线 段 的 性 质两 点 之 间 ， 线 段 最 短 。. .A B . .a 4、 直 线 、 射 线 和 线 段 之 间 的 联 系 与 区 别直 线 、 射 线 和 线 段 的 联 系 与 区 别直 线 没 有 端 点 ， 可 以 向 两 方 无 限 延 伸 不 可 以 测 量 长 度射 线 一 个 端 点 ， 可 以 向 一 方 无 限 延 伸 不 可 以 测 量 长 度线 段 有 两 个 端 点 可 以 测 量 长 度 判 断 正 误 。1、 直 线 是 无 限 长 的 。 2、 射 线 没 有 端 点 。3、 一 条 直 线 上 的 两 点 把 这 条 直 线 分 成 3条 射 线 。 填 空 题 。下 图 中 共 有 （ ） 条 直 线 ， （ ） 条 射 线 ，（ ） 条 线 段 。 . . .A B C D分 析 :直 线 1条 ； 射 线 8条 ， 分 别 是 以 A、 B、 C、 D为 端 点 左 右 两 条 ，有 4 2 8条 ； 线 段 有 6条 ， 分 别 是 线 段 AB、 BC、 CD、 AC、 BC、 AD。1 86 5、 两 条 直 线 之 间 的 关 系关 系 展 示 图关 系 平 行 相 交相 交 垂 直图 例展 示特 点 没 有 交 点 只 有 一 个 交 点 相 交 成 直 角 5、 两 条 直 线 之 间 的 关 系垂 直 经 过 直 线 上 或 直 线 外 一 点 ， 有 且 只 有 一 条 直 线 和 已 知 直 线 垂 直 。 从 直 线 外 一 点 到 直 线 的 线 段 中 ， 垂 线 段 最 短 。平 行 经 过 直 线 外 一 点 ， 有 且 只 有 一 条 线 段 与 这 条 直 线 平 行 。 如 果 两 条 直 线 都 和 第 三 条 直 线 平 行 ， 那 么 这 两 条 直 线 也 互 相 平行 。 如 下 图 ， 分 别 过 A点 ， 画 两 条 直 线 的 垂 线 。分 析 :画 垂 线 的 方 法 , 三 角 板 的 一 条 直边 与 已 知 直 线 重 合 ； 平 移 三 角 板 ， 使另 一 条 直 边 与 点 重 合 ； 按 住 三 角 板 ，沿 一 条 直 角 边 向 另 一 条 直 角 边 画 直 线 。 .ABC .A解 :如 图 ， 直 线 AB、 AC就 是 所 要 画的 垂 线 ， 垂 足 分 别 是 点 B和 点 C。 6、 角角 的 组 成2条 边 ； 1个 顶 点 。角 的 表 示 方 法记 作 ： AOB或 BOA或 1角 的 分 类 .0 AB1角 的 名 称 锐 角 直 角 钝 角 平 角 周 角度 数 范 围 0 a 9 0 a 9 0 9 0 a 1 8 0 a 1 8 0 a 3 6 0 6、 角角 的 大 小 是 由 两 条 边 张 开 的 程 度 决 定 的 ， 与 边 的 长 短 无 关 。例 如 ： 用 一 个 能 将 物 体 放 大 10倍 的 放 打 井 观 察 一 个 45 的 角 ，角 的 大 小 不 变 。角 的 度 量角 的 计 量 单 位 是 “ 度 ” ， 用 “ ” 表 示 。例 如 ： 45度 记 作 “ 45 ” 。一 般 度 量 角 的 工 具 是 量 角 器 。 11、 把 量 角 器 放 在 角 的 上 面 ； 使 量 角 器 的 中 心 和 角 的 顶 点 重 合 ；2、 零 度 刻 度 线 和 角 的 一 条 边 重 合 ；3、 角 的 另 一 条 边 所 对 的 量 角 器 上 的 刻 度 ， 就 是 这 个 角 的 度 数 。6、 角 下 图 是 一 长 方 体 折 起 来 以 后 的 图 形 。 已 知 1 30 ， 2的 度 数 是 多 少 ？ 