基数与实数理论

Functional AnalysisFunctional Analysis1集合集合n 集合论自十九世纪八十年代由德国数学家Cantor创立以来，已发展成一个独立的数学分支，其基本概念与方法已渗入到二十世纪的各个数学领域。集合论是研究集合的各种性质，它的初期工作与数学分析的深入研究密切相关。2理发师悖论理发师悖论 1900年H.Poincare：现在，我们能够说完全严格性已达到了。1903年Russell 提出“理发师悖论”。一个乡村理发师，自夸无人可比，他宣称自己当然不给自己刮脸的人刮脸，但却给所有自己不刮脸的刮脸。有一天，他发生了疑问：他是不是应该给自己刮脸?3集合的集合的公理系统公理系统-ZFC系统系统 自Russell悖论后，许多数学家为摆脱这一危机而努力工作。途径为:对Cantor的集合论加以改造，引进新的理论体系。Zermelo在1908年提出七条公理 Fraenkel加入代换公理Axiom of Choice(选择公理)。4ZFC系统n1917年法国数学家米里马诺夫提出了一个悖论，von Neumann又引入了正则公理，至此的公理系统最终建立起来。5附附:自然数的自然数的Peano公理公理n设 是一非空集合，且1)在 内存在一个特定元素，记为0;2)存在 到自身的一个映射 使下面三条公理满足:a)对任意 b)是一个单射6Peano公理n C)(归纳公理)如果 的一个子集S 具备如下条件:I)Ii)若 ,则 ,那么,必有 此时,称 是一个自然数系,内的元素称为自然数.7集合的基数集合的基数(势势)n映射映射(双射双射 对等对等两个集合两个集合A A和和 B B，若存在双射，若存在双射则称则称A A与与B B对等，记对等，记8n1 1、若A与 对等，则称A为有限集，其基数为n，否则，称之为无限集。对对 等等9n命题命题 设A和B为同基数的有限集，若 为单射，则 必为满射。反之，若 为满射，则必为单射。对对 等等10n设想有一群鸽子，和等数的鸽笼，则上命题知：如果每一鸽子一一进笼，则鸽笼必无空者；反之，如鸽笼皆无空者，则必然每一笼子中仅有一只鸽子。鸽笼原理鸽笼原理11n2、若A与正整数集 对等，则称A为可数集，否则为不可数集（在无限集中讨论）。可数、不可数可数、不可数12定理定理Th 1.有理数集Q是可数(无限)集。Th 2.可数多个可数集的并集是可数的。Th 3.实数集R是不可数集。13Cantor-Bernstein定理定理Th4.(Cantor-Bernstein)若集合A与集合B的某真子集对等，B与A的某个真子集对等，则AB。14定理定理Th 6.集合A为无限集 A与其一 真子集对等。Th 5.设A是无限集，B是可数集，则 与A对等。15部分与整体部分与整体无穷大的世界里，部分可能等于整体。n “整体多于部分”这一法则被破坏，表明无限集合具有本质上异于有限集合的特性。从有限过渡到无限，完全符合辩证的规律性质的质变。16Hilbert 旅馆旅馆设想一旅店内有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了位房客，“对不起”，旅店主说，“所有的房间都住满了。现设想另一家旅店内设有(可数)无限个房间，所有房间都住满了。这时候也有一新客来住，想订房间。旅店主说：“非常对不起。”17Hilbert 旅馆 正好这时候，聪明的旅店主的女儿说：“这好办（不成问题）。”办法:她把一号房间的旅客移至二号房间，二号房间的旅客移至三号房间，等等。这一来，新客就住进了已被腾空的一号房间。18Hilbert旅馆n又来了(可数)无穷多位要求订房间的客人，旅店的女儿采用如下办法:一号房间的旅客移到二号房间，二号房间的旅客移到四号房间，三号房间的旅客移到六号房间，等等。现在，所有单号房间都腾空出来了。从而新来的无穷多位客人可住进去了。19Hilbert 旅馆n这(可数)无穷多位旅客想每个人可数无数间房来安排他们的亲戚朋友。女儿想了很久，终于想出了办法。n后来，女儿进入大学数学系。有一天，Cantor教授上课，他问：“要是区间 上每一点要占一个房间，是不是还能安排？”她绞尽脑汁，也无法安排。不可数20无最大基数定理nTh7.若A是非空集合，则A与其幂集 （由A的一切子集所构成的集合）不对等。21基数 ，n 在 （N的基数）与 c（R的基数）之间是否还存在其它基数？连续统假设：与 c 之间不存在别的基数。22连续统假设n 1900年Hilbert在他的著名演讲中列举了23个未解决的问题，第一个便是连续统假设。Godel在1940年指出连续统假设与ZFC的相容性；1963年Cohen证明它的独立性。23Godel 第一第一不完全性定理不完全性定理n1931年Godel指出：任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在有不可判定命题。即存在某一命题A，使A与A的否定在该系统中皆不可证。