《牛顿插值公式》PPT课件

)(, 1010 xfxxxxxxf nn 0 11021 , xx xxxfxxxf n nn 牛 顿 插 值 公 式n 阶 差 商 )()()( xRxPxf nn 其 中 ， )(,)()( 0100 xxxxfxfxPn )()(, 11010 nn xxxxxxxxxf - 牛 顿 插 值 多 项 式)(,)( 010 ininn xxxxxxfxR - 牛 顿 插 值 余 项乘 除 法 次 数 大 约 为 : nn 2321 2 较 L-插 值 法 减 少 了 3-4倍 ., 0f , 10 nxxxf 牛 顿 插 值 多项 式 系 数牛 顿 插 值 多项 式 系 数牛 顿 插 值 多项 式 系 数 4 差 商 与 牛 顿 插 值 多 项 式 5 重 节 点 差 商 定 义 5 (重 节 点 差 商 ) xx xxxfxxxfxxxxxf xxn )1( 10)1(1010 ,lim,1 )1( ）（ 记, 00 xxf 若 ,)()()(lim 00)1(0 0 )1(00)1(0 xfxx xfxfxx )()()(lim 00)1(0 0)1(00)1(0 xfxx xfxfxx ? , 10 xxxxfdxd n则 定 义 类 似 的 有 ! )(,)2( 0)( 1 000 n xfxxxf nn 个分 析 ： (2)首 先 ,由 定 义 !1 )()(, 0000 xfxfxxf )()(! )()(!2 )()()()( 000)(200000 nnn xxoxxnxfxxxfxxxfxfxf )()(! )()(!2 )()()()(, 1 0100)(0000 00 nnn xxoxxnxfxxxfxfxx xfxfxxf 泰 勒 展 开 式 ,lim )1(000)1(0 xxfxx 0 00000000 ,lim,lim, 00 xx xxfxxfxxxfxxxf xxxx 下 证 0 000000 ,lim, 0 xx xxfxxfxxxf xx 又 ，!2 )(, 0000 xfxxxf )()(! )()(!3 )(!2 )( 20200)(000 nnn xxoxxnxfxxxfxf (2)首 先 ,由 定 义 !1 )()(, 0000 xfxfxxf )()(! )()(!2 )()()()( 000)(200000 nnn xxoxxnxfxxxfxxxfxfxf )()(! )()(!2 )()()()(, 10100)(0000 00 nnn xxoxxnxfxxxfxfxx xfxfxxf 0 00000 , xx xxfxxfxxxf 泰 勒 展 开 式 证 明 ： 0 00000000 , xx xxxfxxxfxxxxf )()(! )()(!4 )(!3 )( 30300)(0040 nnn xxoxxn xfxxxfxf ）（ ，及 !2 )(, 0000 xfxxxf 0 00000 , xx xxfxxfxxxf 由 于 ！ ）（ 3 )(,lim, 030 000000000 0 xfxx xxxfxxxfxxxxf xx ！）（ n xfxxxf nn )(, 01 000 ，)()(! )()(!3 )(!2 )( 20200)(000 nnn xxoxxn xfxxxfxf # 给 定 )(xfy 的 函 数 表 )()()()( 10 10 nnxfxfxfxf xxxx 并 记 。),1,0(,)( nkfxf kk 5 差 分 ， 等 距 节 点 插 值 多 项 式5.1 差 分 及 性 质 ,10 bxxxa n 且 ,),2,1(,01 nkhxx kk ,nabh 即1、 差 分 ),1,0(,0 nkkhxxk 或 )( kk xff （ 1） 记 号 向 前 差 分 算 子 ； ,)()( 1 kkkkk ffhxfxff ,)2()2( 2121 kkkkk ffhxfhxff在 kxx)(xf 称 为 点 的 步 长 为 h的 一 阶 向 前 差 分 中 心 差 分 算 子 . 定 义 6 向 后 差 分 算 子 ； 二 阶 向 前 差 分 ；)()2( 2 kk ff 二 阶 向 后 差 分 ；)(2 kk ff 21kf 若 ,121 kkk fff 二 阶 中 心 差 分 ；kf2 kk ff 1 kkk fff 12 21 kk ff 212 kkk fff,1 kk ff 2121 kk ff 11 2 kkk fff )()( kk xfhxf ,1 kk ff 、 向 后 、 中 心 差 分 .分 别 (3) 一 般 地 ， kmkmkmkmkm fffff 11111 )( 阶 向 前 差 分 ；m11111 )( kmkmkmkmkm fffff 阶 向 后 差 分 ；mI 不 变 算 子 （ 恒 等 算 子 ） ； mkkmkk ffEfEf ,1 kk fIf （ 4） 设 A与 B为 两 算 子 , 如 1)( ,)( EIb IEa kk BfAf ， 则 称 算 子 A与 B为 相 等 。 