12解 ： 如 果 把 折 起 来 的 纸 打 开 ， 就 可 以 得 到 由 2个 2和 1个 1组 成 的 1个 平 角 ；所 以 ， 2 （ 180 30 ） 2 75 。 右 图 中 AOC DOB 90 ， 2 36 ， 则 1 （ ） 度 。 .0 AB2CD 1 3分 析 :图 中 3个 角 是 由 4条 射 线 相 交 于 一 点 组 成 ， 并 且由 已 知 条 件 的 ， 3和 2为 同 一 个 角 的 两 部 分 ， 所以 2 90 3； 同 理 1 90 3， 所 以 1 2 36 。 36 图形的认识和测量 立 体 图 形平 面 图 形 线 （ 直 线 、 射 线 、 线 段 ） 和 角三 角 形四 边 形圆 （ 圆 、 扇 形 ）长 方 体 、 正 方 体圆 柱 、 圆 锥球图 形 的 测 量 周 长面 积 （ 面 积 、 表 面 积 ）体 积 （ 体 积 、 容 积 ） 二 、 三 角 形1、 三 角 形 的 分 类 按 角 分 按 边 分锐 角 三 角 形直 角 三 角 形 钝 角 三 角 形 三 角 形等 腰 三 角 形等 边 三 角 形 2、 三 角 形性 质 三 角 形 具 有 稳 定 性 ； 三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三 边 。内 角 和三 角 形 的 内 角 和 是 180 。 n边 形 的 内 角 和 （ n 2） 180 底 高 用 长 度 分 别 是 2、 3、 5厘 米 的 小 棒 可 以 围 成 一个 三 角 形 。 （ ）两 个 完 全 一 样 的 三 角 尺 拼 成 一 个 三 角 形 ， 这 个三 角 形 的 内 角 和 是 180 。 （ ）两 个 完 全 一 样 的 三 角 尺 拼 成 一 个 长 方 形 ， 这 个三 角 形 的 内 角 和 是 180 。 （ ） 若 一 个 三 角 形 三 个 内 角 的 度 数 比 是 6:2:1， 那么 这 是 一 个 （ ） 三 角 形 。分 析 :需 先 求 出 角 的 度 数 后 判 定 是 什 么 三 角 形 。 根 据三 个 角 的 比 可 求 出 三 角 形 中 最 大 的 角是 ： ， 因 为 120 的 角 是 钝 角 ，所 以 是 钝 角 三 角 形 。钝 角 图形的认识和测量 立 体 图 形平 面 图 形 线 （ 直 线 、 射 线 、 线 段 ） 和 角三 角 形四 边 形圆 （ 圆 、 扇 形 ）长 方 体 、 正 方 体圆 柱 、 圆 锥球图 形 的 测 量 周 长面 积 （ 面 积 、 表 面 积 ）体 积 （ 体 积 、 容 积 ） 三 、 四 边 形1、 四 边 形 的 特 征 边 角平 行 四 边 形 两 组 对 边 分 别 平 行 ， 且 相 等 四 个 角 ， 且 对 角 相 等长 方 形 两 组 对 边 分 别 平 行 ， 且 相 等 四 个 角 都 是 直 角正 方 形 两 组 对 边 分 别 平 行 ， 四 条 边 都 相 等 四 个 角 都 是 直 角梯 形 只 有 一 组 对 边 平 行 三 、 四 边 形2、 四 边 形 的 关 系 图 四 边 形平 行 四 边 形长 方 形正 方 形 梯 形等 腰梯 形 直 角梯 形两 腰 相 等的 梯 形有 一 个 角是 直 角 的梯 形 判 断 正 误 。1、 两 个 完 全 一 样 的 三 角 形 能 拼 成 一 个 长 方 形 。2、 正 方 形 也 是 一 个 平 行 四 边 形 。 3、 两 个 高 相 等 的 平 行 四 边 形 拼 在 一 起 还 是 平 行四 边 形 。 