数学发现的基本方法分解课件

第二章 数学发现的基本方法 数学是在解决问题中产生的，并在解决问题的过程中不断发展起来的.美国著名数学家哈尔莫斯（Halmos）说过：“数学的真正组成部分是问题和解”，“数学研究主要的就是发现问题和解决问题.”第1页，共53页。数学发现是以提出问题和解决问题为主要标志的，而这方面的能力又是衡量一个人数学水平的重要标志。数学方法源自数学思想，思想是由思维产生的.通常把思维分为三类，即抽象（逻辑）思维、形象（直觉）思维、灵感（顿悟）思维.根据对思维的分类方法，数学方法就可以分为发现方法和化归方法两大类。发现方法通常包括观察、联想、尝试、实验、归纳、猜想、类比、模拟等。第2页，共53页。1 观察观察 在心理学中，观察被看做是一种有目的、有计划、有步骤的感知活动，是一种主动地、对思维起积极作用的感知活动。所谓感知，包括感觉和知觉.感觉是客观事物作用于感觉器官而引起的，是人脑对直接作用于感觉器官的客体个别属性的主观反映.知觉是在感觉的基础上形成的，是客观事物直接作用于感官时人脑产生的直接整体反映.第3页，共53页。从信息论的观点看，观察应是外部环境的信息通过感官输送到大脑皮层，经过加工处理，感知外部世界的过程从认识论上来说，观察是人类科学认识中的一种重要实践活动，是获取感性经验的科学事实的根本途径从方法论上来说，观察是人们通过感官，或借助于一定的科学仪器，对客观对象（数学对象、自然现象、社会现象等）在自然条件下，进行有目的、有计划、有步骤的描述和考察的一种方法第4页，共53页。用数学中的“映射”来看，观察是由客体或已有成果到大脑的一种“映射”.可见，观察是认识主体通过感官对客体的认识（活动）过程，如果说工具是人类四肢的延伸，科学仪器就是感官的延伸。第5页，共53页。例1 哥德巴赫猜想.德国人哥德巴赫在1742年提出两个猜想：（一）每个大于2的偶数都是两个素数之和；（二）每个大于5的奇数都是三个素数之和.第6页，共53页。第7页，共53页。例3 化简第8页，共53页。例4 不解方程，判断下列方程是否有解：第9页，共53页。2 联想联想联想是思维的一种形式，也是记忆的一种表现；联想是回忆旧知识，发现新知识的重要手段第10页，共53页。一、联想的意义和作用 现代心理学认为：联想是主体和客体相互作用的过程中产生的，它是按照一定的规律形成心理之间的一种联系，这个联系反映着客观世界事物与现象以及各种事物之间的联系。产生联想的三要素：“某种概念”、“相关概念”、“联想线路”。第11页，共53页。二、联想的方法 在数学发现和解决问题的过程中，联想的主要方式有以下五种：1.接近联想 接近联想又称为形似联想，主要是由概念、原理、法则的接近而产生的联想 第12页，共53页。2.类比联想 类比联想又称为对比联想，主要是根据问题的具体情况，从具有类似和相似特点的数、式、图形以及相近内容和性质等进行联想例2 求证：正四面体内任一点到各面的距离之和为定值。第13页，共53页。3.关系联想 关系联想是根据知识之间的从属关系、一般关系、因果关系以及其内在联系而进行的一种联想第14页，共53页。4.逆向联想 逆向联想是指从问题的正面想到问题的反面例4 已知p,p+10,p+14是质数，求p第15页，共53页。5.横向联想 横向联想是指数学各分支之间，乃至数学与物理，化学等学科之间的联想 第16页，共53页。三、联想能力的培养1.重视基础知识，掌握知识之间的纵横联系，注意把已掌握的知识系统化第17页，共53页。2.既要开展控制联想，又要开展自由联想从代数角度考虑，可以用柯西不等式来证；从三角的角度考虑，用正弦余弦来换元；从几何方面考虑，可用托勒密定理；从解析几何考虑，可结合距离公式做。第18页，共53页。3.运用联想把问题引申推广 不要满足于解完一道题，还应该把问题加以推广引申拓展反思。例8 在1到100这100个数中，任找10个数，使其倒数和为1.第19页，共53页。3 尝试尝试 通过对数学问题进行观察、联想，我们往往从总体上把握问题，形成初步的策略意识。尝试就是将初步的策略意识付诸实施，试探是否可行，是否有进展，是否可以接近目标，是否能缩小解答所在的范围等。第20页，共53页。例1 甲、乙、丙、丁四人进行一次赛跑，最后分出了高低。