记 为 ;BA 若 IBAAB ， 则 称 A为 B的 逆 算 子 。 记 为 );( 11 BAAB 若 kkk fff 1( )( kkk fIEIfEf （ 自 己 证 ） ,)(, 12121212121 kkkkk fEfEffEf ).(212121 IEEEE ,2121 kkk fffE 位 移 算 子 2、 性 质性 质 1 )(xf 的 各 阶 差 分 均 可 用 函 数 值 表 示 。 其 中 .! )1()1()( j jnnnC jnnj 证 明 ： nj jknnjj f0 )()1(用 算 子 二 项 式 定 理 ： nj kjjnnjjkn fIEfIE 0 )()1()( nj kjjnnjjkn fEIfEI 0 11 )()()1()( .)()1(0 nj jknjj f nj kjjnnjjkn fEIfEI 0 11 )()()1()(kn f nj kjjnnjjkn fIEfIE 0 )()1()(得 kn f 1 EI IE nj kjnnjjkn ff 0 ,)()1( .)()1(0 nj jknjjkn ff即 # 用 归 纳 法 可 证 。 ).,2,1(,! )(! )(, 010 nmhm xfhm xfxxxf mmmmmm 则 性 质 2 差 分 与 差 商 的 关 系 令 ),1,0(,0 nkkhxxk ),1,1,0(,1 nkhxx kk 或 证 明 ： 当 m=1时 ， hxfxx xfxfxxf )()()(, 001 0110 假 设 当 m=k时 ， 有 ,! )(, 010 kkk hk xfxxxf ,! )(, 1121 kkk hk xfxxxf 01 ,101,21110 , xx xxxfxxxfxxxxf k kkkk 则 hk hk xfhk xf kkkk )1( ! )(! )( 01 hk hk xfxf k kk )1( ! )()( 01 1 01 )!1( )()( kk hk xfxf .)!1( )( 101 kk hk xf # 自 己 证 一 般 地 nk hk xfxxxf hk xfxxxf k knknnkn k nkknnn ， ,21 ,! )(, ,! )(, 11 性 质 3 差 分 与 导 数 关 系 ),(),()( 0)(0 mmmm xxfhxf 其 中 )( mm xf 证 明 ： mmm hmxxxfxf !,)( 100 性 质 2 .)(! )( )()( mmmm hfhmmf 定 理 7 5.2 牛 顿 向 前 插 值 ， 向 后 插 值 公 式 )(xfy 函 数 表设 有 ,1,0,),(,( 0 nkkhxxxfx kkk 0 xa bxn1x 2x 1nx, bax 被 插 值 点 。 （ 1） 当 靠 近 (表 初 或 差 头 )时 ， 通 常 取 插 值 节 点 ： nxxx , 10 x 0 x以 下 推 导 以 为 节 点 的 等 距 插 值 公 式 。nxxx , 10 作 变 换 ,0 thxx ,1,0t ,010 hxxxx 此 时 ，则又 由 ,0 khxxk ),1,0(,)( nkhktxx k kk xxxfxxxxxx ,)()( 10110 kkk hk xfktttth ! )()1()2)(1( 0 1、 公 式 .,2,1, nm mmm hm xfxxxf ! )(, 010 自 己 证 )(! )1()1( 0 xfk kttt k 0! )1()1( fk kttt k kk xxxfxxxxxx ,)()( 10110 kkk hk xfktttth ! )()1()2)(1( 0 kh )(,)()( 0100 xxxxfxfxPn )()(, 11010 nn xxxxxxxxxf 代 入 (4.2)： （ 牛 顿 前 插 公 式 或 表 初 公 式 ） ：即 得 牛 顿 向 前 插 值 公 式 ),(),()1()!1( )()( ),0(,! )()1()( )()()(! )1()1( )(!2 )1()()()()( )()()()( 01)1( 0 00 02000 00 nnnntk nk ktknnn nn xxnttthnfxR kk nttt xfxfn nttt xfttxftxfthxPxP xRthxPthxfxf 其 中其 中 1)(0 t规 定 )( 02 xf)( 0fn )( 0 xf )2.5(系 数系 数系 数系 数 作 变 换 ,thxx n ,0,1t ,1 nn xxx 此 时 ， 又 ,0 khxxk 则 ),1,1,(,)( nnkhkntxx k再 由 ),1(,!1)(!1, 1 nkfhkxfhkxxxf knkknkkknnn （ 牛 顿 后 插 公 式 或 表 末 公 式 ） ：即 得 牛 顿 向 后 插 值 公 式 ），（，）（ ）（）（其 中 nnnn ktk nk nk knktkknktkknn nnnnnn nn xxnttthnfxR k ktttk kttt fffn nttt fttftxfthxPxP xRxPxf 01)1( 0 02)()1()!1( )()( ! )1()1()1(! )1()1( )1()1(! )1()1( !2 )1()()()( )()()( （ 2） 当 靠 近 时 ， 通 常 取 插 值 节 点 ： 01 , xxx nn x nx ， 以 下为 插 值 节 点 的 等 距 插 值 公 式 。