图形的认识和测量 立 体 图 形平 面 图 形 线 （ 直 线 、 射 线 、 线 段 ） 和 角三 角 形四 边 形圆 （ 圆 、 扇 形 ）长 方 体 、 正 方 体圆 柱 、 圆 锥球图 形 的 测 量 周 长面 积 （ 面 积 、 表 面 积 ）体 积 （ 体 积 、 容 积 ） 1、 圆所 有 半 径 r相 等 ，直 径 d相 等 ， 且 d 2r。四 、 圆 Od r2、 扇 形r 半 径n 圆 形 角 度 数 rn 3、 环 形大 圆 、 小 圆 圆 心 重 合 ，大 圆 半 径 R，小 圆 半 径 r。 .R r 图形的认识和测量 立 体 图 形平 面 图 形 线 （ 直 线 、 射 线 、 线 段 ） 和 角三 角 形四 边 形圆 （ 圆 、 扇 形 ）长 方 体 、 正 方 体圆 柱 、 圆 锥球图 形 的 测 量 周 长面 积 （ 面 积 、 表 面 积 ）体 积 （ 体 积 、 容 积 ） 长 方 体 与 正 方 体 的 相 同 点 与 不 同 点一 、 长 方 体 、 正 方 体相 同 点 不 同 点面 棱 顶 点 图 形 面 的 特 点 棱 长长 方 体 6个 12个 8个 6个 面 一 般 都 长 方 形 ，也 可 能 有 两 个 相 对的 面 是 正 方 形 ， 相对 的 面 面 积 相 等 每 组 互 相平 行 的 4条 棱 相 等正 方 体 6个 12个 8个 6个 面 都 是 相 等 的 正方 形 12条 棱 都相 等名 称 特 征 李 老 师 有 一 个 正 方 体 教 具 ， 里 面 放 了 一 个 礼 品 ， 准备 送 给 答 对 问 题 的 同 学 。 下 面 的 四 幅 展 开 图 中 ， 哪幅 是 图 中 正 方 体 的 展 开 图 ？ A BCA B C CB AA BC CB A 图形的认识和测量 立 体 图 形平 面 图 形 线 （ 直 线 、 射 线 、 线 段 ） 和 角三 角 形四 边 形圆 （ 圆 、 扇 形 ）长 方 体 、 正 方 体圆 柱 、 圆 锥球图 形 的 测 量 周 长面 积 （ 面 积 、 表 面 积 ）体 积 （ 体 积 、 容 积 ） 圆 柱 和 圆 锥 的 特 征二 、 圆 柱 、 圆 锥名 称 图 形 比 较面 高圆 柱 有 3个 面 ， 两 个 底 面 是 面 积 相 等的 圆 ， 侧 面 沿 高 展 开 是 一 个 长方 形 或 正 方 形 。 这 个 长 方 形 的长 就 是 底 面 周 长 ， 宽 就 是 圆 柱的 高 。 圆 柱 的 底 面 垂 直 距 离 叫 圆柱 的 高 ， 高 垂 直 于 上 下 两个 底 面 。 圆 柱 有 无 数 条 高 。圆 锥 有 2个 面 ， 底 面 是 圆 。 侧 面 展 开是 一 个 扇 形 。 圆 锥 有 一 个 顶 点 ， 从 圆 锥的 顶 点 到 底 面 圆 心 的 垂 直距 离 就 是 圆 锥 的 高 。 圆 锥只 有 一 条 高 。 图形的认识和测量 立 体 图 形平 面 图 形 线 （ 直 线 、 射 线 、 线 段 ） 和 角三 角 形四 边 形圆 （ 圆 、 扇 形 ）长 方 体 、 正 方 体圆 柱 、 圆 锥球图 形 的 测 量 周 长面 积 （ 面 积 、 表 面 积 ）体 积 （ 体 积 、 容 积 ） 三 、 球球 的 表 面 是 一 个 曲 面O 球 心半 径 r， 直 径 d， d 2r球 .O 图形的认识和测量 立 体 图 形平 面 图 形 线 （ 直 线 、 射 线 、 线 段 ） 和 角三 角 形四 边 形圆 （ 圆 、 扇 形 ）长 方 体 、 正 方 体圆 柱 、 圆 锥球图 形 的 测 量 周 长面 积 （ 面 积 、 表 面 积 ）体 积 （ 体 积 、 容 积 ） 1、 平 面 图 形 的 周 长 和 面 积 公 式名 称 图 形 周 长 面 积三 角 形平 行 四 边 