但这四人都是出了名的撒谎者，他们所说的赛跑结果是：甲：（1）我刚好在乙之前到达；（2）我不是第一名乙：（3）我刚好在丙之前到达；（4）我不是第二名丙：（5）我刚好在丁之前到达；（6）我不是第三名丁：（7）我刚好在甲之前到达；（8）我不是第四名 现已知上面这些话中只有两句是真话，而且取得第一名的那个人至少说了一句真话，则这四人获得第一名的是（）A、甲 B、乙 C、丙 D、丁第21页，共53页。一、简单化，化难为易 常见的数学解题的探索是连续化简的过程，因此，将难题简化是尝试的一个基本方法。1、从简单入手 首先考虑符合题意的最简单的情形，尝试找出这种情形的解法，然后再过渡到一般情形。第22页，共53页。例2、有80枚硬币，其中有一枚比标准重量重。用一架天平，最少称几次可以找出其中的次品？例3、设m,n是任意实数，试在平面上找出这样的点，它位于下述方程所表示的每一条曲线上：第23页，共53页。2、将复杂问题分解成几个简单问题 复杂的综合问题，往往是由一些比较简单的问题巧妙地糅合而成的，因此，要善于通过观察，分解成几个小问题，各个击破后再综合起来。第24页，共53页。二、特殊化，寻找突破口对于某些数学问题，先找出符合题意的特殊值、特殊图形、特殊位置来进行试探，往往能得到启示，找到解题途径。1、分析特例，寻找启示例5 一列数1,1,2,3,5,8,13,21从第三项开始每一项是前两项之和，此数列的第2013项除以8的余数是多少？第25页，共53页。2、利用特例奠定基础例6 将625枚围棋围成一个大圆圈，并依次编号为1625号，然后，按如下方法取棋子，拿走1,2号保留3号，再拿走4,5号保留6号，每次取2枚留下1枚，一直如此循环下去.问：最后留下的一枚棋子原来的编号是几？第26页，共53页。3、使用特例，完善解题例7 证明：下述圆系经过定点，并求定点的坐标：第27页，共53页。三、变换角度，选择主攻方向如果按照题意直接解题有很大困难，我们可以尝试变换一个角度去看问题，或者变易论题，或者换用另一种数学内容方法来求解。1、变易论题第28页，共53页。2、数形转换第29页，共53页。3、横向求索第30页，共53页。四、逆反转换，灵活解题 逆反转换是指沿着解题的习惯思维方向的相反方向进行探索，即顺推不行时，考虑逆推，直接解决不易时考虑间接解决，从正面入手有困难时，就从反面入手等等。第31页，共53页。1、倒推法 倒推法就是把问题发生的顺序到过来，逐步还原。例12 五个猴子相约到海滩上去分香蕉，第一个猴子早到，它将香蕉等分为五份，多出的一个吃掉了，留下一份，拿着其它四份找同伴去了；第二个猴子到了海滩，又将香蕉等分为五份，多出的一个吃掉了，留下一份，拿着其它四份去找同伴；第三个、第四个猴子都如此办理，最后第五个猴子来到海滩，同样将香蕉等分成五份，吃掉多出的一个，拿走四份，这时海滩上只留下了一只香蕉，问最初海滩上有多少只香蕉？第32页，共53页。2、反客为主 有些问题，把它的主要元素与某个次要元素倒过来，常常能取得出人意外的效果。第33页，共53页。4 实验实验实验是在观察的基础上，进一步发挥人的主观能动性，从而进一步获得感性资料。实验是观察的发展，在现代科学研究中，实验往往同观察紧密地结合在一起，观察依赖于实验，而实验伴随着观察，它们两者之间是相互依存的。实验方法比观察方法有更大的优越性。第34页，共53页。数学试验具有科学试验的特点，属于科学实验的范畴，但它又不同于一般的科学实验。数学实验是为了获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类数学问题，实验者运用一定的物质手段，在思维的参与下，在典型的实验环境中或者特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动。第35页，共53页。例1、如图是由9个小正方形组成的大正方形，小正方形的每条边长都是1米，今有一个小虫子由 A点至B点，不走重复路，试问（1）最少要走多少米？（2）最多要走多少米？第36页，共53页。5 归纳猜测归纳猜测 归纳是人类探索真理和发现真理的主要工具之一 在研究数学问题时，我们常常在观察和实验等的基础上，把一些特殊的问题一般化，从中发现新问题，有时还可以发现新问题的解法，这种由特殊到一般的思考就是归纳猜测。第37页，共53页。一、归纳法的原理、意义和类型（一）归纳的原理 逻辑推理的方法有两种：一是演绎推理，即由一般到特殊的推理；二是归纳推理，即由特殊到一般的推理。