01 , xxx nn 推 导 以 nf2nn f nf )2.5( )(,)()( 1 nnnnn xxxxfxfxP及 )()(, 1101 xxxxxxxxxf nnnn 系 数系 数系 数系 数1 nf 22 nf0fn 注 ： （ 1） （ 5.2） 、 (5.3)使 用 于 等 距 节 点 。 （ 2） （ 5.2） 、 (5.3)的 系 数 分 别 为 ，),10(,0 nkff nkk ，与 差 分 表 2-7 nfnx nf nf nffx nff ffx fnfff fffx ff ffx f fx fnffffixfix 1 22 344 43 2233 0132 041222 031 0211 000 432)( 3 4 求 解 方 法 见 表 2-7。 0f0f0f 02 f 0f 0fn(5.2)的 系 数 (5.3)的 系 数 3 nf1 nfnf 2 nf 4n 0nf3nf nf2 nf4 nn f knk f nk f 说 明 :节 点 的 取 法 ： 取 与 x尽 量 接 近 的 节 点 。 注 意 两 点 ， 首 先 ， 若 2、 计 算 量 （ 1） 计 算 差 分 （ 计 算 量 忽 略 不 记 ） ； （ 2） 由 前 插 （ 后 插 ） 公 式 计 算 近 似 值 ：（ 计 算 步 骤 ） )(! )1()1()(!2 )1()()()( 00200 xfn ntttxfttxftxfxP nn 乘 除 法 次 数 大 约 为 : + ! )()1(!2 )()1()()( 00200 nxfntxftxftxf n n 1n 12 n秦 九 韶 算 法达 到 了 误 差 要 求 ， 则 其 他 一 些 节 点 就 用 不 到 了 ， 因 此 ， 表 中 的 n可 以 相 当 大 ， 牛 顿 插 值 公 式 中 的 n不 一 定 就 是 表 中 的 n； 另 外 ,表 初式 计 算 。在 公 式 中 的 比 重 是 一 样 的 。 若 x不 在 表 初 、 表 末 而 在 表 中 间 ， 则 有例 4。 例 4还 有 另 外 的 选 取 节 点 的 方 法 ， 也 可 以 用 牛 顿 向 后 插 值 公公 式 中 似 乎 占 有 较 大 比 重 ， 而 从 误 差 公 式 的 对 称 性 知 0f nfff ， 10 例 4 已 知 Bessel函 数 )(0 xJ 函 数 表2243115458.09.2 1850360334.08.2 1424493700.07.2 0968049544.06.2 0483837764.05.2 0025076832.04.2 0555397844.03.2 1103622669.02.2 1666069803.01.2 2238907791.00.2 )(0 xJx试 用 牛 顿 向 前 插 值 公 式 计 算 )45.2(0J 近 似 值 。解 ： 取 ,9.2,8.2,7.2,6.2,5.2,4.2 543210 xxxxxx 各 阶 差 分 见 表 2-8 表 2-8解 ： 取 ,9.2,8.2,7.2,6.2,5.2,4.2 543210 xxxxxx 各 阶 差 分 见 表 2-8 654 55 5444 433 22 11 00 5432 101.2107591.210533988.2003311151.00392755124.0 105491.210809898.20030577522.00425866634.0 10064808.30027767624.00456444156.0 0024702816.0048421178.00508914596.0)( fx fx fx fx fx fx fffffxfx 0000021.00232267384.05 000025491.00232216681.04 0003064808.00232276767.03 0024702816.00232468316.02 0508914596.00229380466.01 0025076832.00 )45.2( 0 fPn nn表 2-9 )45.2)( xxPn ， 如 表 2-9。利 用 牛 顿 向 前 插 值 公 式 （ 5.2） 计 算 精 确 值 ： .2050232267433.0)45.2( 0 J6. 说 明 ： 也 可 取 节 点 为 ,0.2,1.2,2.2,3.2,4.2,5.2 543210 xxxxxx利 用 牛 顿 向 后 插 值 公 式 （ 5.3） 计 算 。 P.85 6作 业 : (1)理 解 差 分 的 有 关 概 念 及 性 质 。 (2)理 解 牛 顿 向 前 （ 后 ） 插 值 公 式 并 会 计 算 较 简 单 的 题 目 。课 本 P.44例 4编 程 :