形长 方 形 ahh a 12S ah S a h 2a bC S a ba b一 、 周 长 与 面 积 1、 平 面 图 形 的 周 长 和 面 积 公 式名 称 图 形 周 长 面 积正 方 形梯 形 2S a 2a b hS a 4aCabh 1、 平 面 图 形 的 周 长 和 面 积 公 式名 称 图 形 周 长 面 积圆扇 形环 形 2S r 2360rS n 2 2S R r dr 2d r C rn.Rr 一 个 长 方 形 的 长 是 80米 ， 它 是 宽 的 4倍 ， 这 个 长 方 形 的面 积 是 多 少 ?分 析 :要 求 长 方 形 的 面 积 ， 必 须 知 道 长 和 宽 。 在 题 目中 ， 长 是 80米 ， 但 宽 是 未 知 数 ， 因 此 要 先 求 出 宽 是 多少 ， 然 后 才 能 求 面 积 。 解 :长 方 形 的 宽 ： 80 4 20（ 米 ） 长 方 形 的 面 积 ： 80 20 1600（ 平 方 米 ） 下 图 中 的 六 个 圆 的 半 径 都 是 4厘 米 ， 那 么 图 中 长 方 形 的面 积 是 多 少 平 方 厘 米 ？解 :长 方 形 的 长 是 ： 4 2 3 24（ 厘 米 ） 长 方 形 的 宽 是 ： 4 2 2 16（ 厘 米 ） 长 方 形 的 面 积 ： 24 16 384（ 平 方 厘 米 ） 右 图 是 一 个 梯 形 ， 高 为 6厘 米 。求 它 的 面 积 。 （ 单 位 ： 厘 米 ）解 :6 6 2 18（ 平 方 厘 米 ） 45 45分 析 :已 知 梯 形 的 高 是 6厘 米 ， 那 么 需 要 求 出 上 底 和 下底 的 长 。 由 图 可 知 ， 左 右 两 个 三 角 形 是 等 腰 直 角 三 角形 ， 由 此 可 以 知 道 上 底 和 下 底 的 和 是 6厘 米 。 图形的认识和测量 立 体 图 形平 面 图 形 线 （ 直 线 、 射 线 、 线 段 ） 和 角三 角 形四 边 形圆 （ 圆 、 扇 形 ）长 方 体 、 正 方 体圆 柱 、 圆 锥球图 形 的 测 量 周 长面 积 （ 面 积 、 表 面 积 ）体 积 （ 体 积 、 容 积 ） 表 面 积 与 体 积 公 式名 称 图 形 表 面 积 体 积正 方 体长 方 体 a 26S a 3V aa h b 2S ab ah bh V abh二 、 表 面 积 与 体 积 表 面 积 与 体 积 公 式名 称 图 形 表 面 积 体 积圆 柱圆 锥 hr o 2S Ch rh 侧 2=2 +2S rh r 表 C是 底 面 周 长 2=V S h r h底 21 1=3 3V S h r h底o rh 一 个 圆 柱 的 高 是 37.68厘 米 ， 它 的 侧 面 展 开 后 恰 好 是 正方 形 ， 这 个 圆 柱 的 体 积 是 多 少 立 方 厘 米 （ 取 3.14，结 果 保 留 整 数 ）分 析 :侧 面 展 开 后 是 正 方 形 ， 可 以 知 道 圆 柱 的 高 就 是正 方 形 的 边 长 ， 也 是 圆 柱 的 底 面 周 长 。解 :半 径 ： 37.68 3.14 2 6（ 厘 米 ） 体 积 ： 3.14 6 6 37.68 4259.3472 4259（ 立 方 厘 米 ） 计 算 下 面 图 形 的 体 积 。 （ 单 位 ： ） 14 18底 面 直 径 ： 10分 析 ： 这 是 一 个 不 规 则 的 立 体 图 形 ，可 以 通 过 “ 补 形 ” 拼 成 一 个 圆 柱 ，如 图 所 示 ， 所 求 的 体 积 是 圆 柱 体 积的 一 半 。 2 3103.14 14 18 2 12562V cm