24Godel 第二第二不完全性定理不完全性定理n1931年Godel指出：如果一个足以包含自然数算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的.25不等式不等式n1 1、三角形不等式、三角形不等式:26n2、27 Young不等式不等式3.Young不等式：不等式：(p，q 为相伴数),28Holder不等式不等式n4.Holder4.Holder不等式不等式:p,q p,q为相伴数为相伴数,29Holder不等式不等式n积分型Holder不等式:p,q为相伴数,30Minkowshi不等式不等式n5.Minkowshi5.Minkowshi不等式不等式:31Minkowshi不等式n积分型Minkowshi不 等式:32直线上的点集直线上的点集n实数理论实数理论 十九世纪后半叶严格解决：什么是实数？1、Cantor,Meray,Weierstrass;2、Dedekind理论33实数理论实数理论定义定义 设设 都是有理数。都是有理数。假设对任意的正有理数假设对任意的正有理数 ，存在自然数，存在自然数 ，使得当，使得当 时不等式时不等式 成立，成立，就称就称 是基本有理数列。是基本有理数列。34实数理论实数理论 设 和 是两个基本有理数列，若对任一正有理数 ，有自然数 ，使得当 时，不等式 成立，就称基本有理数列 和 相等，记 。35实数 称基本有理数列是一个实数，规定相等的基本有理数列是同一实数。36引理引理n引理1 两个基本有理数列 和 ，那么 也都是基本有理数列；37引理n引理引理2 2 若基本有理数列 满足 则 38实数域实数域n定义 设 是两个实数，称实数 为“加 ”（和），记 。称 为 乘 （积），记 （引理说明合理性）39实数域定理 实数 全体按上述的加法及乘法成为一个域。（Abel群;Abel群;乘法与加法之间的分配律）。40开集开集n邻域：称 为 的 邻域。n内点：存在 的一个 邻域 则称 集 的内点。n开集：集合的每一点都是内点。41聚点聚点n聚点：的任意的邻域中都含有 中异于 的一个点，则称 为 的聚点。a的任意的邻域中都含有 A中无限多个点42闭包、闭集闭包、闭集n闭包：设 表示 的一切聚点所成之集，则 的闭包定义为 n闭集：如果 的余集 是开集，则称 为闭集。n定理：为闭集的充分条件是43Cantor 三分集三分集n 将 均分为三段，删去中间的开区间 ，剩下两个闭区间 和 ，又把这两个部分都均分成三段，删去中间的开区间 和 。如此下去44Cantor三分集三分集n自然有些点是永远删不去的(被删去的开区间的端点 )，所有这些永远删不去的点所成的集称为 Cantor Cantor 集集。45Cantor三分集三分集n Cantor三分集在现代分析中是一个十分典型而有用的集合。它是一个最经典的自相似集，在分形几何中具有重要地位。然而，经典的分析却把它看成是“病态”的集合，而将它排除在研究和讨论的问题之外。46Cantor三分集三分集n事实上,Cantor三分集有许多重要性质：它是一个不可数的、无孤立点的、无内点的闭集，因此是一个完备疏集。其 Lebesgue 测度为 0，Hausdorff 测度为 1，Hausdorff维数为 。47曲线曲线nJordan给出“平面曲线”的如下定义：一条平面曲线是平面上那些坐标 和 由方程 所给出的点的总体。其中 是闭区间 上的两个连续函数，这样的曲线为连续曲线。48Peano曲线曲线Peano曲线：适当选择地连续函数 和 时连续曲线 可填满一个正方形。49n 实数理论正是由于极限运算而出现的。例如一个单调递增的数列，如果有上界，是否一定有极限。从几何的直观上这个问题似乎是显而易见的，但若要求给出严格的逻辑证明却又发生困难。这样必须要有严格的数学理50 论，给极限论以坚实的基础。Cantor提出的这种用一列数来规定一个数的思想不仅为实数建立了严格的理论，而且这个方法已被泛函分析和其它学科推广了。51极限理论极限理论n定义 设 是一实数列，如果有实数 ，适合如下条件：对于任何正实数 ，有自然数 ，得当 时，成立 那么称实数列 收敛于极限 ，记 52上确界上确界 若 是 的一个上界，且对 的任一上界 ，均有 ，则称 为 的上确界，记 。这等价于 是它的最小上界 是 的一个上界;比 小的任何数都不是 的上界。53定定 理理确界存在定理 有上（下）界的非空数集必存在上（下）确界。单调有界定理 单调递增有上界的数列必存在极限。54闭区间套定理n设 是一串闭区间，满足：（1）对任何自然数 ，都有（2）则有 且 是一切闭区间的唯一公共点.55紧性定理紧性定理nBolzano-Weierstrass定理：任一有界数列必有收敛的子列。n覆盖：是一族开区间，若 ,则称开区间族 覆盖了56紧性定理紧性定理Heine-Borel定理：若开区间族 覆盖有界闭区间 ，则从 必可挑出有限个开区间 同样覆盖57完备性定理完备性定理 nCauchy列 ：nCauchy收敛原理：数列 存在极限的充要条件为 是 Cauchy列。58实数集的完备性实数集的完备性(连续性连续性)nCauchy收敛原理：n单调有界原理n闭区间套定理n确界存在定理nBolzano-Weierstrass定理(聚点定理)nHeine-Borel定理(有限覆盖定理)59