（二）归纳法的意义 归纳法虽然是一种“似然”的“合情推理”，实际上，对于数学的发展和创新而言，归纳推理的巨大作用，是论证推理无法替代的。第38页，共53页。（三）归纳法的类型 1、完全归纳法 完全归纳法是对某事物的全体对象的考察，发现它们都具有某一种属性，从而得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法，完全归纳法又分为穷举归纳法和类分法两种类型。第39页，共53页。（1）穷举法 穷举法是对有有限个对象的某类事物进行研究时，将它的每个对象逐一进行考察的归纳推理.例1 在23的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形共有（）个 A.24 B.38 C.46 D.50 第40页，共53页。（2）类分法 类分法是指具有无限多个对象的某类事物进行研究时，将这类事物划分为互相排斥，且其外延之和等于该类事物的几个子类，并分别对他们进行考察.例2 某商店有3kg、5kg两种包装的糖果，数量极为充足，保证供应，求证凡购买8kg以上整公斤的糖果时，都可以不用拆包。第41页，共53页。2、不完全归纳法 不完全归纳法是根据对某类事物部分对象的考察而得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法。（1）枚举归纳法 枚举归纳法是根据某类事物的n个特殊对象，具有某种属性而作出的这类事物都具有这种属性事物一般性结论的推理方法。（2）因果关系归纳法 因果关系归纳法是指以这类事物的部分对象的因果关系作为前提，而得出一般性性结论的推理方法。第42页，共53页。例3 设 kZ，求满足不等式|x|+|y|k的整数解组的(x,y)的组数.例4 试把1991表示成若干个正整数之和，使这些数的积最大？第43页，共53页。6 类比推广类比推广类比法是数学发现中最常用、最有效的方法之一，它在科学发展史上起过非常重要的作用第44页，共53页。一、类比的原理、意义和类型（一）类比的原理 类比法就是根据不同的两个对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其他方面也可能相似或相同的推理方法。类比的推理模式是A具有性质1，2，n，B具有性质1，2，n，B具有性质P第45页，共53页。（二）类比的意义不同事物往往具有一些相同或相似的属性，那些具有相同或相似的属性的不同事物称为相似事物。相似事物的相同或相似属性往往表现在多方面的。在某些方面相同或相似的属性具有一定的延伸性，人们利用相似的事物属性的延伸性，通过对一个事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识的方法就是类比。类比推理也是一种合情推理，它的结论的正确性不能肯定。第46页，共53页。例1 长方形和长方体的类比：类比推理一：长方形的对角线互相平分；长方体的对棱面互相平分.第47页，共53页。例2 波利亚说过：“求解立体几何的问题往往有赖于平面几何的类比”。如在研究四面体的四个表面的面积关系时，把它和三角形的三边关系进行类比.第48页，共53页。（三）类比的分类1、简单共存类比：它是根据对象的属性之间具有简单共存关系而进行的推理.2、因果类比法：它是根据对象的属性间可能有同一种因果关系而进行的推理.3、对称类比法：它是根据对象的属性之间具有对称性而进行的推理.第49页，共53页。4、协变类比法（数学相似类比法）：它是根据对象属性之间具有某种确定的协变关系（即函数变化关系）而进行的推理.协变类比的模式有两种：（1）两对象的若干属性相似，且在两者的数学方程式相似的情况下，推出它们的其他属性也可能相似.（2）两对象的各种属性在协变关系中的地位与作用相似，推出它们的数学方程式也可能相似.5、综合类比法：它是根据对象属性的多种关系的综合相似而进行推理.第50页，共53页。例3 空间n个平面最多能把空间分割成多少部分？分析 这是平面分割空间问题，由问题的内容容易联想到与它相似的问题：平面上n条直线最多有多少个交点；平面上n条直线最多能把平面分成多少部分，这都可以做类比对象.第51页，共53页。第52页，共53页。第53页，共53页。